洪逸倩

【摘? 要】新課標(biāo)將小學(xué)階段的推理能力改為推理意識(shí)，小學(xué)低年級(jí)學(xué)生生理、心理的特殊性使教師在落實(shí)推理意識(shí)培養(yǎng)上遇到不少問題。數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)能有效推動(dòng)小學(xué)低年級(jí)學(xué)生推理意識(shí)的形成。教師可以通過借助數(shù)學(xué)史料引導(dǎo)學(xué)生通過閱讀、模仿、解題等方式積累經(jīng)驗(yàn)，形成推理意識(shí)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)史；推理；推理意識(shí)；小學(xué)數(shù)學(xué)；低年級(jí)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》中將小學(xué)階段的推理素養(yǎng)改為推理意識(shí)，對(duì)推理意識(shí)定義為：對(duì)邏輯推理過程及其意義的初步感悟。意識(shí)主要是指基于經(jīng)驗(yàn)的感悟，而能力主要是指基于概念的理解。意識(shí)與能力并不是毫不相關(guān)的，意識(shí)的形成累積最終會(huì)轉(zhuǎn)化為能力，而能力的建立是以意識(shí)為基礎(chǔ)。因此，從某種意義上來說“推理意識(shí)”就是在判斷一個(gè)命題的真假時(shí)會(huì)自覺或者不自覺地使用的一種心理傾向性。而推理意識(shí)的培養(yǎng)影響了將來推理能力的發(fā)展。

小學(xué)生推理意識(shí)的發(fā)展貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，在培養(yǎng)學(xué)生推理意識(shí)方面有許多研究成果可供高年級(jí)教師參考。而對(duì)于小學(xué)低年級(jí)，尤其是一年級(jí)剛?cè)雽W(xué)的學(xué)生來說，推理意識(shí)的培養(yǎng)是不少教師面臨的挑戰(zhàn)。低年級(jí)孩子識(shí)字量少，自主意識(shí)薄弱，思維缺乏連貫性，在這樣的情況下，如何有效培養(yǎng)學(xué)生的推理意識(shí)呢？

數(shù)學(xué)史家Morris·Kline說過“歷史是教學(xué)的指南”，汪曉勤教授在他的著作中也曾指出數(shù)學(xué)史為數(shù)學(xué)教育提供了概念之源、術(shù)語之本、法則之立、學(xué)科之創(chuàng)、公式之導(dǎo)、定理之證、問題之庫、問題之解。由此可見數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)，會(huì)有效地促進(jìn)學(xué)生推理意識(shí)的培養(yǎng)。

運(yùn)用數(shù)學(xué)史進(jìn)行數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，洪萬生教授歸納出了三個(gè)層次：說數(shù)學(xué)史故事，啟迪學(xué)生人格；學(xué)數(shù)學(xué)家思維方法，培養(yǎng)學(xué)生能力；注入文化意義，實(shí)踐多元文化關(guān)懷。數(shù)學(xué)史的文化特性能賦予理性的數(shù)學(xué)學(xué)科一絲感性，融合了數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)課堂將更符合低年級(jí)孩子的心理特征，更易被低年級(jí)孩子所接受。對(duì)此筆者有以下建議：

一、閱讀數(shù)學(xué)史料，營造推理氛圍

學(xué)科閱讀是近些年各個(gè)學(xué)科的熱門話題，而數(shù)學(xué)閱讀又不同于普通閱讀。數(shù)學(xué)閱讀是學(xué)生在已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，通過閱讀數(shù)學(xué)相關(guān)材料建構(gòu)獲取數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的活動(dòng)?？梢哉f數(shù)學(xué)閱讀是學(xué)生獲取知識(shí)、信息，發(fā)展數(shù)學(xué)思維的重要途徑之一。數(shù)學(xué)書中的語言包含文字、符號(hào)、圖形，課內(nèi)數(shù)學(xué)閱讀重在理解，重在內(nèi)化，理解、推理、反思數(shù)學(xué)閱讀的內(nèi)容。而課外的數(shù)學(xué)閱讀則是對(duì)數(shù)學(xué)閱讀能力的培養(yǎng)、對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的擴(kuò)充、對(duì)數(shù)學(xué)語言的輔助鍛煉。因此低年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀不是簡單的看圖識(shí)字，而是從數(shù)學(xué)邏輯、數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)語言上進(jìn)行閱讀。

