摘 要：數(shù)列的綜合應用是職教數(shù)學高考中的重點內容，主要考查考生對數(shù)列基本概念的掌握和運用情況.本文結合實際例題對職教高考數(shù)學中數(shù)列綜合應用問題解題的思路進行分析和探究，旨在指導數(shù)學教師開展教學，為學生優(yōu)化解題思路提供借鑒.

關鍵詞：職教高考；數(shù)列；解題思路

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2023）21-0014-03

收稿日期：2023-04-25

作者簡介：邱婷婷（1987.7-），女，江蘇省鹽城人，研究生，講師，從事高中數(shù)學教學研究.

職教高考是國家為中專專門設計的一條升學路徑，數(shù)學學科是其中一門重要的考試科目，而數(shù)列綜合應用問題則是數(shù)學職教高考中的重點，同時也是難點之一.由于數(shù)列綜合應用問題的解題過程較為繁瑣，對解題步驟要求也較為嚴格，所以一旦出現(xiàn)誤差將會影響整體答案的準確性.為了職校生能夠取得良好成績，相關教師應當傳授職校生科學的解題思路和方法，強調全面掌握基礎知識和概念，并整理同類題型，多加練習，總結做題技巧，深入分析題目，確定解題關鍵信息，再對解題步驟進行精簡，從而提高答題效率.

1 靈活運用數(shù)列知識基礎概念

基于以往的職教高考實踐經驗，多數(shù)職校生將數(shù)列綜合應用問題視為難點，主要原因是學生對于數(shù)列概念的理解不深刻，即在學習過程中不注重理解，采用死記硬背的方式進行學習，導致在考試時難以進行準確解答［1］.所以數(shù)學教師在進行數(shù)列綜合應用問題教學時，應當注重引導學生正確理解知識概念，再指導學生學習解題應用.比如教師可從相對簡單的題目入手，遵從循序漸進的原則，促使學生深入理解基礎知識概念，學會使用定義法解題［2］.比如給定an+1=an+d或an+1=qann∈N+條件，則滿足等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義，再根據(jù)定義得到公差或公比，然后尋找首項.教師應當注重引導學生完善自身的知識網絡和體系，可通過思維導圖的方式對數(shù)列綜合應用問題的相關知識點進行整理，加強知識點間的聯(lián)系，便于學生在閱讀題目后，能夠快速判斷所需使用的知識點，通過概念理解獲得解題思路.例題如下：

例1 已知數(shù)列an滿足，an+1=an+2n∈N+，且a1=1.

（1）求數(shù)列an的通項公式及前n項和Sn；

（2）假設bn=2an，求數(shù)列bn的前n項和Tn.

通讀題目，可運用定義法進行解題，即使利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義、通項公式等，再確定首項，解題步驟如下：

解 （1）因an+1=an+2，則an+1-an=2，

所以數(shù)列an是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，

可得an=2n-1，Sn=n（1+2n-1）2=n2.（2）因bn=2an=22n-1=2×4n-1，

又因數(shù)列bn是以2為首項，以4為公比的等比數(shù)列，

所以：Tn=234n-1.

在解題時，教師要先引導學生熟悉教材中的基本知識概念，從定義入手.如在教學中，根據(jù)教材內容，解決較為簡單的數(shù)列問題，內化總結數(shù)列的定義，再列舉相同的數(shù)字組，了解和掌握有窮數(shù)列、無窮數(shù)列等.然后通過列舉掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列，深刻理解其含義［3］.

2 整理同類型題掌握解題思路

在數(shù)學職教高考中，很多同類型題的解題思路是相同的，尤其是數(shù)列綜合應用問題.所以教師要引導學生在日常學習過程中，對同類型題進行整理和歸納，有助于總結解題思路，從而能夠快速運用到同類型題解答中［4］.在整理時，應當注重對比歸納同類型題的相同點和不同點，便于在后續(xù)解題過程中靈活運用，養(yǎng)成自主學習、主動整理歸納等習慣.比如可指導學生建立錯題集，將容易出錯的同類型題歸集在一塊，對比分析解答思路，有助于提升答題效率.

