摘 要：本文分析了高中生數(shù)學(xué)建模能力現(xiàn)狀：整體能力比較薄弱，具體體現(xiàn)在實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力不足；利用已學(xué)知識(shí)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的能力薄弱；數(shù)據(jù)整理與加工的能力欠缺；數(shù)學(xué)運(yùn)算能力有待提高這幾個(gè)方面。本文以線性回歸模型為例，從建模全周期的視角和知識(shí)與概念教學(xué)兩方面論述培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的策略。建模全周期包含實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題、數(shù)據(jù)探索、模型變換與確定、數(shù)據(jù)異常值處理、模型擬合效果評(píng)價(jià)幾個(gè)方面的微能力。概念與知識(shí)的教學(xué)層面又可以細(xì)分為打通概率知識(shí)與統(tǒng)計(jì)知識(shí)的聯(lián)系橋梁、線性回歸方程知識(shí)系統(tǒng)化教學(xué)、數(shù)值計(jì)算合理化訓(xùn)練三個(gè)方面。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)建模；線性回歸

中圖分類號(hào)：G6３? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ? 文章編號(hào)：1673-9132（2023）25-00４５-03

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2023.25.0１５

高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力的要求：能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)實(shí)際問(wèn)題，從實(shí)際角度選擇或者構(gòu)建合適的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)算解出結(jié)論，驗(yàn)證其結(jié)果的可靠性，改進(jìn)模型再驗(yàn)證最后可以利用模型解決實(shí)際問(wèn)題。數(shù)學(xué)建模中存在大量的模型，而高中階段線性回歸模型是學(xué)生學(xué)習(xí)比較深入的模型?；诂F(xiàn)實(shí)考慮，結(jié)合線性回歸教學(xué)實(shí)際，我們要深度培養(yǎng)學(xué)生的建模能力。

一、高中生數(shù)學(xué)建模能力現(xiàn)狀

數(shù)學(xué)建模是兼具實(shí)踐技能與理論基礎(chǔ)的一種數(shù)學(xué)活動(dòng)。數(shù)學(xué)建模能力最直接的體現(xiàn)就是在解應(yīng)用題上。高中部分有勻速圓周運(yùn)動(dòng)模型、指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)模型、線性回歸模型等。從教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在解數(shù)學(xué)模型類題型時(shí)往往十分吃力。這和模型類題型具有的特點(diǎn)有很大的關(guān)系。模型類題型的主要特點(diǎn)：（1）題目文字信息量巨大，閱讀起來(lái)十分吃力；（2）無(wú)法從題目給出的信息轉(zhuǎn)化為具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題；（3）題目中含有大量數(shù)據(jù)，但是不知道如何整理這些數(shù)據(jù)；（4）在煩瑣的題目上摸索很長(zhǎng)時(shí)間最后發(fā)現(xiàn)公式記不清了。特別是遇到線性回歸模型問(wèn)題時(shí)，這些問(wèn)題可以得到集中體現(xiàn)。其具有的特點(diǎn)：一道題型所占篇幅往往是一整頁(yè)試卷，十分考驗(yàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力；很多數(shù)據(jù)十分考驗(yàn)學(xué)生數(shù)據(jù)敏感性；公式冗長(zhǎng)、計(jì)算繁雜，十分考驗(yàn)學(xué)生的數(shù)據(jù)運(yùn)算能力。

二、從建模全周期的視角培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力

（一）實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力

從實(shí)際情境中快速提取對(duì)問(wèn)題緊密相關(guān)的數(shù)據(jù)信息。教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)忽略背景知識(shí)中無(wú)關(guān)緊要的信息，緊緊圍繞和數(shù)值有關(guān)的諸如長(zhǎng)度、距離、金額等數(shù)據(jù)，讓學(xué)生思考這些數(shù)據(jù)信息，有沒(méi)有哪些變量可以構(gòu)建類似的函數(shù)關(guān)系，找到隱含的自變量x，因變量y。確定了自變量與因變量之后，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生利用符號(hào)化語(yǔ)言來(lái)表達(dá)這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，完成實(shí)際問(wèn)題到數(shù)學(xué)問(wèn)題的抽象過(guò)程。

