唐忠杰,王凱

摘 要：通過觀察學(xué)生的課堂參與度、討論質(zhì)量及解題過程中的思維活動，對學(xué)生的學(xué)習(xí)情況進(jìn)行評估.引導(dǎo)學(xué)生嘗試使用向量法研究其他幾何問題，如平行四邊形、正方形等的性質(zhì).鼓勵學(xué)生主動查詢相關(guān)學(xué)科知識，了解三角形性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：向量法；三角形；教學(xué)設(shè)計(jì)

1 問題緣起

2019人教A版教材在必修第二冊第六章《平面向量及其應(yīng)用》結(jié)束后，安排了3課時(shí)的數(shù)學(xué)探究活動《用向量法研究三角形的性質(zhì)》.這個(gè)數(shù)學(xué)探究活動與必修一第四章《指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)》結(jié)束后的數(shù)學(xué)建模有所區(qū)別.數(shù)學(xué)探究活動是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決數(shù)學(xué)問題的一類綜合活動，而數(shù)學(xué)建模則是基于數(shù)學(xué)思維運(yùn)用模型解決實(shí)際問題的一類綜合實(shí)踐活動，即數(shù)學(xué)探究活動是解決數(shù)學(xué)內(nèi)部的問題，數(shù)學(xué)建?；顒邮怯脭?shù)學(xué)解決實(shí)際問題，也可以認(rèn)為是數(shù)學(xué)外部的問題.

2017版《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對數(shù)學(xué)探究活動的定位是：圍繞某個(gè)具體的數(shù)學(xué)問題，開展自主探究、合作探究并最終解決問題的過程.數(shù)學(xué)探究活動具體表現(xiàn)為：發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題，猜測合理的數(shù)學(xué)結(jié)論，提出解決問題的思路和方案，通過自主探索、合作研究論證數(shù)學(xué)結(jié)論.［1］所以這個(gè)探究活動既不是向量學(xué)完之后的復(fù)習(xí)課，也不是數(shù)學(xué)建模課，更不是習(xí)題課，它是重在研究、貴在探究的新課，意圖讓學(xué)生用平面向量學(xué)習(xí)過程中獲得的方法和工具來研究三角形的性質(zhì)，讓數(shù)學(xué)理論走向數(shù)學(xué)應(yīng)用，即把初中需要用邏輯推理證明的幾何用向量工具來運(yùn)算，進(jìn)而讓學(xué)生獲得研究幾何的一個(gè)范式，積累“研究一個(gè)幾何對象”的活動經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)探究的過程中“學(xué)會學(xué)習(xí)”，讓學(xué)習(xí)能真正地“生長”.

整個(gè)數(shù)學(xué)探究活動應(yīng)該分為三個(gè)部分：第一部分是數(shù)學(xué)探究引導(dǎo)課，即教師引路，學(xué)生探路，為學(xué)生研究給出一個(gè)范式；第二部分是數(shù)學(xué)探究實(shí)踐環(huán)節(jié)，即學(xué)生探究，教師協(xié)助，學(xué)生根據(jù)教師給出的研究策略和方向進(jìn)行自主和合作探究；第三部分是數(shù)學(xué)探究成果展示環(huán)節(jié)，即學(xué)生匯報(bào)，教師小結(jié)，這個(gè)環(huán)節(jié)不僅讓學(xué)生梳理了實(shí)踐環(huán)節(jié)的成果、思考和反思，也鍛煉了學(xué)生的表達(dá)能力，培養(yǎng)了其學(xué)術(shù)研究的能力.

俗話說：良好的開端是成功的一半，所以如何上好引導(dǎo)課是高質(zhì)量完成數(shù)學(xué)探究的關(guān)鍵.本文以筆者的課堂實(shí)踐來談一下如何對數(shù)學(xué)探究引導(dǎo)課進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì).