因此，教師應當引導學生按照教材知識內容并結合近年來數(shù)學職教高考常見題型等進行相同題型整理，適當對現(xiàn)有例題進行拓展，以便學生掌握更完善的解題思路.比如在學習等差數(shù)列時，在做題過程中強調歸納相同類型的題目，如等差數(shù)列求和或求等差數(shù)列某一項等，探索問題規(guī)律和解題思路，運用等差數(shù)列求和公式進行計算.

例2 已知數(shù)列an的首項a1=a（a為常數(shù)），an=2an-1+n2-4n+2n∈N且n≥2.

（1）數(shù)列an是否可能是等差數(shù)列？若可能，求出an的通項公式，若不可能，說明理由.

（2）設在數(shù)列bn中，有b1=b，bn=an+n2n∈N且n≥2，Sn是數(shù)列bn的前n項和，且Sn是等比數(shù)列，求實數(shù)a，b滿足的條件.

解 （1）因a1=a（a為常數(shù)），an=2an-1+n2-4n+2n∈N且n≥2，得a2=2a-2，a3=4a-5，a4=8a-8.若an是等差數(shù)列，則a3-a2=a2-a1，得a=1，但由a3-a2=a4-a3，得a=0，矛盾．

所以an不可能是等差數(shù)列．

（2）因為bn=an+n2，所以bn+1=2bnn∈N且n≥2．

所以bn=a+12n-1n∈N且n≥2．當a≠-1時，bn≠0，因此bn從第2項起是以2為公比的等比數(shù)列．

所以Sn=b1+2a+22n-1-12-1=a+12n+b-2a-2，

當n≥2時，SnSn-1=2-b-2a-2（a+1）2n-1+b-2a-2，Sn是等比數(shù)列，因為a≠-1，所以b-2a-2=0.

當a=-1時，b2=0，由bn=2bn-1（n≥3），得bn=0（n≥2），

又因為Sn是等比數(shù)列，所以b≠0，

綜上，數(shù)列Sn是等比數(shù)列，實數(shù)a，b所滿足的條件為或a≠-1b=2a+2或a=-1b≠0.

在解題中，為證明一個數(shù)列是等差數(shù)列或者等比數(shù)列，則需要證明任意的連續(xù)的三項中，后一項與前一項的差或比值相等即可.一方面，將類似題目進行整理歸納，能夠加深學生對等差數(shù)列以及等比數(shù)列的理解，有利于提高解題效率和準確性；另外一方面，通過對相同類型試題進行歸納總結，有助于有效應對職教高考中出現(xiàn)的各種數(shù)列綜合應用問題，在閱讀試題后能夠快速明確解答思路，進而書寫正確的解題步驟［5］.

3 明確題目重點尋找解題線索

在對數(shù)列綜合應用問題進行解答時，應當注重勾畫題目重點內容，根據(jù)題意中所給出的條件，尋找解題線索［6］.很多時候學生在解題時會忽視一些線索，導致解題較為困難，影響解題效率.所以教師應當傳授學生正確讀題的方法，在理解概念的前提下，快速提取題干中的關鍵線索，對試題進行合理解答.

例3 設一個等差數(shù)列的項數(shù)為偶數(shù)，其奇數(shù)和為24，偶數(shù)項和為30，且最后一項比第一項大10.5，則最后一項是_______.

先對題目進行閱讀和理解，先確定該數(shù)列為等差數(shù)列，再根據(jù)題目所給信息得到S奇=24，S偶=30，設這個數(shù)列一共2n項，那么a2n-a1=10.5，將所有條件列出后，再進行解答，假設公差為d，項數(shù)為2n，則S偶-S奇=30-24=6=nd，首尾項之差為10.5=2n-1d，聯(lián)立兩個方程，可得到項數(shù)為8.通過對題目條件的總結，能夠更為清晰的確定使用哪個知識點，確定解題思路，有利于提升解題效率.

