潘桂英

摘? ?要：Geogebra是一款數(shù)字工具，可應(yīng)用于繪圖計算、幾何繪圖、白板協(xié)作等， Geogebra輔助數(shù)學(xué)教學(xué)在數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)直觀想象、數(shù)學(xué)邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等四個維度的素養(yǎng)培養(yǎng)上發(fā)揮著其他數(shù)學(xué)軟件不可替代的作用.

關(guān)鍵詞：Geogebra；核心素養(yǎng)；數(shù)學(xué)教學(xué)

2020年2月，教育部發(fā)布了《中等職業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》[ 1 ]，這是貫徹落實《國家職業(yè)教育改革實施方案》，進(jìn)一步完善我國職業(yè)教育國家教學(xué)標(biāo)準(zhǔn)體系的重要舉措.同時，也是指導(dǎo)中職學(xué)校教學(xué)改革，提高人才培養(yǎng)質(zhì)量的重要依據(jù)[ 2 ].《標(biāo)準(zhǔn)》指出，數(shù)學(xué)課程不但是學(xué)生專業(yè)課程學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，它還具有促進(jìn)專業(yè)發(fā)展、應(yīng)用等特點，是我國職業(yè)教育國家教學(xué)標(biāo)準(zhǔn)體系的組成部分[ 3 ].

隨著現(xiàn)代教育技術(shù)的不斷發(fā)展，Geogebra的運用也在課堂教學(xué)中不斷增加，可以動態(tài)演示不能反映生成性的畫圖過程，比傳統(tǒng)的教具更能培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).下面根據(jù)具體的教學(xué)項目，談?wù)勅绾斡肎eogebra來輔助培養(yǎng)和提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的中職數(shù)學(xué)課堂教學(xué).

1? 認(rèn)識Geogebra 軟件

Geogebra數(shù)學(xué)軟件在代數(shù)的各種運算、圖形的動態(tài)呈現(xiàn)、數(shù)據(jù)的隨機(jī)模擬等方面有著突出的優(yōu)勢，將幾何、代數(shù)、表格、圖形、統(tǒng)計、微積分等多種功能進(jìn)行了深度融合.Geogebra不僅有電腦版也有平板版，還有在線版和安卓手機(jī)版，可不用下載軟件不用安裝軟件直接在線使用，其中電腦版有經(jīng)典5和經(jīng)典6兩個版本，普通的電腦適合于用經(jīng)典5，觸屏電腦適合于用經(jīng)典6，其界面大體相似.軟件運行后，其基本工作界面包括標(biāo)題欄、菜單欄、工具欄、指令攔、側(cè)邊欄，編輯區(qū)主要包括代數(shù)區(qū)、繪圖區(qū)、3D繪圖區(qū)和表格區(qū)等.操作與幾何畫板大體相似，但功能更強(qiáng)大，動態(tài)效果更好.Geogebra可以將幾何、代數(shù)、表格、數(shù)據(jù)、統(tǒng)計、微積分等結(jié)合起來，共同詮釋奇妙的世界.

Geogebra是一個基于解析幾何，基于Java編程語言，極具動態(tài)和精準(zhǔn)的作圖程序，它在Java虛擬機(jī)環(huán)境下執(zhí)行命令.多種操作系統(tǒng)如Windows，Mac和FreeBSD等等，都可以完美地執(zhí)行基于Geogebra的動態(tài)課件.Geogebra可以在不同的執(zhí)行平臺上自由、無障礙的執(zhí)行，如微軟、MozillaFirefox等不同的網(wǎng)絡(luò)瀏覽器.

概括起來Geogebra主要有以下幾個特點：（1）代數(shù)、幾何和表格等動態(tài)結(jié)合；（2）操作界面更加的簡單，操作上來說也更容易上手，而且其功能強(qiáng)大；（3）可以使用多語言開展跨平臺運用，是一項較為自由的開源軟件.如圖1.