（一）課內(nèi)閱讀指導(dǎo)

常見的數(shù)學(xué)課+“你知道嗎？”是一種數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教育的形式。汪曉勤教授提出的數(shù)學(xué)史附加式融入教學(xué)就類似這樣的做法。以人教版一年級(jí)上冊教材為例，教材編排設(shè)計(jì)了三個(gè)“你知道嗎”，其一在學(xué)生認(rèn)識(shí)了數(shù)字1～10后呈現(xiàn)了古代用算籌表示數(shù)的方式，其二在十以內(nèi)的加減法后呈現(xiàn)了古埃及象形文字中算式的樣子，其三編排在認(rèn)識(shí)時(shí)鐘后簡單出示了中國古代的計(jì)時(shí)工具日晷和銅漏壺。值得思考的是，教師在處理這部分內(nèi)容時(shí)候通常是蜻蜓點(diǎn)水，讓學(xué)生看看就過。那么教材這部分的內(nèi)容僅僅是為了豐富教材元素嗎？當(dāng)然不是，編寫者肯定希望在有限的教材版面內(nèi)給學(xué)生帶來更多的數(shù)學(xué)素養(yǎng)成長。

通過對(duì)教材的分析、思考，在低年級(jí)的數(shù)學(xué)課中不妨進(jìn)行一些嘗試。在課堂中安排一定的時(shí)間指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行閱讀，設(shè)計(jì)幾個(gè)簡單的問題讓學(xué)生在閱讀后思考，如：“你能根據(jù)這段材料的知識(shí)，用古代算籌表示數(shù)字嗎？”“你能根據(jù)古埃及象形數(shù)字的意思計(jì)算古埃及的算式嗎？”“結(jié)合我們現(xiàn)在的時(shí)鐘猜測一下古代計(jì)時(shí)工具的原理”等等問題，一方面培養(yǎng)學(xué)生邊閱讀邊思考的習(xí)慣，另一方面，從數(shù)學(xué)眼光的養(yǎng)成來看，這也有利于低年級(jí)學(xué)生透過古今差異現(xiàn)象，觀察數(shù)學(xué)本質(zhì)，并且通過引導(dǎo)低年級(jí)學(xué)生從課內(nèi)數(shù)學(xué)史料入手進(jìn)行思考推理，也能在課內(nèi)營造推理氛圍。

（二）課外閱讀鏈接

閱讀不僅在課內(nèi)，學(xué)生大量的閱讀都是在課外進(jìn)行的。從全學(xué)科閱讀的大趨勢上，我們可以發(fā)現(xiàn)課外的數(shù)學(xué)閱讀不僅能激發(fā)學(xué)生興趣，還能啟發(fā)學(xué)生思維。借著全學(xué)科閱讀的時(shí)機(jī)，數(shù)學(xué)教師對(duì)學(xué)生的課外閱讀進(jìn)行適當(dāng)?shù)母深A(yù)，則可以營造良好的推理氛圍。教師可以結(jié)合低年級(jí)學(xué)生心理特點(diǎn)，收集學(xué)生可參考感興趣的數(shù)學(xué)史料選擇繪本、漫畫類的書籍推薦給學(xué)生，并指導(dǎo)帶著問題思考閱讀，也可以將數(shù)學(xué)史料進(jìn)行加工、重組，在學(xué)生閱讀后鼓勵(lì)學(xué)生錄制短視頻、繪本故事或畫成漫畫。在制作作品的過程中學(xué)生會(huì)去思考、感受歷史上的數(shù)學(xué)知識(shí)的形成，重復(fù)是人類的學(xué)習(xí)方式之一，學(xué)生通過作品制作，在這一過程中復(fù)述數(shù)學(xué)先賢們的思維路徑，以這樣的形式營造課外推理氛圍。例如小學(xué)一年級(jí)，可以從喬爾·利維的《奇妙數(shù)學(xué)史》、霍華德·伊夫斯的《數(shù)學(xué)史概論》中收集到以下史料。以這些資料為素材，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行聯(lián)想、創(chuàng)作數(shù)學(xué)科普小視頻，或者經(jīng)由教師團(tuán)隊(duì)加工形成閱讀資料、視頻動(dòng)畫短片等。