除此之外，部分職教高考數(shù)學試題中，題目中并沒有直接明確數(shù)列是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，因此，學生應當合理運用自身所學的知識，正確判斷題目信息，并清明確該種的數(shù)列的性質，然后總結題目條件，這不僅有利于形成正確的解題思路，而且還會有效降低錯題概率［7］.

4 圍繞題目內容精簡解題步驟

解答數(shù)列知識背景的綜合應用試題時，往往伴隨著較為復雜的解題步驟，很多時候會導致卷面不夠整潔，再檢查時也會出現(xiàn)一定困難，影響卷面美觀.所以為保證職教高考卷面整潔，答案清晰，應當注重圍繞題目內容，對解題步驟盡可能精簡，省略不必要的步驟，呈現(xiàn)關鍵步驟和正確答案，這有利于梳理解題步驟，便于開展檢查［8］.如果學生沒有緊扣題目，盲目按照題目順序進行運算，則會導致錯誤幾率增加.

例4 設數(shù)列an，滿足a1，a2，a3為等比數(shù)列且a1+a2+a3=19，a2，a3，a4為等差數(shù)列，a2+a3+a4=12，求此4個數(shù).

針對這一題目，學生可按照已知條件，列出a2a1=a3a2，且a1+a2+a3=19，a3-a2=a4-a3，a2+a3+a4=12從中可得到a3=4，然后代入到兩個式子中，可得a2=6，再進行計算，得到a1=9，a4=2.從該解題步驟中，呈現(xiàn)了邏輯清晰合理的運算步驟.如單純按照題目順序開展運算，則無法獲得a2值，影響后續(xù)運算結算.所以在解題過程中，通過精簡答題步驟、省略不必要的運算過程和思考，能夠快速獲得答案，有利于開展檢查，確保答題正確率［9］.同時在一個題目下，運用前面獲得的答案，解答后續(xù)問題，即可省略一部分運算過程，保證解題步驟簡略、清晰.特別是針對選擇題、填空題等題型，通過精簡運算過程能夠快速獲取答案，以此節(jié)省答題時間.對于應用題型，則是盡可能呈現(xiàn)重要步驟，避免解題過程繁冗，保證解題過程順暢、邏輯明確，便于閱卷教師能夠直接看到正確答案［10］.

參考文獻：

［1］ 王生林.多角度審視 多途徑解題：例談一道高考數(shù)列題的九種解法［J］.理科考試研究，2020，27（15）：2-5.

［2］ 劉燕娜.近五年廣東省高職高考數(shù)列研究［J］.現(xiàn)代商貿工業(yè)，2019，40（21）：185-186.

［3］ 賈麗紅.高職數(shù)學教學改革中的問題與對策研究［J］.呂梁學院學報，2020，10（6）：88-90.

［4］ 金友良.浙江省專升本高等數(shù)學考試應用題分析初探［J］.科技資訊，2020，18（9）：203-204.

［5］ 牛銘，謝旭華.高職院校工程數(shù)學課程改革實證研究［J］.石家莊職業(yè)技術學院學報，2020，32（4）：66-69.

［6］ 楊雄，蔡劍.自主學習能力培養(yǎng)及其對教學效果影響探析：以高職高等數(shù)學教學為例［J］.遵義師范學院學報，2020，22（4）：109-111，115.

［7］ 李志海.基于高職數(shù)學培養(yǎng)學生專業(yè)創(chuàng)新能力［J］.牡丹江大學學報，2019，28（9）：118-120.

［8］ 王雅萍.淺析不定積分中的一題多解［J］.浙江水利水電學院學報，2019，31（5）：87-90.

［9］ 周小琴，王艷蓉.高職數(shù)學教學中的數(shù)學文化滲透探究［J］.數(shù)碼設計（上），2021，10（5）：309-310.

［10］ 劉蘭梅.高職數(shù)學教學現(xiàn)狀及優(yōu)化改革研究［J］.創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)理論研究與實踐，2021，4（21）：19-21.

［責任編輯：李 璟］