2? Geogebra在數(shù)學(xué)教學(xué)中培育核心素養(yǎng)方面的應(yīng)用

2.1? 培育數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)方面

數(shù)學(xué)運算是根據(jù)數(shù)學(xué)運算公式和法則，在明確運算對象的前提下，對特定對象進(jìn)行變形的推演過程.運算是一切行為的基礎(chǔ)，是保證行為準(zhǔn)確性的重要依據(jù).數(shù)學(xué)運算主要包含以下幾個方面，一是對運算對象的識別；二是對運算規(guī)律的理解；三是對運算程序掌握；四是對運算思路的探究；五是對運算方法的選擇；六是對運算程序的設(shè)計；七是對運算結(jié)果的求得等多方面[ 4 ].

Geogebra的計算方法簡單，能提供對應(yīng)的計算結(jié)果，如代數(shù)式、方程、不等式、向量、概率統(tǒng)計等，只需在計算區(qū)域輸入對象即可，軟件能主動提示是否建立滑動條、設(shè)定取值范圍、精確小數(shù)尾數(shù)等有關(guān)屬性設(shè)置.默認(rèn)情況下，運算區(qū)會放在繪圖區(qū)的旁邊，它允許使用Geogebra's CAS進(jìn)行數(shù)學(xué)符號運算，運算區(qū)有許多儲存格組成.充分發(fā)揮GeoGebra的便捷性和強(qiáng)大的運算功能，為學(xué)生提供自主探究的平臺.培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真細(xì)致的態(tài)度和勤于反思的品質(zhì).

《課程標(biāo)準(zhǔn)》中對數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的要求包含兩個層次：分別為單個不同情境中的質(zhì)量描述和熟悉的相關(guān)情景中的質(zhì)量描述，為我們透徹理解教材內(nèi)容，合理應(yīng)用教學(xué)設(shè)計，準(zhǔn)確理解學(xué)生層次提供了有力支撐.

中職教材中的四個“二次”問題，中職學(xué)生特別容易搞混，特別是二次三項式、一元二次方程、一元二次不等式、二次函數(shù)等等概念，他們更是難以清晰地理解.至于這幾者之間有怎樣的聯(lián)系和區(qū)別，怎樣去解決這些問題等等，學(xué)生都一臉懵逼.不但無解題思路且?guī)缀鯚o計算能力，利用Geogebra的運算功能可以快速地解決這些問題，且對四個“二次”的關(guān)系呈現(xiàn)得一目了然.

例如：對于二次三項式x2+3x-4，二次方程x2+3x-4=0，一元二次不等式x2+3x-4＞0，二次函數(shù)y=x2+3x-4的四個“二次”問題.

在Geogebra運算區(qū)輸入“x2+3x-4”，單擊“因式分解”工具圖標(biāo)時可得“（x+4）（x-1）”，單擊“精確解”工具圖標(biāo)時精確解x=-4，x=1，在輸入框中輸入“解集（x2+3x-4=0）”再按回車鍵，可得呈現(xiàn)形式不同的解集.

在Geogebra運算區(qū)輸入“x2+3x-4>0”，點擊“精確解”工具圖標(biāo)，即可彈出我們所要求的一元二次不等式x2+3x-4>0的解集x│x＜-4，x＞1.

在輸入框中輸入“x2+3x-4”，按回車鍵后，在代數(shù)區(qū)可得二次函數(shù)的解析式f（x）=x2+3x-4，同時在繪圖區(qū)可得相應(yīng)的函數(shù)圖像.如圖2.

2.2? 培育數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)方面

直觀想象是借助數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)揮空間想象能力，通過具有代表性的幾何圖形及其位置變化關(guān)系，來感知事物的形態(tài)和變化，從而使一些復(fù)雜的、難于理解的問題得到解決的過程.其主要內(nèi)容有：理解并掌握事物位置上的關(guān)系、形態(tài)上的變化、空間上的運動規(guī)律等.直觀想象是探究問題的主要依據(jù)，是進(jìn)行一切高階思維的基礎(chǔ)和保證.它不但能夠進(jìn)行數(shù)學(xué)推理，形成數(shù)學(xué)問題的解題思路，還能夠開展抽象的數(shù)學(xué)模型構(gòu)建.這樣，通過直觀感知和想象以及對事物特性、關(guān)系的分析，初步建立起以圖像為基礎(chǔ)，分析和解決事物形狀、位置的空間問題的想象能力.