2 教學(xué)方法的選擇

如何讓學(xué)生用自己已有的知識和方法去引領(lǐng)其思考？這是本節(jié)課的重點(diǎn).筆者從回顧知識、梳理方法，到同構(gòu)問題，疑難解決，到最后的放手探究，讓學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)數(shù)學(xué)探究的過程，感知用平面向量研究幾何問題的范式，體會向量的代數(shù)運(yùn)算相比于平面幾何的邏輯推理的優(yōu)勢.筆者將數(shù)學(xué)思維的發(fā)生和發(fā)展過程充分地暴露在學(xué)生面前，吸引學(xué)生積極參與知識的再創(chuàng)造和發(fā)展的過程［2］.

3 課堂實(shí)錄

3.1 回顧知識、梳理方法

師：同學(xué)們，我們在第六章系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了平面向量，它是代數(shù)和幾何的一個(gè)完美結(jié)合，今天我們嘗試用其研究平面幾何問題，如余弦定理、正弦定理（投出圖1），又或是三角形中位線的性質(zhì)和平行四邊形兩條對角線和四邊的關(guān)系（投出圖2）.

【設(shè)計(jì)意圖】帶領(lǐng)學(xué)生回顧這些重要結(jié)論和習(xí)題解決的過程，不僅復(fù)習(xí)了向量的基本知識（余弦定理：三角形回路；正弦定理：數(shù)量積運(yùn)算；例1：向量的數(shù)形二重性；例2：a2=|a|2的應(yīng)用，即向量長度的刻畫），更重要的是和學(xué)生一起回顧用向量方法解決平面幾何問題的一般步驟（三步曲）：問題的向量表示→選擇合適的向量運(yùn)算→結(jié)果譯回幾何.目的是讓學(xué)生從原有的知識結(jié)構(gòu)入手，著眼于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，這是學(xué)生數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展的起點(diǎn)，更是數(shù)學(xué)思維的發(fā)生和發(fā)展的起點(diǎn).

3.2 同構(gòu)問題、牛刀小試

引問：直角三角形的三邊存在怎么樣的關(guān)系？同學(xué)們是否還記得初中我們是如何證明這個(gè)結(jié)論的？

義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)八年級上冊（浙江教育出版社）對勾股定理的證明采用的是圖形重構(gòu)法，有學(xué)生還知道可以利用趙爽弦圖證明和美國第二十任總統(tǒng)加菲爾德的“總統(tǒng)”證法（每種方法都投影給學(xué)生看一下）.但對于勾股定理的幾何證明，無論是哪種方法，都需要變換圖形技巧，這是學(xué)生在解決問題時(shí)難以想到的.

問題：那么你是否可以用平面向量的相關(guān)知識和運(yùn)算來證明勾股定理？

針對這個(gè)問題，學(xué)生主要會使用以下三個(gè)策略來證明.

策略一：如圖3，在△ABC中，∠C=π2，利用三角形回路AB=AC+CB，兩邊平方得AB2=AC2+BC2+2AC·CB，因?yàn)椤螩=π2，所以AC·CB=0，那么有AB2=AC2+BC2，即AB2=BC2+AC2.

策略二：利用三角形回路AC=AB+BC，兩邊同時(shí)乘BC，由數(shù)量積的運(yùn)算可得AB·BC=-BC2，然后同策略一兩邊平方可得AC2=AB2-BC2，也可以獲得最終結(jié)論.

策略三：由AB=CB-CA（即余弦定理推導(dǎo)過程中的結(jié)構(gòu)和方法）出發(fā)得到AB2=BC2+AC2.

【設(shè)計(jì)意圖】帶領(lǐng)學(xué)生解決這個(gè)問題的目的是讓學(xué)生在回顧梳理的基礎(chǔ)上實(shí)踐操作，鼓勵學(xué)生用不同的方式來處理問題（可以直接從圖中的向量回路出發(fā)，也可以從現(xiàn)有的結(jié)論出發(fā)）不僅使學(xué)生對之前回顧的三步曲有了更好的體會，也感受到了勾股定理的向量法要優(yōu)于幾何法的證明.讓學(xué)生有了用向量法“研究一個(gè)幾何對象”的體驗(yàn)，初步感受用向量程序化研究幾何，具備“算”幾何的意識.