（二）數(shù)據(jù)探索能力

在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中，對(duì)數(shù)據(jù)的整體把握是最重要的環(huán)節(jié)。以高中階段統(tǒng)計(jì)知識(shí)為例，我們可以通過(guò)一些特征數(shù)（平均值、中位數(shù)、眾數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差），了解數(shù)據(jù)的特征。我們還可以利用圖表的方式了解數(shù)據(jù)的整體分布情況，如頻率分布直方圖、條形圖、莖葉圖等。做完這些數(shù)據(jù)探索之后，判斷是否可以使用線性回歸模型的重要依據(jù)就是兩個(gè)變量的相關(guān)性的強(qiáng)弱。相關(guān)系數(shù)r≥0.6是通常判斷是否可行的一個(gè)指標(biāo)。相關(guān)系數(shù)公式rxy= 。恰當(dāng)選擇公式可以優(yōu)化計(jì)算過(guò)程。當(dāng)然除了相關(guān)系數(shù)外，另一個(gè)比較直觀的工具是散點(diǎn)圖。散點(diǎn)圖可以快速知曉數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)，判斷兩個(gè)變量之間是否具有線性關(guān)系。教學(xué)過(guò)程中，教師要強(qiáng)調(diào)相關(guān)系數(shù)和散點(diǎn)圖的含義，讓學(xué)生掌握通過(guò)相關(guān)系數(shù)或者散點(diǎn)圖解讀兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系。學(xué)生經(jīng)常會(huì)向教師提出這樣的問(wèn)題：相關(guān)系數(shù)正負(fù)值與散點(diǎn)圖數(shù)據(jù)的趨勢(shì)中的斜率是什么關(guān)系？教學(xué)中與一次函數(shù)單調(diào)性相結(jié)合，函數(shù)圖像的上升趨勢(shì)與下降趨勢(shì)與散點(diǎn)圖非常相似，用知識(shí)遷移的方式講解散點(diǎn)圖趨勢(shì)、相關(guān)系數(shù)正負(fù)值與一次函數(shù)x的系數(shù)正負(fù)值的關(guān)系。

例1：某垃圾處理站2017年至2021年生活垃圾無(wú)害化處理量（單位：萬(wàn)噸）。

由散點(diǎn)圖可看出，年份x與y符合線性回歸模型。請(qǐng)從相關(guān)系數(shù)層面進(jìn)行說(shuō)明為什么符合線性回歸模型。

0.99相關(guān)系數(shù)0.99，相關(guān)性非常高，符合線性回歸模型。

（三）模型轉(zhuǎn)換與確定模型的能力

該散點(diǎn)圖上的點(diǎn)更多在這個(gè)模型函數(shù)圖像周圍。

（四）數(shù)學(xué)建模之異常數(shù)據(jù)處理的能力

數(shù)據(jù)中常常遇到異常值，異常值的產(chǎn)生可能是系統(tǒng)誤差也可能是偶然誤差。有異常值的出現(xiàn)會(huì)對(duì)整個(gè)模型產(chǎn)生重大影響，影響結(jié)果的準(zhǔn)確性。利用錯(cuò)誤的數(shù)據(jù)將得到錯(cuò)誤的模型，而錯(cuò)誤模型對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際結(jié)果將是天差地別。異常值最簡(jiǎn)單的處理方法就是剔除異常值。當(dāng)剔除個(gè)別數(shù)據(jù)不影響數(shù)據(jù)的整體性時(shí)，優(yōu)先剔除異常值。判斷異常值最直觀的方法就是散點(diǎn)圖。教學(xué)中，我們可以適當(dāng)結(jié)合例題說(shuō)明異常值對(duì)整個(gè)模型的影響，并思考如何去除異常值。

解：通過(guò)分析圖2可知出現(xiàn)一個(gè)異常點(diǎn)（2.2，5.15）。

（五）數(shù)學(xué)建模之評(píng)價(jià)模型的能力

模型建立好之后，如何判斷模型的優(yōu)劣？線性回歸模型擬合效果的主要兩個(gè)途徑：一個(gè)是利用線性回歸直線與散點(diǎn)圖位置關(guān)系，散點(diǎn)是否聚集在直線周圍。另一個(gè)是利用殘差分析知識(shí)，擬合優(yōu)度值R2越接近1越好。高中線性回歸模型學(xué)習(xí)，重點(diǎn)部分在線性回歸模型公式的運(yùn)用，但在線性模型的選擇和擬合效果的殘差分析上，大部分教師會(huì)因?yàn)檎n時(shí)和考試評(píng)價(jià)原因忽略這一部分知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)。所以除了學(xué)習(xí)線性回歸模型公式外，教師還需要對(duì)擬合效果進(jìn)行特別教學(xué)，促使學(xué)生快速掌握模型評(píng)價(jià)能力。

