盛晗笑 余波 董寧

［摘? 要］ 在教學(xué)中傳遞數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)學(xué)生全方面發(fā)展以及創(chuàng)新型人才的培養(yǎng)都有著重要意義. 研究者通過(guò)教材分析、訪談以及文獻(xiàn)查閱等方法，從教和學(xué)的角度探究應(yīng)用于集合教學(xué)的數(shù)學(xué)思想方法，分析教師教和學(xué)生學(xué)存在的問(wèn)題，并提出有針對(duì)性的教學(xué)對(duì)策，從而幫助教師在集合教學(xué)中能夠有效滲透數(shù)學(xué)思想方法，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 集合知識(shí)；數(shù)學(xué)思想方法；教學(xué)對(duì)策

引言

21世紀(jì)以來(lái)，國(guó)家各行業(yè)領(lǐng)域?qū)τ趧?chuàng)新型人才的需求持續(xù)增長(zhǎng)，如何培養(yǎng)創(chuàng)新型人才成了教育領(lǐng)域一直以來(lái)討論的話題. 創(chuàng)新型人才的基礎(chǔ)是人的全面發(fā)展，而其所具備的意識(shí)、能力以及精神等并不是憑空產(chǎn)生的，它們與人才的其他素質(zhì)有著密切的聯(lián)系. 在大數(shù)據(jù)時(shí)代下，對(duì)有意義的數(shù)據(jù)進(jìn)行專業(yè)化處理是創(chuàng)新型人才應(yīng)具備的能力，而這項(xiàng)能力的培養(yǎng)離不開(kāi)數(shù)學(xué)思想方法的幫助.

在傳統(tǒng)的教育環(huán)境下，數(shù)學(xué)教學(xué)大多以知識(shí)講授為主，學(xué)生無(wú)法從中理解知識(shí)的深層含義，也無(wú)法掌握數(shù)學(xué)思想方法. 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》提到，高中數(shù)學(xué)要以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，從而引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，而高中數(shù)學(xué)教學(xué)離不開(kāi)數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)，缺少了數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)就得不到有效提升. 因此，教師要利用合理的教學(xué)方式，傳遞數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生能理解并應(yīng)用，為學(xué)生適應(yīng)社會(huì)發(fā)展并成為創(chuàng)新型人才打下良好的基礎(chǔ).

集合是高中數(shù)學(xué)的第一個(gè)概念，它貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)，是學(xué)生必須學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)知識(shí)以及數(shù)學(xué)語(yǔ)言. 在集合教學(xué)中，要讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法，不僅需要教師根據(jù)實(shí)際情況調(diào)整教學(xué)方式，也需要學(xué)生不斷改善學(xué)習(xí)策略.

數(shù)學(xué)思想方法的概述及研究情況

1. 數(shù)學(xué)思想方法的概述

數(shù)學(xué)思想方法指的是人們?cè)跀?shù)學(xué)活動(dòng)不斷進(jìn)行的情況下，將所得的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行總結(jié)，再加以抽象概括形成的帶有普遍指導(dǎo)意義的思想方法. 高中數(shù)學(xué)主要包含以下幾種思想方法.

（1）函數(shù)與方程思想方法.

函數(shù)與方程思想方法是高中數(shù)學(xué)基本的數(shù)學(xué)思想方法，包含函數(shù)思想方法和方程思想方法兩部分. 函數(shù)思想方法指的是用運(yùn)動(dòng)和變化的思路去分析和研究數(shù)學(xué)中對(duì)象間的數(shù)量關(guān)系，從而建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造對(duì)應(yīng)的函數(shù)，再運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問(wèn)題、解析問(wèn)題. 方程思想方法指的是通過(guò)分析數(shù)學(xué)問(wèn)題中變量間的等量關(guān)系，列出未知數(shù)，建立方程或方程組解決問(wèn)題. 函數(shù)與方程是可以相互轉(zhuǎn)化的，掌握函數(shù)與方程思想方法，學(xué)生可以更好地理解數(shù)學(xué)中的一些動(dòng)態(tài)問(wèn)題.