3.3 疑難解決、嘗試說理

師：在初二，我們曾經(jīng)學(xué)過三角形的中線，知道“三角形的三條中線相交于一點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)叫作三角形的重心”.那我們是否嚴(yán)格證明過三條中線交于一點(diǎn)？我們今天能否從向量的角度來證明這個(gè)結(jié)論？

師：如何說明三角形三條中線交于一點(diǎn)？

生：如圖4，假定兩條中線一定交于一點(diǎn)（比如BE和CF交于點(diǎn)G），接下來我們?nèi)プC明AD經(jīng)過點(diǎn)G.

師：那么如何說明A，G，D三點(diǎn)共線？

生：嘗試得到AG=λAD，即向量共線來說明.

師：非常好，請大家嘗試證明你們的想法.

【設(shè)計(jì)意圖】以問題鏈的方式帶領(lǐng)學(xué)生思考，培養(yǎng)其“學(xué)會學(xué)習(xí)”意識，為其實(shí)現(xiàn)“生長”學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).這個(gè)階段一定要給學(xué)生充分的時(shí)間去實(shí)踐.如果學(xué)生選定AB和AC作為基底的話，可以得到AG=13AB+13AC（學(xué)生有兩種方式得到該結(jié)論：第一是算兩次，用系數(shù)相等；第二是利用共線結(jié)論（6.3.1《平面向量基本定理》例1）），AD=12AB+12AC.

師：大家得到了什么結(jié)論？

生：AG=23AD.

師：翻譯回幾何的結(jié)果是什么？

生：向量AG和AD共線，且共點(diǎn)于A，所以A，G，D三點(diǎn)共線；|AG|=23|AD|，這說明G是AD上靠近點(diǎn)D的一個(gè)三等分點(diǎn)，這也是我們初中已經(jīng)知道的一個(gè)結(jié)論.

【設(shè)計(jì)意圖】把得到的向量結(jié)果回譯到幾何問題，不僅從理論上解決了初中遺留的問題，也再一次讓學(xué)生感受到了向量法在說理過程中的優(yōu)勢，感受到了“有了運(yùn)算，向量的力量無限”（這里用了向量的線性運(yùn)算，之前的勾股定理用的是線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算）［3］.我們此時(shí)已經(jīng)為學(xué)生打開了一個(gè)研究幾何對象的窗口，接下來就要給他們更多自由發(fā)揮的空間.

3.4 范例拓展、探究起步

師：剛才我們用向量法證明初中的兩個(gè)結(jié)論，本質(zhì)就是將傳統(tǒng)幾何邏輯演繹系統(tǒng)下的幾何證明變成了基于向量運(yùn)算系統(tǒng)下的幾何運(yùn)算（不僅可以獲得位置關(guān)系，還可以得到數(shù)量關(guān)系），而且不需要太多的變換技巧，更容易發(fā)現(xiàn)和證明一些優(yōu)美的結(jié)論.關(guān)于重心，大家能否用我們已有的運(yùn)算嘗試得到一些新的結(jié)果，最好能嘗試解釋一下其幾何意義.

【設(shè)計(jì)意圖】這個(gè)環(huán)節(jié)可以讓學(xué)生以小組的形式進(jìn)行，教師一定要鼓勵學(xué)生嘗試用向量運(yùn)算來獲取新結(jié)果，鼓勵其嘗試解釋獲得結(jié)果的幾何意義（有些結(jié)果可能并不太好解釋），這個(gè)過程重在讓學(xué)生去用向量“玩”（研究）數(shù)學(xué)、讓探究的火種在其內(nèi)心點(diǎn)燃.

學(xué)生可能得到的結(jié)果：

① GA+GB+GC=0;

② GD+GE+GF=0;

③ 若點(diǎn)P為平面在△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，則PA+PB+PC=3PG;

④ 若點(diǎn)P為平面在△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，則PD+PE+PF=3PG;

⑤ 若點(diǎn)P為平面在△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，則PA+PB+PC=PD+PE+PF;

⑥ AB2+AC2+BC2AD2+BE2+CF2=43；

⑦ 若點(diǎn)P為平面在△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在重心G時(shí)，PA2+PB2+PC2取到最小值;

⑧若點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），則重心Gx1+x2+x33，y1+y2+y33.

