王斐

［摘? 要］ 培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力是數(shù)學(xué)教育的重要目標(biāo)之一。該如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力呢？文章認(rèn)為可從以下幾點出發(fā)：動手實踐，引發(fā)猜想；緊扣聯(lián)系，明確理據(jù)；獨立思考，深刻感悟；借助多媒體，助力推理。

［關(guān)鍵詞］ 推理能力；猜想；思維

史寧中教授提出，“數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴的主要思想從本質(zhì)上來看主要有推理、抽象與模型，做好以上三點，可讓學(xué)生形成用數(shù)學(xué)的眼光看待世界、用數(shù)學(xué)的思維分析世界、用數(shù)學(xué)的語言表達世界”［１］。其中，推理作為一種基本的數(shù)學(xué)思維方式，它與推斷、論證、思考既有一定的聯(lián)系，又有區(qū)別。新課標(biāo)將推理能力納入數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)體系之中，由此確立了“推理能力”在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要地位。

小學(xué)生受各種因素的影響，其推理能力的形成與發(fā)展需要經(jīng)歷一個漫長的過程，這就要求教師將培養(yǎng)學(xué)生推理能力的目標(biāo)貫穿整個小學(xué)教學(xué)階段。尤其是在組織與開展教學(xué)活動過程中，教師要注重引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、猜想、歸納、類比等方式自主找到知識間的邏輯關(guān)系與規(guī)律，讓學(xué)生感知“思之有源、言之有理”的嚴(yán)密推理的過程。

一、動手實踐，引發(fā)猜想

牛頓認(rèn)為，“沒有大膽的猜想，就沒有偉大的發(fā)現(xiàn)”。教師在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生對教學(xué)內(nèi)容進行大膽猜想，不僅能為學(xué)生新知的建構(gòu)明確方向，還能促使學(xué)生將新舊知識放在一起進行類比分析，實現(xiàn)學(xué)習(xí)經(jīng)驗與方法的正遷移，為學(xué)生形成學(xué)習(xí)能力奠定基礎(chǔ)。

當(dāng)學(xué)生遇到“丈二和尚摸不著頭腦”的問題時，通常會采取“試一試”的方式去尋找探究的方向，感知哪些思路與方法具有可行性，并在一定猜想的基礎(chǔ)上逐一驗證。當(dāng)然，這個過程離不開教師的點撥與引導(dǎo)。教師應(yīng)運用一定的手段啟發(fā)學(xué)生的思維，輔助學(xué)生思考與分析，為學(xué)生化解內(nèi)心的疑惑。

親自動手操作所獲得的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗有助于學(xué)生形成猜想與思考，尤其是真實的體驗?zāi)茇S富學(xué)生的內(nèi)心世界，提升學(xué)生對知識的感性與理性認(rèn)識。因此，教學(xué)過程中，教師通過一定的教學(xué)手段促使學(xué)生動手實踐并引發(fā)猜想是促進他們形成良好推理能力的基礎(chǔ)。

案例1? “長方體和正方體的體積”的教學(xué)

在教學(xué)中，教師選擇復(fù)習(xí)導(dǎo)入的方法促使學(xué)生回顧舊知，為引出猜想奠定基礎(chǔ)。

師：在本節(jié)課中，我們基于上節(jié)課的內(nèi)容，繼續(xù)研究物體的體積問題。通過以前的學(xué)習(xí)，大家都已經(jīng)掌握了一種基本的體積計算方法。請大家說一說是什么方法？

生（齊）：數(shù)體積單位法。

師：不錯，通過之前的學(xué)習(xí)，大家都清楚地掌握了一個物體包含了幾個體積單位，它的體積就是多少。（展示小方塊教具）現(xiàn)在將我手中4個體積為1cm3的正方體拼搭在一起，形成一個長方體，此時拼搭而成的長方體體積是多少？