三、從概念與知識(shí)的教學(xué)考慮回歸模型的能力培養(yǎng)

（一）打通概率知識(shí)與統(tǒng)計(jì)知識(shí)的聯(lián)系橋梁

任何數(shù)學(xué)建模都是建立在一定的數(shù)學(xué)概念與知識(shí)的基礎(chǔ)上的，所以高中階段對(duì)概念與知識(shí)的學(xué)習(xí)絕對(duì)是重點(diǎn)。只有透徹學(xué)習(xí)概念與知識(shí)之后，我們應(yīng)用起來(lái)才得心應(yīng)手。線性回歸部分設(shè)計(jì)概率與統(tǒng)計(jì)的概念與知識(shí)。統(tǒng)計(jì)方面涵蓋知識(shí)：抽樣方法、樣本數(shù)據(jù)的四大特征（眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差與標(biāo)準(zhǔn)差）、頻率分布直方圖、回歸分析與獨(dú)立性檢驗(yàn)。概率方面涵蓋知識(shí)：古典概率、條件概率、兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布、正態(tài)分布、離散型隨機(jī)變量分布列、連續(xù)型或離散型隨機(jī)變量均值與方差。概率統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)具有很強(qiáng)的應(yīng)用性。概率的隨機(jī)變量與統(tǒng)計(jì)的分布是相輔相成的關(guān)系。隨機(jī)變量與函數(shù)自變量相比，函數(shù)的自變量是確定的，而隨機(jī)變量是不確定的。與大多數(shù)數(shù)學(xué)問(wèn)題是確定性問(wèn)題不同，“概率統(tǒng)計(jì)”中的變量具有不確定性。這個(gè)不確定特指隨機(jī)變量所取的值具有概率性，這是統(tǒng)計(jì)的核心。統(tǒng)計(jì)調(diào)查的每個(gè)部分都與隨機(jī)變量有關(guān)，把統(tǒng)計(jì)的概念同變量的理解聯(lián)系起來(lái)，有助于強(qiáng)化學(xué)生對(duì)統(tǒng)計(jì)的理解。在學(xué)習(xí)線性回歸模型模塊時(shí)，我們可以按照建模的步驟進(jìn)行學(xué)習(xí)，分別是問(wèn)題分析、數(shù)據(jù)提取、數(shù)據(jù)整理、數(shù)據(jù)分析，這樣學(xué)生可以完整地把握線性回歸過(guò)程。另一個(gè)核心是利用大數(shù)定理來(lái)介紹概率與頻率的關(guān)系、頻率分布直方圖與連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度函數(shù)的關(guān)系。

（二）線性回歸方程知識(shí)系統(tǒng)化教學(xué)

四、結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)建模是一個(gè)系統(tǒng)工程，只有從建立線性回歸模型全周期角度培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力、數(shù)據(jù)探索能力、模型變換能力、異常值處理能力、模型評(píng)價(jià)能力，才能將線性回歸建模完全掌握。教學(xué)實(shí)踐中，特別需要注意線性回歸模型背后蘊(yùn)含的概率統(tǒng)計(jì)的概念與知識(shí)是其最重要的理論支撐。推廣到一般模型，建立模型的全周期和支撐其模型背后的是扎實(shí)的數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)知識(shí)。教師不必束縛于題海當(dāng)中，而應(yīng)當(dāng)跳出題型框架來(lái)進(jìn)行教學(xué)，使學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)得到切實(shí)提升。

參考文獻(xiàn)：

［1］ 莊孝準(zhǔn).基于數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)——以“概率統(tǒng)計(jì)”為例［J］.西部素質(zhì)教育，2020（10）.

［2］ 虞秀云，彭玉潔，黃潤(rùn)華.聚焦真實(shí)問(wèn)題遞進(jìn)統(tǒng)計(jì)教學(xué)——拋錨式教學(xué)下“最小二乘估計(jì)”課例賞析［J］.中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2020（6）.

［3］ 周金強(qiáng).高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)［J］.數(shù)理天地（高中版），2022（7）.

［4］ 陳麗.高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)的研究［J］. 科學(xué)大眾（科學(xué)教育），2020（2）.

［5］ 羅東萍.數(shù)學(xué)建模教學(xué)的原則及有效實(shí)施［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2021（6）.

［6］ 高玉珊，凌中華.高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)實(shí)踐探究——以“線性回歸”為例［J］.中學(xué)教學(xué)參考，2020（35）.

［責(zé)任編輯 杜建立］