（2）數(shù)形結(jié)合思想方法.

在高中數(shù)學(xué)中，數(shù)學(xué)研究對(duì)象通常分為“數(shù)”與“形”兩部分，兩者間存在一定的聯(lián)系. 因此，借助“數(shù)”來(lái)闡明“形”的特性，或者利用“形”來(lái)表達(dá)“數(shù)”的關(guān)系，就是數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用. 掌握數(shù)形結(jié)合思想方法，學(xué)生可以有效提高抽象思維能力和形象思維能力，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

（3）分類與整合思想方法.

分類指的是當(dāng)問(wèn)題包含多種情況不能統(tǒng)一研究時(shí)，需要按照一定的劃分標(biāo)準(zhǔn)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分類研究. 而整合指的是對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分類討論后，需要綜合并檢驗(yàn)所得結(jié)論，從而得到解決問(wèn)題的最終結(jié)果. 掌握分類與整合思想方法，有利于學(xué)生以更全面的眼光看待事物［1］.

（4）化歸與轉(zhuǎn)化思想方法.

化歸與轉(zhuǎn)化思想方法指的是在解決較難的問(wèn)題時(shí)沒(méi)有思路，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的觀察、分析，運(yùn)用適當(dāng)?shù)脑瓌t和方法將較難的問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)檩^熟悉或簡(jiǎn)單的問(wèn)題進(jìn)行解決的思想方法. 掌握化歸與轉(zhuǎn)化思想方法，學(xué)生可以不斷突破、不斷發(fā)展，以已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)解決未知問(wèn)題.

（5）特殊與一般思想方法.

特殊與一般思想方法指的是當(dāng)面對(duì)一些較抽象或難以解答的問(wèn)題時(shí)，通過(guò)取特殊值或用特殊方法去解決，或者根據(jù)特殊問(wèn)題推導(dǎo)出一般結(jié)論的思想方法. 學(xué)生一旦掌握特殊與一般思想方法，就可以利用規(guī)律解決新問(wèn)題，也可以通過(guò)個(gè)例推導(dǎo)出一般規(guī)律，從而有效提高解題效率.

（6）有限與無(wú)限思想方法.

有限與無(wú)限思想方法指的是把問(wèn)題中的無(wú)限情況轉(zhuǎn)化成有限情況來(lái)解決，或?qū)⒂邢耷闆r轉(zhuǎn)化為無(wú)限情況來(lái)解決的思想方法. 學(xué)生一旦掌握有限與無(wú)限思想方法，就可以加深知識(shí)理解，擴(kuò)大知識(shí)面.

（7）或然與必然思想方法.

或然與必然思想方法指的是在概率事件中，利用偶然規(guī)律尋找必然，或者利用必然事件解決偶然事件的思想方法. 掌握或然與必然思想方法，學(xué)生可以運(yùn)用或然與必然的辯證關(guān)系解決實(shí)際問(wèn)題.

2. 數(shù)學(xué)思想方法的研究情況

古希臘幾何學(xué)家歐幾里得在亞里士多德三段論的基礎(chǔ)上創(chuàng)作了《幾何原本》，系統(tǒng)描述了公理化方法. 德謨克利特在古希臘唯物主義哲學(xué)家留基伯的研究基礎(chǔ)上發(fā)明了“無(wú)窮小分析法”，阿基米德在古希臘詭辯論者安提豐發(fā)明的“窮竭法”的影響下發(fā)明了定積分. 這些方法和結(jié)論都蘊(yùn)含著一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)思想方法——極限思想方法. 古希臘的數(shù)學(xué)家將數(shù)學(xué)和哲學(xué)融為一體，以哲學(xué)理論推動(dòng)著數(shù)學(xué)的發(fā)展，并由此發(fā)現(xiàn)了一系列數(shù)學(xué)思想方法.