二、模仿數(shù)學(xué)先賢，積累推理經(jīng)驗(yàn)

課堂教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生推理意識(shí)的主陣地，推理意識(shí)的培養(yǎng)貫穿于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的各個(gè)活動(dòng)環(huán)節(jié)，通過多樣化的活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。在小學(xué)低年級(jí)，學(xué)生的推理意識(shí)培養(yǎng)往往在觀察、操作中通過提出簡單的猜想提升推理意識(shí)。在教學(xué)過程中，學(xué)生觀察的對(duì)象除了課本、同學(xué)就是老師，甚至可以說，學(xué)生的推理意識(shí)萌芽源于對(duì)教師推理過程的模仿。而學(xué)生在低年級(jí)能面對(duì)的數(shù)學(xué)教師往往只有一人，可模仿的素材過于單一，教師的思維廣度、推理模式對(duì)學(xué)生推理意識(shí)的形成具有一定的局限性。增加模仿對(duì)象能讓學(xué)生的思維廣度、推理角度更多元化，對(duì)此，不妨讓學(xué)生模仿數(shù)學(xué)先賢，在浩瀚歷史長河中，許許多多的數(shù)學(xué)家都能成為培養(yǎng)學(xué)生推理意識(shí)的素材，每一個(gè)數(shù)學(xué)家的思維路徑都能成為學(xué)生推理意識(shí)發(fā)展的助推劑。

（一）模仿探究過程積累經(jīng)驗(yàn)

在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》中關(guān)于推理意識(shí)的表述中有這樣一句“能夠通過簡單的歸納或類比，猜想或發(fā)現(xiàn)一些初步的結(jié)論”。一線教師都只知道課堂上學(xué)生在觀察、類比、歸納這些環(huán)節(jié)都能較順利進(jìn)行，而在提出猜想的環(huán)節(jié)尤其是低年級(jí)學(xué)生就會(huì)面臨一系列難題，內(nèi)向的孩子不知道如何提出猜想，外向的孩子提的猜想天馬行空。在此時(shí)，不少教師總是以示范性的提出猜想，引導(dǎo)孩子“像老師這樣做”。眾多的一線教師都能感受到，模仿式的提問，學(xué)生遲早會(huì)懂得提出問題。既然如此，為何不讓學(xué)生模仿數(shù)學(xué)家們的探究過程呢？通過史料索引展示數(shù)學(xué)家的探究過程，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注，數(shù)學(xué)家是怎么發(fā)現(xiàn)這個(gè)數(shù)學(xué)問題的？你能像數(shù)學(xué)家一樣研究嗎？以此累積推理經(jīng)驗(yàn)。

（二）模仿思維模式建構(gòu)知識(shí)

汪曉勤教授提出的數(shù)學(xué)史融入課堂，可以在課堂中直接呈現(xiàn)歷史上的數(shù)學(xué)問題或數(shù)學(xué)方法用于教學(xué)。將這個(gè)方法遷移到低年級(jí)數(shù)學(xué)課堂，引導(dǎo)學(xué)生模仿數(shù)學(xué)家的思考方式，經(jīng)歷知識(shí)的演變過程，由復(fù)雜、曲折到簡便、順暢。人教版教材一年級(jí)下冊對(duì)于“18里面有幾個(gè)3”這類問題采用連減的方法進(jìn)行解決，在二年級(jí)教學(xué)表內(nèi)除法時(shí)則用除法算式結(jié)合乘法口訣進(jìn)行解答。翻閱史料，我們發(fā)現(xiàn)歷史上解決這類數(shù)學(xué)題是由減法入手，也就是歷史上的數(shù)學(xué)家的思維更貼近于一年級(jí)的辦法。那么我們不妨引導(dǎo)學(xué)生像數(shù)學(xué)家那樣經(jīng)歷從用減法算除法再到用乘法算除法的過程，在掌握知識(shí)的基礎(chǔ)上感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整體性、一致性，同時(shí)也給乘法掌握不扎實(shí)的孩子提供了另一種計(jì)算除法的方法。如此一來遇到類似的問題，學(xué)生也懂得依據(jù)之前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)推理出新的方法，這又何嘗不是推理意識(shí)的培養(yǎng)呢？

