金正嬌 劉熙

摘 要：HPM視角下的教學(xué)是當(dāng)今教育的一大革新.“二項(xiàng)式定理”蘊(yùn)含著濃厚的數(shù)學(xué)文化底蘊(yùn)，其發(fā)展源遠(yuǎn)流長(zhǎng).本文追溯二項(xiàng)式定理的發(fā)展歷程，并對(duì)其進(jìn)行重構(gòu)式教學(xué)運(yùn)用.首先，以法國(guó)數(shù)學(xué)家蒙特摩爾的籌碼游戲?yàn)榍腥朦c(diǎn)，猜想二項(xiàng)式定理，感受數(shù)學(xué)的探究之樂(lè)；其次，采用“組合數(shù)分析法”和意大利數(shù)學(xué)家卡斯蒂隆的“先異后同法”證明二項(xiàng)式定理，幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)理性思維；再次，借助楊輝三角探究二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，既加強(qiáng)數(shù)與形的結(jié)合，又傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化；最后，設(shè)計(jì)具有綜合性、探究性、啟發(fā)性的課后作業(yè)，深化基礎(chǔ)知識(shí)，啟迪數(shù)學(xué)思考.

關(guān)鍵詞：HPM；二項(xiàng)式定理；中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化；教學(xué)設(shè)計(jì)

1 教材分析

“二項(xiàng)式定理”選自人教A版選擇性必修第三冊(cè)第六章第三節(jié)，解決二項(xiàng)n次式的展開(kāi)問(wèn)題，與初中代數(shù)知識(shí)密切聯(lián)系，是繼高中排列與組合之后的學(xué)習(xí)內(nèi)容.在牛頓發(fā)明微積分的過(guò)程中，二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn)是一個(gè)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)［1］，二項(xiàng)式定理也是連接初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的一座橋梁，因而二項(xiàng)式定理貫穿了初中—高中—大學(xué)階段.

2 學(xué)情分析

學(xué)生在初中階段已經(jīng)掌握了多項(xiàng)式的乘法法則，在高中階段的同章前兩節(jié)已經(jīng)學(xué)習(xí)了分步乘法計(jì)數(shù)原理和組合數(shù)的相關(guān)知識(shí)，具備從組合的視角思考問(wèn)題和分析問(wèn)題的能力；已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)歸納法，具備一定的抽象概括和歸納能力.

3 教學(xué)目標(biāo)

① 掌握二項(xiàng)式定理、二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，會(huì)求二項(xiàng)式特定的項(xiàng)和系數(shù)，會(huì)應(yīng)用二項(xiàng)式系數(shù)的基本性質(zhì)；

② 從二項(xiàng)式定理的歷史軌跡出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生得出二項(xiàng)式定理，歸納二項(xiàng)式系數(shù)的基本性質(zhì)，體會(huì)歸納—猜想—論證的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力和邏輯思維能力；

③ 從二項(xiàng)式定理的相關(guān)歷史出發(fā)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)和嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)、堅(jiān)持不懈的探究精神.

4 教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的得出、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)總結(jié).

教學(xué)難點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)、二項(xiàng)式系數(shù)與組合知識(shí)的聯(lián)系.

5 教學(xué)過(guò)程

5.1 創(chuàng)設(shè)情境，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)

【設(shè)計(jì)意圖】在歷史上，德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨和瑞士數(shù)學(xué)家約翰·伯努利將正整數(shù)次冪的二項(xiàng)式定理推廣到三項(xiàng)以上情形，實(shí)現(xiàn)了二項(xiàng)式定理的多元推廣，實(shí)現(xiàn)了定理的“橫向”推廣，即“元”的推廣.以歷史定理進(jìn)行設(shè)問(wèn)，培養(yǎng)學(xué)生的推理論證和邏輯思維能力，繼續(xù)探究多元多項(xiàng)式的展開(kāi)，讓學(xué)生領(lǐng)略古人的杰出成就，感受數(shù)學(xué)文化，實(shí)現(xiàn)知識(shí)層面的進(jìn)一步飛躍，提高發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力［6］.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 宋軍，吳現(xiàn)榮.源于數(shù)學(xué)史，教學(xué)更自然——二項(xiàng)式定理教學(xué)設(shè)計(jì)［J］.福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2017（11）：1417.

［2］ 歐幾里得.幾何原本［M］.蘭紀(jì)正，朱恩寬，譯.西安：陜西科學(xué)技術(shù)出版社，2003.

［3］ 汪曉勤，韓祥臨.中學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)史［M］.北京：科學(xué)出版社，2002.

［4］ 李文林.數(shù)學(xué)史概論（第二版）［M］.北京：高等教育出版社，2002.

［5］ 人民教育出版社課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開(kāi)發(fā)中心.普通高中數(shù)學(xué)教科書(shū)選擇性必修第三冊(cè)［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［6］ 中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.