美國(guó)數(shù)學(xué)家M·克萊因編寫了《古今數(shù)學(xué)思想》，闡述了數(shù)學(xué)思想方法發(fā)展的歷史；日本數(shù)學(xué)家米山國(guó)藏的著作《數(shù)學(xué)的精神、思想和方法》則系統(tǒng)論述了貫穿數(shù)學(xué)的思想方法. 此外，國(guó)外還有許多學(xué)者對(duì)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行了細(xì)致研究，這些研究成果對(duì)我國(guó)的數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生了重要影響.

我國(guó)東漢初年編訂的數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》確定了我國(guó)古代數(shù)學(xué)的框架，它的出現(xiàn)標(biāo)志我國(guó)古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系，在算術(shù)、幾何和代數(shù)等方面均有涉及.

徐利治教授編寫的《數(shù)學(xué)方法論選講》《數(shù)學(xué)方法論教程》等著作，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想方法在我國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要性；鄭毓信教授發(fā)表的《數(shù)學(xué)方法論》《數(shù)學(xué)方法論入門》等著作則從不同維度對(duì)數(shù)學(xué)方法的教育進(jìn)行了闡述. 此外，國(guó)內(nèi)還有非常多優(yōu)秀的學(xué)者對(duì)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行了研究，并運(yùn)用到了中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，為我國(guó)的數(shù)學(xué)教育做出了非常大的貢獻(xiàn).

高中集合知識(shí)的研究情況

1. 集合知識(shí)的教材分析

以人教A版數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)教材（2019年版）（下文簡(jiǎn)稱教材）為例，集合知識(shí)集中于第一章，主要包含集合的概念、集合間的基本關(guān)系和集合的基本運(yùn)算三部分. 集合是高中數(shù)學(xué)引入的第一個(gè)概念，是貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)的語(yǔ)言，與后續(xù)學(xué)習(xí)的不等式、函數(shù)、幾何等高中數(shù)學(xué)知識(shí)有著密切聯(lián)系. 學(xué)好集合能夠幫助學(xué)生在生活中運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言解決問(wèn)題，也能夠?yàn)橹蟮母咧袛?shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ).

2. 集合知識(shí)蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法

單純的集合知識(shí)不難理解，但是集合知識(shí)與其他數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合的綜合題常常令學(xué)生手足無(wú)措. 只有將數(shù)學(xué)思想方法融于所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)中，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，才能幫助學(xué)生更好地理解知識(shí)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展.

集合知識(shí)的教學(xué)現(xiàn)狀和學(xué)習(xí)現(xiàn)狀

1.集合知識(shí)的教學(xué)現(xiàn)狀

筆者通過(guò)對(duì)某地區(qū)部分高中數(shù)學(xué)教師的訪談，發(fā)現(xiàn)其在集合知識(shí)的教學(xué)中存在一些問(wèn)題，之后對(duì)這些問(wèn)題進(jìn)行了整理歸納. 結(jié)合對(duì)文獻(xiàn)資料的整理，與上述結(jié)論進(jìn)行了比對(duì)，歸納出以下幾個(gè)方面.

（1）忽視了集合內(nèi)容的重要性.

在訪談和文獻(xiàn)查閱中發(fā)現(xiàn)，部分教師認(rèn)為集合知識(shí)比較簡(jiǎn)單，講解得較快，且在之后的章節(jié)中也沒(méi)有格外強(qiáng)調(diào)集合語(yǔ)言的重要性［3］. 這導(dǎo)致學(xué)生無(wú)法充分理解集合知識(shí)，也無(wú)法發(fā)揮主觀能動(dòng)性，同時(shí)把集合知識(shí)與其他數(shù)學(xué)知識(shí)割裂開(kāi)來(lái)，使學(xué)生解答集合綜合題時(shí)比較茫然，不知道如何下筆.

（2）集合教學(xué)為應(yīng)試服務(wù).