3.5 歸納成果、制定方案

對于不同的個(gè)人和小組，上面的結(jié)論獲得程度可以會有比較大的差異，但我們希望學(xué)生通過上面的教學(xué)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生有研究問題的“術(shù)”、有探究問題的“渴望”.教師給出《用向量法研究三角形性質(zhì)》研究報(bào)告的參考形式（表1）.

表1

1. 本課題組的成員姓名.

2. 發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)結(jié)論及發(fā)現(xiàn)過程概述.

三角形三條中線交于一點(diǎn).

從嚴(yán)謹(jǐn)性角度看，第三條中線是否經(jīng)過前兩條中線的交點(diǎn)有待證明.

3. 證明思路及其形成過程描述.

利用向量的基底思想，借助向量共線證明三點(diǎn)共線.

4. 結(jié)論的證明或否定.

5. 用向量方法探索幾何圖形性質(zhì)的一般步驟.

問題的向量表示→選擇合適的向量運(yùn)算→結(jié)果譯回幾何.

6. 收獲與體會.

【設(shè)計(jì)意圖】教師引路，讓學(xué)生用平面向量學(xué)習(xí)過程中獲得的方法和工具來研究平面幾何的三角形，讓數(shù)學(xué)理論走向數(shù)學(xué)應(yīng)用.學(xué)生探路，重在研究、貴在探究，獲得程序化研究幾何的一個(gè)方法，積累“研究一個(gè)幾何對象”的活動經(jīng)驗(yàn)，也為其接下來小組研究奠定了基礎(chǔ)，讓學(xué)習(xí)“生長”.

4 課后反思

數(shù)學(xué)探究課是為了探究一個(gè)具體的、具有一定綜合性、復(fù)雜性的數(shù)學(xué)問題，這與數(shù)學(xué)建模活動的內(nèi)容（解決一個(gè)現(xiàn)實(shí)問題）是不一樣的.作為引導(dǎo)課，筆者試圖通過學(xué)生已有的知識和方法，引導(dǎo)他們學(xué)習(xí)如何“學(xué)以致用”，培養(yǎng)“思考”力，最終讓“學(xué)會學(xué)習(xí)”這一目標(biāo)得以實(shí)現(xiàn).這也是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》刻意強(qiáng)調(diào)的，是數(shù)學(xué)課堂改革的一個(gè)方向.

本節(jié)課的教學(xué)活動主要是運(yùn)用向量知識解釋一些疑難問題，發(fā)現(xiàn)、提出數(shù)學(xué)問題并解決問題.要注意的是，這里的活動不同于常規(guī)地解答一個(gè)習(xí)題，是具有一定的數(shù)學(xué)研究味道的創(chuàng)新性綜合實(shí)踐活動.本節(jié)引導(dǎo)課在對經(jīng)典問題（勾股定理）重現(xiàn)和疑難問題（三條中線交于一點(diǎn)）證明的基礎(chǔ)上，進(jìn)行了開放式的教學(xué)，對學(xué)生分析問題、解決問題的能力進(jìn)行了培養(yǎng)，有助于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

所以數(shù)學(xué)探究引導(dǎo)課首先要低起點(diǎn)，即落腳點(diǎn)是基本的知識和方法；重思維，即重視如何打開學(xué)生的思維，鼓勵學(xué)生發(fā)散思維；有突破，即要鼓勵學(xué)生突破自己的思維定勢，探索屬于自己的結(jié)論.教學(xué)探究引導(dǎo)課作為當(dāng)今課堂教學(xué)的一種新課型，必須在新課程實(shí)施過程中給予高度重視.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）［S］.北京：人民教育出版社，2018.

［2］ 王凱，蘇有生.基于“兩個(gè)過程”合理性思考下的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)——以“空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示”為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2018（6）：38-40.

［3］ 中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第二冊［M］.北京：人民教育出版社，2020.