生1：4cm3。

師：怎么得到這個數(shù)據(jù)的？

生2：小正方體的體積為1cm3，此為體積單位，拼搭在一起就形成了4cm3。

師：非常好！如果我們換一個角度來分析它的體積，該怎么辦呢？

生3：是否可以從長方體的長、寬、高著手進行分析？比如將4個小正方體連成一排，拼接在一起，就形成長4cm、寬1cm、高1cm的長方體。

師：很好！這就是本節(jié)課的教學(xué)重點與難點。現(xiàn)實生活中，我們不可能應(yīng)用數(shù)體積單位的方法來計算某些長方體或正方體物品的體積，這就需要我們換一個角度來分析?，F(xiàn)在我們在這個長方體的旁邊再添加一個小正方體，此時拼成的長方體的長、寬、高分別是多少？體積又是多少？

生4：此時所拼成的長方體的長、寬、高分別是5cm、1cm、1cm。

師：不錯！老師手上有一張表格（用PPT展示表1），請大家利用自己手中的小正方體拼搭長方體，并將相關(guān)數(shù)據(jù)填入該表格中。然后進行分組合作學(xué)習(xí)，討論長方體的體積與什么有關(guān)，各組做好記錄并匯報總結(jié)。

（學(xué)生交流并匯報，略）

師：經(jīng)歷了剛才的小組討論，大家都知道了長方體的體積與長方體的長、寬、高有著直接的關(guān)系。現(xiàn)在我們一起來猜想長方體的體積計算公式。

在教學(xué)過程中，教師將主動權(quán)交給學(xué)生，鼓勵學(xué)生在已有認(rèn)知的基礎(chǔ)上對長方體體積進行操作、記錄、交流并歸納總結(jié)，無須教師過多的指導(dǎo)，學(xué)生就能自主地認(rèn)知長方體的長、寬、高與體積的關(guān)系，并在小組合作學(xué)習(xí)中獲得長方體的計算公式。

在教學(xué)中，學(xué)生親歷了大膽猜想的過程，學(xué)會了獨立思考與合作學(xué)習(xí)。猜想的形成為探究活動的進行明確了方向，學(xué)生在對知識的切身體會中對體積公式建立了清晰的表象，并獲得良好的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，為培養(yǎng)自身的合作意識與創(chuàng)新意識奠定了基礎(chǔ)。

古人有云：“眼過千遍，不如手過一遍?！毙W(xué)生處于直觀形象思維階段，直接動手拼搭長方體或正方體，對他們來說具有吸引力。實踐操作對激發(fā)學(xué)生的探究欲和創(chuàng)新意識具有重要意義。動手實踐與猜想的過程，不僅豐富了學(xué)生的活動經(jīng)驗，還讓學(xué)生體會到科學(xué)研究數(shù)學(xué)問題的方法，使學(xué)生對知識產(chǎn)生了更加真實的理解，為推理能力的形成與發(fā)展奠定了堅實的基礎(chǔ)。

二、緊扣聯(lián)系，明確理據(jù)

數(shù)學(xué)概念、定理、公式、法則等的獲得應(yīng)遵循一定的程序性，教師要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、分析、推理與驗證的過程，讓學(xué)生對知識做到不僅知其然，而且知其所以然，明確“為何提出這樣的問題”“問題的破解方法是什么”“概念的形成與發(fā)展過程是怎樣的”“我該如何應(yīng)用”等。當(dāng)學(xué)生帶著大量的疑問去探尋知識的內(nèi)部聯(lián)系與本質(zhì)時，不僅能完善他們對知識的理解，還能讓推理過程有據(jù)可依、理據(jù)交融，從而彰顯推理的實際價值。

以探究“長方體和正方體的體積”的教學(xué)為例，通常情況下對于長方體的長、寬、高與體積之間的關(guān)系的教學(xué)，大部分教師都會選擇列舉一些長方體作為課堂探究的對象，通過讓學(xué)生在表格中記錄小正方體的個數(shù)與長、寬、高的數(shù)據(jù)來發(fā)現(xiàn)一些體積計算規(guī)律。這個步驟相對好操作，難度不大，教學(xué)效果頗佳。

如果從數(shù)學(xué)本質(zhì)的角度來分析，學(xué)生探索至此還不夠深刻。在這個環(huán)節(jié)，教師不要急于與學(xué)生一起歸納總結(jié)長方體體積的計算公式，而要引導(dǎo)與鼓勵學(xué)生關(guān)注問題的細(xì)節(jié)，通過合作學(xué)習(xí)的方式讓學(xué)生自主探究長方體體積與長、寬、高之間存在的內(nèi)在聯(lián)系和邏輯關(guān)系。只有追尋到數(shù)學(xué)規(guī)律的“前世今生”，學(xué)生才能實現(xiàn)真正意義上的理解性掌握。