部分教師在集合知識(shí)講解中特別關(guān)注與考試相關(guān)的題目，更注重考試題型和解題技巧，同時(shí)只從成績(jī)上考查學(xué)生理解集合知識(shí)的情況. 這使得學(xué)生盲目關(guān)注解題，而忽略了集合語(yǔ)言的真正內(nèi)涵.

（3）集合知識(shí)的講解過(guò)于單調(diào).

集合知識(shí)是高中數(shù)學(xué)的第一個(gè)概念，有著非常重要的意義. 且集合是一門數(shù)學(xué)語(yǔ)言，學(xué)習(xí)并理解集合對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法的發(fā)展有著非常大的幫助. 但是部分教師講解集合知識(shí)時(shí)既沒(méi)有注重導(dǎo)入環(huán)節(jié)，又比較單調(diào)，例題的設(shè)置與現(xiàn)實(shí)生活缺乏聯(lián)系，這樣的教學(xué)方式很難讓學(xué)生提起對(duì)集合知識(shí)的興趣，自然無(wú)法激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力.

（4）對(duì)教材的研究不夠透徹.

新課標(biāo)提到，高中數(shù)學(xué)要以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境. 但當(dāng)前的教育環(huán)境下，一些教師對(duì)教材的研究還不夠透徹，掌握不到可以有效促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的方法，因此也就無(wú)法有效展開(kāi)集合知識(shí)的教學(xué).

2. 集合知識(shí)的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀

通過(guò)對(duì)某地區(qū)部分高中生的訪談和問(wèn)卷調(diào)查，以及對(duì)高中生集合習(xí)題完成情況的研究，發(fā)現(xiàn)其在集合知識(shí)學(xué)習(xí)中存在一些問(wèn)題，之后對(duì)這些問(wèn)題進(jìn)行了整理歸納.

（1）對(duì)集合知識(shí)理解困難.

學(xué)生對(duì)集合概念不清楚，理解困難，具體表現(xiàn)在：①子集和真子集的概念；②常見(jiàn)數(shù)集的分類及字母表示；③屬于關(guān)系和包含關(guān)系的概念；④集合的基本運(yùn)算；⑤空集與含“0”元素集合的概念區(qū)別；⑥補(bǔ)集的概念.

（2）對(duì)集合知識(shí)應(yīng)用困難.

部分學(xué)生雖然對(duì)集合概念有了一定的了解，但是無(wú)法用合適的集合知識(shí)解決問(wèn)題，具體表現(xiàn)在：①知道交集、并集、補(bǔ)集的概念，但是混合運(yùn)算存在困難；②對(duì)有關(guān)集合的綜合題無(wú)從下手；③求解子集問(wèn)題時(shí)容易忽略空集的存在.

（3）對(duì)集合要素把握不深.

學(xué)生對(duì)集合要素把握不深，特別是集合的互異性. 當(dāng)提到集合三要素時(shí)，學(xué)生容易回憶起“確定性、無(wú)序性和互異性”，但求解一些含代數(shù)式的集合時(shí)，部分學(xué)生通常會(huì)得到含相同元素的集合作為最終答案，這說(shuō)明他們對(duì)集合三要素并沒(méi)有完全理解.

滲透數(shù)學(xué)思想方法的集合教學(xué)策略

1. 深入研究教材，更新教學(xué)理念

集合知識(shí)在教材的第一章，內(nèi)容比較基礎(chǔ)，但如何讓學(xué)生從中掌握集合語(yǔ)言，運(yùn)用集合語(yǔ)言對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行描述是一項(xiàng)艱巨的任務(wù)［4］. 教師要重視集合知識(shí)的重要性，在進(jìn)行集合教學(xué)前要深入理解教材的編排意義，對(duì)集合知識(shí)有一個(gè)整體把握，這樣才能在課堂教學(xué)中有條不紊地將知識(shí)傳遞給每一位學(xué)生.

