戴鼎君

［摘 要］概念教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的根基，是落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵。在概念教學(xué)中教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生積極參與學(xué)習(xí)與探究，助推學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)生長。文章以“數(shù)列的概念”教學(xué)為例，從生活經(jīng)驗(yàn)、知識經(jīng)驗(yàn)、方法經(jīng)驗(yàn)三個方面探討立足學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)。

［關(guān)鍵詞］概念教學(xué)；學(xué)生經(jīng)驗(yàn)；數(shù)列

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2023）17-0006-03

數(shù)學(xué)概念是反映現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)屬性的思維形式。數(shù)學(xué)概念教學(xué)的重要性不言而喻。在高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，部分教師輕概念、重解題，將大量的時間放在引導(dǎo)學(xué)生解題上，認(rèn)為通過解題訓(xùn)練，可使學(xué)生深入理解概念，致使學(xué)生對概念的本質(zhì)一知半解，也無法利用概念來解決問題。

在高中概念教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生體會概念的生成過程，幫助學(xué)生把握概念的本質(zhì)，領(lǐng)悟思想方法。學(xué)生經(jīng)驗(yàn)是教育的起點(diǎn)，有效的教學(xué)應(yīng)該關(guān)注學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，助推學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)生長。下面筆者以“數(shù)列的概念”教學(xué)為例，探討立足學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)。

一、教學(xué)過程

（一）立足生活經(jīng)驗(yàn)，初步認(rèn)識數(shù)列

師：同學(xué)們，老師想了解一下你們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，于是在智學(xué)網(wǎng)上查閱了你們近5次的周測成績，以下是甲、乙兩位同學(xué)的成績，你們能幫老師分析一下他們最近的學(xué)習(xí)情況嗎？

［案例1］甲的成績：80，82，86，90，95；乙的成績：90，87，92，83，87。

生：甲同學(xué)一直在進(jìn)步，說明他學(xué)習(xí)很認(rèn)真；乙同學(xué)成績有波動，說明他專注力不夠集中。

師：分析得非常準(zhǔn)確！若老師將兩位同學(xué)的成績按從小到大的順序發(fā)送給他們的父母，你們覺得合適嗎？

生：甲同學(xué)可以，乙同學(xué)不行。

師：為什么呢？

生：甲同學(xué)的成績是從小到大排列的，這樣發(fā)送沒有破壞順序；而乙同學(xué)的成績本身不是從小到大排列的，這樣發(fā)送會破壞原本的順序，無法體現(xiàn)出成績的變化情況。

師：這說明了什么？

生：說明成績應(yīng)該保持其原本的順序，不可隨意調(diào)換順序。

師：也就是說成績是具有確定順序的一列數(shù)。生活中這樣的例子還有很多，你能列舉出來嗎？

（學(xué)生列舉身高、體重、溫度等例子）

師：同學(xué)們舉的例子都非常好，老師再給大家提供兩個例子。

［案例2］王芳1歲到17歲生日當(dāng)天的身高數(shù)據(jù)：75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168。

師：你能歸納出以上3個例子的共同特征嗎？

生：都是按照確定的順序排列的一列數(shù)。

師：同學(xué)們歸納得非常準(zhǔn)確，我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列。

（二）立足知識經(jīng)驗(yàn)，深刻理解數(shù)列

師：83，87，87，90，92是數(shù)列嗎？

生：是的，它是按照從小到大的順序排列的。

師：它與90，87，92，83，87是同一數(shù)列嗎？

生：不是，它們的順序不同。

師：很好！講到順序，你們會聯(lián)想到之前學(xué)過的哪個知識點(diǎn)？它們有何區(qū)別？

生：集合。集合中的元素是不講順序的。

師：非常好，你們記得很清楚。83，87，87，90，92中有兩個87，能將其中一個去掉嗎？

生：不可以，若去掉，它們的順序就會發(fā)生改變，就不是原來的那個數(shù)列了。

師：這說明了什么呢？

生：說明數(shù)列中的數(shù)是可重復(fù)的。

師：這也是數(shù)列和集合的另一個區(qū)別。既然數(shù)列是有順序的，那么我們在說的時候就要強(qiáng)調(diào)它的順序，比如數(shù)列中的“第1個數(shù)”“第2個數(shù)”……數(shù)列中的每一個數(shù)叫作數(shù)列中的項(xiàng)，第1個數(shù)稱為“第1項(xiàng)”或“首項(xiàng)”，第2個數(shù)稱為“第2項(xiàng)”，以此類推。數(shù)列的一般形式可以寫成[a1]，[a2]，[a3]，…，[an]，簡記為[an] （強(qiáng)調(diào)[an與an] 的區(qū)別）。