為了揭示知識的內(nèi)在聯(lián)系與規(guī)律，教師可引導(dǎo)學(xué)生掌握正確數(shù)正方體的方法（按行或列數(shù)），讓知識的本質(zhì)暴露于學(xué)生的視野中，依次數(shù)出長方體中所存在的小正方體每行、每列的數(shù)量，通過列式“每行數(shù)量×行×層”，即可獲得長方體的體積單位數(shù)。隨著探究的深入，學(xué)生逐漸找出其中相對應(yīng)的關(guān)系，長方體的體積公式V=abh自然而然地顯現(xiàn)出來。

在教學(xué)過程中，教師將主動權(quán)交給學(xué)生，鼓勵學(xué)生通過小組合作的方式自主探索與長方體體積相關(guān)的條件，并引導(dǎo)學(xué)生在規(guī)范地“數(shù)”中建構(gòu)公式模型。這種教學(xué)模式不僅思維嚴(yán)謹(jǐn)、條理清晰，還有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力，對培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)探索精神具有重要作用。

三、獨立思考，深刻感悟

數(shù)學(xué)是思維的體操，推理作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最基本的思維方式，要在學(xué)生獨立思考的基礎(chǔ)上加以訓(xùn)練，讓學(xué)生在具體的問題中學(xué)會分析、歸納、抽象，從而推理出一般性的方法［２］。獨立思考是培養(yǎng)學(xué)生形成創(chuàng)新意識的關(guān)鍵，也是促使學(xué)生形成終身可持續(xù)發(fā)展能力的根本。獨立思考的外延包括數(shù)學(xué)抽象、推理、思維等，學(xué)生在面對不同的問題時，能用數(shù)學(xué)的眼光從數(shù)學(xué)的角度去分析問題，歷經(jīng)抽象與推理等過程，獲得解決問題的策略。

案例2? “3的倍數(shù)的特征”的教學(xué)

因為基于“2、5的倍數(shù)的特征”開展本節(jié)課的教學(xué)，所以教師在課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié)可以鼓勵學(xué)生自主回顧“2、5的倍數(shù)的特征”的研究過程，讓學(xué)生從中獲得一定的學(xué)習(xí)經(jīng)驗。學(xué)生很快總結(jié)出“2、5的倍數(shù)的特征”的研究過程為：百數(shù)表上找數(shù)；觀察圈出來的數(shù)字，形成猜想；驗證并歸納出特征。

設(shè)計意圖：以回顧的方式，喚醒學(xué)生對研究過程的記憶，為本節(jié)課的教學(xué)做鋪墊。

師：本節(jié)課我們需要研究“3的倍數(shù)的特征”，大家準(zhǔn)備怎么操作？

（學(xué)生獨立思考，并自由發(fā)言）

大部分學(xué)生提出：借鑒研究“2、5的倍數(shù)的特征”的方法，首先在百數(shù)表上圈出相關(guān)的數(shù)，然后觀察數(shù)的特征并提出猜想，最后進行驗證。

學(xué)生在實際操作過程中提出：觀察圈出來的數(shù)，發(fā)現(xiàn)“觀察個位數(shù)”的方法行不通。因為從橫向看，個位數(shù)上包含了0至9間的數(shù)；從縱向看，個位數(shù)上也存在0至9間的數(shù)。此時，就到了考驗學(xué)生觀察能力與思考能力的環(huán)節(jié)。

教師借助多媒體展示百數(shù)表，鼓勵學(xué)生換個角度去思考。

師：除了橫向觀察或縱向觀察，還可以怎么看？

設(shè)計意圖：相對于“2、5的倍數(shù)的特征”而言，“3的倍數(shù)的特征”更加隱蔽，如果以之前的研究經(jīng)驗來分析，并不能順利得出結(jié)論，因此教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生換一個角度來分析問題。