三、探索數(shù)學(xué)名題，構(gòu)建推理意識(shí)

當(dāng)學(xué)生從數(shù)學(xué)閱讀中感受到了推理的魅力，在歷代數(shù)學(xué)家的思維模式中積累了經(jīng)驗(yàn)，形成推理意識(shí)是自然而然的事。生活中能讓學(xué)生鍛煉、建構(gòu)推理意識(shí)的機(jī)會(huì)并不多，學(xué)生推理意識(shí)的建構(gòu)、鞏固還要依賴于數(shù)學(xué)課堂、數(shù)學(xué)作業(yè)還有益智游戲。數(shù)學(xué)史不僅能為數(shù)學(xué)教學(xué)提供了數(shù)學(xué)知識(shí)形成脈絡(luò)，數(shù)學(xué)史還是數(shù)學(xué)問題之庫。低年級(jí)學(xué)生能在探索數(shù)學(xué)名題中建構(gòu)推理意識(shí)。

（一）活用古代名題

小學(xué)中高年級(jí)的許多問題都能在古代數(shù)學(xué)著作中找到豐富的類型和完整的解法，如《九章算術(shù)》中行程問題、還原問題，《張邱建算經(jīng)》中工程問題，以及我們最熟悉的《孫子算經(jīng)》中的雞兔同籠問題。這些題目都在小學(xué)中年級(jí)后突然呈現(xiàn)在學(xué)生的面前，而我們也發(fā)現(xiàn)小學(xué)中年級(jí)學(xué)生在這一階段的推理素養(yǎng)突飛猛進(jìn)，相信這些古代名題也是影響學(xué)生推理素養(yǎng)的因素之一。因此我們不妨以古代名題為原型，將題目簡化，如：《九章算術(shù)》中《均輸章》第二十七問提到：“今有人持米出三關(guān)，外關(guān)三而取一，中關(guān)五而取一，內(nèi)關(guān)七而取一，余米五斗。問本持米幾何。”將這道原題進(jìn)行修改，“外關(guān)取半，中關(guān)再半，內(nèi)關(guān)又半”，就能適合低年級(jí)學(xué)生進(jìn)行思考解答。提早讓低年級(jí)的孩子接觸這類題目，不僅對(duì)低年級(jí)學(xué)生的語言理解能力有幫助，還能為推理意識(shí)的培養(yǎng)提供經(jīng)驗(yàn)。

（二）巧用益智游戲

18世紀(jì)初瑞士數(shù)學(xué)家歐拉研究的拉丁方陣是益智游戲數(shù)獨(dú)的起源，像這類益智游戲還有二十四點(diǎn)、漢諾塔等等。這些經(jīng)過歷史長河演變而來的益智游戲無疑是培育推理意識(shí)的養(yǎng)料。低年級(jí)的學(xué)生對(duì)于游戲有著強(qiáng)烈的參與意愿，能寓教于樂是每個(gè)教師的追求之一。因此，不妨為低年級(jí)的學(xué)生介紹九宮格、二十四點(diǎn)、漢諾塔這類益智游戲，讓學(xué)生自發(fā)、主動(dòng)地去研究、去參與，從而發(fā)展推理素養(yǎng)。

低年級(jí)學(xué)生推理素養(yǎng)的培養(yǎng)方式有許許多多，而數(shù)學(xué)史的融入能為教師在培養(yǎng)學(xué)生推理意識(shí)上提供另類的素材。借助數(shù)學(xué)史料引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)學(xué)閱讀在學(xué)習(xí)的過程中積累更多的經(jīng)驗(yàn)，豐富自己的感悟，從而形成推理意識(shí)，進(jìn)而強(qiáng)化、鞏固，這樣才能為推理能力的形成奠定厚實(shí)的基礎(chǔ)。

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（基金項(xiàng)目：本文系廈門市第六批基礎(chǔ)教育課程改革立項(xiàng)課題“HPM視野下小學(xué)數(shù)學(xué)思辨課堂教學(xué)模式研究”研究成果）