師：你們還記得是如何給集合分類的嗎？

生：根據(jù)元素的個數(shù)進(jìn)行分類，元素個數(shù)有限稱為有限集，元素個數(shù)無限則稱為無限集。

師：類比集合的分類，我們可將項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列稱為有窮數(shù)列，項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列稱為無窮數(shù)列。

（三）立足方法經(jīng)驗(yàn)，自主探究數(shù)列

［練習(xí)1］案例3中的數(shù)列的[a1]、[a2]、[a5]項(xiàng)各是多少？

生：可以得出這個數(shù)列的所有項(xiàng)。

師：這是一個無窮數(shù)列，你能算出它的所有項(xiàng)嗎？是把它們都算出來嗎？

生：不是，無窮數(shù)列是無法寫完的，可由這個式子得到數(shù)列中的任意一項(xiàng)。

師：這個說法比較準(zhǔn)確，可以由這個式子得到數(shù)列中的任意一項(xiàng)，比如說第10項(xiàng)、第20項(xiàng)、第30項(xiàng)等。我們可令[n=1]、2、3、4…，將它們代入[an]中，這樣就能“對應(yīng)”得到[a1]、[a2]、[a3]、[a4…]。提到“對應(yīng)”，你們會聯(lián)想到之前學(xué)過的哪個知識點(diǎn)呢？

生：函數(shù)。

生：是函數(shù)。

師：你是如何判斷的？

教師：可結(jié)合函數(shù)的定義來判斷（定義域中的每一個[x]都有唯一的[y]與之對應(yīng)）。

師：請觀察案例1與案例2中的數(shù)列，并思考是否所有數(shù)列都是函數(shù)。

生：所有數(shù)列均為函數(shù)。

師：數(shù)列本質(zhì)上是從正整數(shù)集[N?] （或它的有限子集[1，2，…，n]）到實(shí)數(shù)集R的函數(shù)，自變量為項(xiàng)的序號[n]，對應(yīng)的函數(shù)值為數(shù)列中的第[n]項(xiàng)[an]。

師：類比是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方法，既然數(shù)列是函數(shù)，那我們可以從哪些角度來研究數(shù)列呢？

（2）列表法

（3）圖象法

師：用列表法也可以表示數(shù)列。與函數(shù)類似，列表法明確地列出了數(shù)列中的每一項(xiàng)，而且表示出了序號與項(xiàng)的對應(yīng)關(guān)系。

師：這位同學(xué)畫的圖象（見圖1）正確嗎？

生：不正確，圖象應(yīng)該是一些點(diǎn)，不能用線把它們連起來。

師：不錯，由于數(shù)列的定義域是[N?] （或它的有限子集為[1，2，…，n]），所以不能用線將點(diǎn)連起來，即數(shù)列的圖象應(yīng)該是一些離散的點(diǎn)，正確的圖象如圖2所示。

師：通過觀察圖象，你認(rèn)為數(shù)列具有哪些性質(zhì)？

生：數(shù)列具有單調(diào)性。

生：通過圖象可以看出該數(shù)列呈現(xiàn)單調(diào)遞減的趨勢，案例2中的數(shù)列呈現(xiàn)單調(diào)遞增的趨勢，說明數(shù)列具有單調(diào)性。

師：非常棒！當(dāng)然也不是所有數(shù)列都具有單調(diào)性（如案例1中乙同學(xué)的成績），依據(jù)單調(diào)性，我們可以將數(shù)列分為單調(diào)遞增數(shù)列、單調(diào)遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動數(shù)列（有增有減）。

師：那數(shù)列具有奇偶性嗎？

生：由于數(shù)列的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，因此數(shù)列不具有奇偶性。

師：很好！根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，數(shù)列也不具有奇偶性。

生：第1個數(shù)列的通項(xiàng)公式寫不出。

師：的確，第1個數(shù)列的通項(xiàng)公式無法寫出，與函數(shù)不一定存在解析式相類似，數(shù)列也不一定存在通項(xiàng)公式。

生：第2個數(shù)列的通項(xiàng)公式是[an=2n]，[n∈N?]。

生：無法表示出一正一負(fù)交替出現(xiàn)。

師：正確。還有其他表示方法嗎？

師：可將數(shù)列中的每一項(xiàng)寫成：1+1，1-1，1+1，1-1，1+1，1-1，…，那么也可以寫成[an=1+（-1）n+1]，[n∈N?]，這說明了什么？