《課程標(biāo)準(zhǔn)》將直觀想象素養(yǎng)分為熟悉單一情境和熟悉關(guān)聯(lián)情境兩個方面各5個層次進(jìn)行學(xué)業(yè)質(zhì)量描述，為我們備考教材和備考學(xué)生提供了良好的依據(jù).通過技術(shù)優(yōu)勢突出的Geogebra軟件，可以很容易的達(dá)到這些要求.從直觀上降低了學(xué)習(xí)的困難，增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的信心，培養(yǎng)了直觀想象素養(yǎng).

如在教學(xué)中職數(shù)學(xué)基礎(chǔ)模塊下冊第七章“簡單幾何體”第三節(jié)“簡單幾何體的三視圖”中，可以很好地利用Geogebra軟件動態(tài)地呈現(xiàn)圖像變化過程的特點，制作精美的3 D Geogebra課件，從而降低理解難度，促進(jìn)消化吸收.在Geogebra主界面的視圖菜單下打開3 D繪圖區(qū)，就可以進(jìn)行3 D課件的制作了，如下圖是一個通過3 D繪圖制作的有關(guān)簡單幾何體三視圖的課件，把需要呈現(xiàn)的信息通過按鈕來實現(xiàn)，只需拖動視圖區(qū)域就能觀察不同角度的立體圖形.如下圖，正三棱柱的主視圖、左視圖、俯視、復(fù)位等畫面通過點擊“主視圖”、“左視圖”、“俯視”、“復(fù)位”等按鈕進(jìn)行動態(tài)呈現(xiàn)，很好地提高了學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).如圖3所示.

2.3? 培育數(shù)學(xué)邏輯推理素養(yǎng)方面

邏輯推理是指從推理規(guī)律中得到其它觀點的過程.它從特定的事實入手，從命題出發(fā)，以得到數(shù)學(xué)結(jié)論為歸宿.它有兩種類型：一種是由特定到普通的推理，以歸納、類比為主要體現(xiàn)；另一種是由普通到特殊的推理，以推演為主要體現(xiàn).作為建立數(shù)學(xué)體系核心的邏輯推理，能夠有效保證數(shù)學(xué)活動的實現(xiàn)，促進(jìn)學(xué)生理性思維的發(fā)展.通過較為系統(tǒng)的中職數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)和訓(xùn)練，能夠使學(xué)生掌握基本的邏輯推理方法，進(jìn)而感受到事務(wù)與事務(wù)之間的根本聯(lián)系，形成高階的思維能力.做到條理清晰、表達(dá)流暢、行云流水、一氣呵成.在邏輯推理中養(yǎng)成敢于質(zhì)疑、嚴(yán)謹(jǐn)求實、善于思考的品格.

中職數(shù)學(xué)教材中所涉及的邏輯推理內(nèi)容較為常見，其中以函數(shù)的應(yīng)用最為廣泛，其廣泛應(yīng)用于冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等基本初等函數(shù)中.在三角函數(shù)一章節(jié)的教學(xué)中，學(xué)生對三角函數(shù)圖像的形成過程認(rèn)識不充分，對性質(zhì)的探索過程理解不深刻，會出現(xiàn)以假亂真、以偏概全的現(xiàn)象.在教學(xué)中，使學(xué)生了解三角函數(shù)的形成過程的內(nèi)在關(guān)聯(lián)與邏輯關(guān)系，從而更好地掌握三角函數(shù)的知識顯得尤為重要.利用Geogebra軟件可以使學(xué)生體驗到邏輯推理的過程，從而為學(xué)生提供可靠的猜想、推理、檢驗方法，從而有效地了解三角函數(shù)的有關(guān)問題.

如在教學(xué)中職數(shù)學(xué)基礎(chǔ)模塊上冊第四章“三角函數(shù)”的圖像變換時，運用Geogebra軟件動態(tài)地呈現(xiàn)三角函數(shù)的可視化作圖過程.通過拉動滑動條改變A、ω、φ和b的值，從而控制函數(shù)圖像變化，其中A的值決定函數(shù)的振幅，ω的值決定函數(shù)的周期，φ的值決定函數(shù)的左右平移，b的值決定函數(shù)的上下平移等.從而總結(jié)出函數(shù)y=sin（ωx+φ）+b的伸縮和平移變換特征，如圖4.