通過(guò)近幾年的高考試題研究，可以發(fā)現(xiàn)高考題目的設(shè)置不再著重考慮學(xué)生的解題技巧和機(jī)械運(yùn)算，而是更關(guān)注學(xué)生對(duì)試題的理解能力. 因此，教師需要持續(xù)更新教學(xué)理念，在進(jìn)行集合知識(shí)教學(xué)時(shí)要重視數(shù)學(xué)思想方法與集合知識(shí)的結(jié)合. 比如，在傳遞數(shù)形結(jié)合思想時(shí)，教師可以利用多媒體技術(shù)展示相關(guān)圖形的制作，讓學(xué)生直觀感受數(shù)形結(jié)合的作用. 又比如，在傳遞化歸與轉(zhuǎn)化思想方法時(shí)，教師可以組織學(xué)生就集合綜合題展開(kāi)討論，讓每一位學(xué)生根據(jù)題目談?wù)勛约合氲降闹R(shí)，這樣可以有效提高學(xué)生思考問(wèn)題的靈活性.

2. 創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境，融入數(shù)學(xué)史

如果教師講授集合知識(shí)時(shí)過(guò)于單調(diào)，只是一味地講解概念，那么學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情就會(huì)大大降低，數(shù)學(xué)思想方法也就無(wú)法順利地傳遞給學(xué)生. 這就決定教師在教學(xué)時(shí)要根據(jù)知識(shí)不斷創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境，滲透數(shù)學(xué)思想方法，將集合知識(shí)與生活實(shí)際相結(jié)合，加深學(xué)生對(duì)集合知識(shí)的理解. 在后續(xù)如不等式、函數(shù)等知識(shí)的教學(xué)中，也可以創(chuàng)設(shè)用集合語(yǔ)言進(jìn)行表述的問(wèn)題，促使學(xué)生復(fù)習(xí)集合知識(shí)，對(duì)集合知識(shí)有更加深刻的了解.

數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)的一部分，在教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史可以幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)發(fā)展的過(guò)程. 教材的編排是符合邏輯結(jié)構(gòu)和學(xué)習(xí)要求的，但它舍棄了許多數(shù)學(xué)知識(shí)和方法形成的背景和過(guò)程，若學(xué)生只學(xué)習(xí)教材上的內(nèi)容，則難以了解數(shù)學(xué)全貌. 這就需要教師在教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)發(fā)展的脈絡(luò)，了解數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的背景，增加學(xué)習(xí)動(dòng)力.

3. 課后及時(shí)總結(jié)，歸納數(shù)學(xué)方法

上完一節(jié)數(shù)學(xué)課后，如果教師沒(méi)有帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)歸納，那么學(xué)生腦海中的知識(shí)就顯得雜亂無(wú)章. 作為引導(dǎo)學(xué)生理解知識(shí)的主導(dǎo)者，教師應(yīng)在每節(jié)課結(jié)束后帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)歸納，引導(dǎo)學(xué)生將知識(shí)串聯(lián)起來(lái)，從而加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的記憶和理解.

數(shù)學(xué)思想方法的掌握同樣離不開(kāi)總結(jié)歸納，因此教師上完一節(jié)數(shù)學(xué)課后，應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行總結(jié)歸納. 比如講授完集合知識(shí)后，可以將數(shù)學(xué)思想方法與對(duì)應(yīng)的集合題相結(jié)合，由此促進(jìn)學(xué)生記憶，之后教師再對(duì)集合知識(shí)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行羅列與歸納，使學(xué)生在后續(xù)的解題過(guò)程中更加深刻地理解數(shù)學(xué)思想方法.

結(jié)論

新時(shí)代呼喚創(chuàng)新型人才，而創(chuàng)新型人才的培養(yǎng)離不開(kāi)數(shù)學(xué)思想方法的幫助. 教師只有不斷鉆研教材，改善教學(xué)方法，以學(xué)生為主體，從學(xué)生的思維角度出發(fā)，才能有效幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)思想方法并學(xué)會(huì)在各領(lǐng)域中應(yīng)用.

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