生：同一個數(shù)列可能存在不同的通項(xiàng)公式。

師：很好，同一個數(shù)列的通項(xiàng)公式不唯一。

師：通過2，0，2，0，2，0，…這個數(shù)列，你還能發(fā)現(xiàn)數(shù)列具有什么性質(zhì)？

生：這是一個周期為2的數(shù)列。

師：太棒了！數(shù)列也具有周期性。

師：請同學(xué)們回顧一下本節(jié)課我們學(xué)到了什么？

（學(xué)生自主歸納本節(jié)課學(xué)到的知識及思想方法。）

師：結(jié)合剛剛探究數(shù)列的過程，你能猜想一下我們之后的課程要學(xué)習(xí)什么新內(nèi)容嗎？

生：特殊的數(shù)列。

二、經(jīng)驗(yàn)總結(jié)與思考

（一）準(zhǔn)確把握學(xué)生經(jīng)驗(yàn)

在進(jìn)行概念教學(xué)時，教師要充分考慮學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)并思考如何立足學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)開展教學(xué)，如何通過教學(xué)使學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)獲得“生長”。教師立足學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行教學(xué)預(yù)設(shè)，有利于準(zhǔn)確把握教學(xué)起點(diǎn)，靈活調(diào)整教學(xué)方案，幫助學(xué)生理解新知、鞏固舊知。

（二）精準(zhǔn)理解學(xué)生經(jīng)驗(yàn)類型

學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)有很多，但有的經(jīng)驗(yàn)是錯誤的，有的經(jīng)驗(yàn)雖然正確但不完善，而有的經(jīng)驗(yàn)學(xué)生無法遷移運(yùn)用。對于學(xué)生的不同經(jīng)驗(yàn)，教師要精準(zhǔn)理解并利用不同的策略進(jìn)行應(yīng)用。錯誤的經(jīng)驗(yàn)會抑制學(xué)生的學(xué)習(xí)，因此教師可通過創(chuàng)設(shè)情境或提出問題，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，引導(dǎo)學(xué)生反思錯誤經(jīng)驗(yàn)，糾正錯誤認(rèn)識。對于學(xué)生正確但不完善的經(jīng)驗(yàn)，教師可通過問題鏈的形式引領(lǐng)學(xué)生拓展深化，逐步完善。對于學(xué)生無法遷移的經(jīng)驗(yàn)，教師要找準(zhǔn)遷移點(diǎn)，將新知與已有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行對比、聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)“生長”。

（三）充分發(fā)揮學(xué)生經(jīng)驗(yàn)作用

教師在概念教學(xué)中要充分發(fā)揮學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的作用，創(chuàng)設(shè)與學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)有關(guān)的情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使新概念在與生活的聯(lián)系中自然生成，使學(xué)生易于接受與理解。在新知生成之后，教師可聯(lián)系學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)，將新知與舊知進(jìn)行比較，找到它們的區(qū)別與聯(lián)系，使學(xué)生更準(zhǔn)確、更深刻地理解新知，并將新知納入已有的知識體系中。在學(xué)生充分理解新知之后，教師可結(jié)合學(xué)生已有的方法經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生自主探究新概念的相關(guān)性質(zhì)與特征，培養(yǎng)學(xué)生的自主探究意識和能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

綜上，數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)學(xué)科的根基，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。概念教學(xué)不是一蹴而就的，是一個循序漸進(jìn)、連續(xù)發(fā)展的過程。立足學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的概念教學(xué)，應(yīng)在學(xué)生學(xué)習(xí)新知的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生不斷地對已有的知識、經(jīng)驗(yàn)與方法進(jìn)行回顧、總結(jié)，鞏固舊知、探索新知，構(gòu)建完整的知識體系，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?］

［1］? 蔡海濤，林運(yùn)來.核心素養(yǎng)下高中數(shù)學(xué)概念課教學(xué)策略［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2019（9）：20-25，66.

［2］? 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：2017年版2020年修訂［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［3］? 杜威.我們怎樣思維·經(jīng)驗(yàn)與教育［M］.姜文閔，譯.北京：人民教育出版社，2005.