2.4? 培育數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)方面

數(shù)學(xué)抽象是一種思維過程，它拋棄事物的物理特性，將事物的特征、規(guī)律、性質(zhì)等抽象出來，提取出事物研究對象的本質(zhì)特征，從而形成新的數(shù)學(xué)概念和新的數(shù)學(xué)結(jié)論，并用規(guī)范而精確的數(shù)學(xué)語言加以表述的過程.數(shù)學(xué)抽象具有高度概括、表達(dá)準(zhǔn)確、分層遞進(jìn)的基本特點，在形成和發(fā)展理性思維中的作用不可替代，更不可超越.它貫穿于數(shù)學(xué)的產(chǎn)生階段、發(fā)展階段和應(yīng)用階段，是數(shù)學(xué)基本思想和基本方法的科學(xué)體系的重要組成部分.

《課程標(biāo)準(zhǔn)》認(rèn)為，數(shù)學(xué)抽象融入到數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、發(fā)展與應(yīng)用中，是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是學(xué)生樹立理性思維的重要依據(jù)[ 5 ].函數(shù)是培育學(xué)生數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的一個重要載體，是刻畫變量與變量間關(guān)系和規(guī)律的基礎(chǔ)工具.中職的函數(shù)概念相比初中的函數(shù)概念高大上了許多，也復(fù)雜了許多，包含了定義域、值域、對應(yīng)法則、非空數(shù)集等全新的概念，后期講到函數(shù)的性質(zhì)又加了單調(diào)性、奇偶性、最值等.學(xué)生理解普遍有困難.大部分學(xué)生只能機(jī)械地記憶.為了讓學(xué)生學(xué)懂弄通，老師也只能加強(qiáng)概念的辨析和題型的訓(xùn)練.這樣完全忽略了學(xué)生認(rèn)知的思維抽象過程，忽略了核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

利用Geogebra軟件，可以彌補(bǔ)這一缺點，如在教學(xué)中職數(shù)學(xué)基礎(chǔ)模塊下冊第五章“指標(biāo)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)”第二節(jié)“指數(shù)函數(shù)”中動態(tài)地呈現(xiàn)指數(shù)函數(shù).通過拉動滑動條a和b改變函數(shù)f（x）=ax和g（x）=bx的底數(shù)，從而得到不同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)圖像，其中a的取值范圍是（1，5），b的取值范圍是（0，1），通過觀察函數(shù)f（x）=ax的圖像變化，得到當(dāng)a＞1時，函數(shù)圖像位于x軸上方，且單調(diào)遞增；通過觀察函數(shù)g（x）=bx的圖像變化，得到當(dāng)0＜b＜1時，函數(shù)圖像位于x軸上方，且單調(diào)遞減.如圖5.

Geogebra廣泛應(yīng)用于中職數(shù)學(xué)及其他學(xué)科教學(xué)，不僅降低了學(xué)習(xí)難度，而且增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提升了學(xué)習(xí)效率.借助軟件的動態(tài)演示及其他強(qiáng)大的功能，教師可以直觀地呈現(xiàn)知識的生成過程，扭轉(zhuǎn)傳統(tǒng)教學(xué)中僅注重結(jié)果不注重過程的局面.通過軟件的動態(tài)生成和即時操作功能，為學(xué)生對教學(xué)活動的深入?yún)⑴c提供了一種實驗探索的平臺，很好地提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

Geogebra功能之強(qiáng)大，使得如何在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用Geogebra，值得老師們?nèi)ド疃韧诰?這一任務(wù)任重道遠(yuǎn).

參考文獻(xiàn)：

［1］ 李燕華.培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的方法與途徑[J].初中生世界：初中教學(xué)研究，2016（40）：44-45.

［2］ 賀瑜.中職數(shù)學(xué)趣味教學(xué)研究.[D].重慶：西南大學(xué)，2020.

［3］ 秦靜，畢漁民.引領(lǐng)中職數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展的課程標(biāo)準(zhǔn)研究--《中等職業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)課程》解讀[J]，中國職業(yè)技術(shù)教育，2020（20）：6-9.

［4］ 張嵐.基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的解析幾何教學(xué)——談數(shù)學(xué)運算能力的提升[J].中學(xué)教研：數(shù)學(xué)版，2017（5）：4.

［5］ 褚焌雅.中職學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的現(xiàn)狀調(diào)查及培養(yǎng)策略研究[D].重慶：西南大學(xué)，2020.