學(xué)生在教師的點撥下提出：斜著觀察，各個數(shù)位上的數(shù)的和為3、6、9、12、15、18，也就是各個數(shù)位上的數(shù)的和為3的倍數(shù)時，這個數(shù)便是3的倍數(shù)。

這是學(xué)生獨立思考之后所形成的猜想，接下來則進入驗證猜想的環(huán)節(jié)。此時，教師可以讓學(xué)生通過合作學(xué)習(xí)的方式自主討論并匯報結(jié)論。

設(shè)計意圖：通過引導(dǎo)，讓學(xué)生進行二次探索、交流，經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)—猜想—驗證—歸納”的過程，由此得出“3的倍數(shù)的特征”。

此教學(xué)過程，不僅避免了探究活動不夠深入與淺嘗輒止的問題，還激發(fā)了學(xué)生的自主思考能力。學(xué)生因為親歷了整個研究過程，會對所獲得的結(jié)論產(chǎn)生更加深刻的認(rèn)識與理解，進一步強化了新知建構(gòu)，發(fā)展了推理能力。

四、借助多媒體，助力推理

隨著時代的發(fā)展，應(yīng)用信息技術(shù)輔助教學(xué)已經(jīng)成為課堂常態(tài)化的內(nèi)容。多媒體與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)整合，不僅能豐富教學(xué)內(nèi)容，讓靜止的知識變得生動、直觀，還能將數(shù)學(xué)事物的內(nèi)在聯(lián)系與變化規(guī)律直觀地展示在學(xué)生面前，讓學(xué)生對知識的本質(zhì)產(chǎn)生形象的認(rèn)識。這對啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，激活學(xué)生的推理能力等具有明顯的促進作用。

案例3? “平行四邊形的面積”的教學(xué)

對于本節(jié)課，大部分教師會選擇引導(dǎo)學(xué)生用“剪拼法”來探索平行四邊形的面積。直接操作的方式教學(xué)效果固然不錯，在學(xué)生操作之前如果教師能借助多媒體激發(fā)學(xué)生的思維，讓學(xué)生主動想到“剪拼法”，教學(xué)效果則更佳。

筆者在教學(xué)時，可借助多媒體的動畫演示功能，將平行四邊形顯示在方格中，通過課件動態(tài)演示方格的移動，將一個平行四邊形轉(zhuǎn)化為一個規(guī)則的長方形。學(xué)生通過這一直觀的動態(tài)演示對平行四邊形面積產(chǎn)生了深刻理解。

借助多媒體進行方格的動態(tài)轉(zhuǎn)移，不僅有效地銜接了新舊知識，還讓學(xué)生在直觀中感知到“剪拼法”的應(yīng)用，同時為“割補法”的應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。隨著多媒體的應(yīng)用，學(xué)生在觀察中提出猜想，并根據(jù)猜想進行深入探索，獲得相應(yīng)的結(jié)論，即平行四邊形的面積=底×高。學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力，在多媒體的幫助下得以有效提升。

總之，數(shù)學(xué)推理能力的培養(yǎng)貫穿學(xué)生的整個學(xué)習(xí)生涯，它不僅能促進學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)思維，還能讓學(xué)生從數(shù)學(xué)事物的寬度與深度等方面，發(fā)現(xiàn)隱匿于表象背后的客觀規(guī)律［３］。這是數(shù)學(xué)學(xué)科獨有的魅力，也是數(shù)學(xué)精神的體現(xiàn)。因此，教師應(yīng)將培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力落實到教學(xué)的每一個環(huán)節(jié)，堅持因材施教、多管齊下，促進學(xué)生形成終身可持續(xù)發(fā)展的能力。

參考文獻：

［１］ 史寧中.試論數(shù)學(xué)推理過程的邏輯性——兼論什么是有邏輯的推理［Ｊ］. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報，２０１６，２５（０４）：１－１６.

［２］ 吳維維，邵光華. 邏輯推理核心素養(yǎng)在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂如何落地［Ｊ］. 課程·教材·教法，２０１９，３９（０３）：８８－９５.

［３］ 郎淑雷. 類比推理：數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的有效方法［Ｊ］. 安慶師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），２００７（０３）：１１９－１２１.