摘 要：本文就研究性課題學(xué)習(xí)研究角度對(duì)錯(cuò)排問題中的全錯(cuò)排概率問題進(jìn)行研究，通過概率數(shù)值與1e的比對(duì)，猜想當(dāng)參與排列的個(gè)數(shù)n→∞，全錯(cuò)排的概率為1e，并用錯(cuò)排數(shù)公式和e^x的泰勒展開公式進(jìn)行了證明，得到全錯(cuò)排概率極限值和自然常數(shù)e的倒數(shù)相等.整個(gè)研究性學(xué)習(xí)過程體驗(yàn)了數(shù)學(xué)猜想、文獻(xiàn)查閱，過程思考與證明的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力.

關(guān)鍵詞：排列組合；錯(cuò)排問題；自然常數(shù)e；泰勒展開；研究性學(xué)習(xí)；基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2023）18-0047-03

收稿日期：2023-03-25

作者簡(jiǎn)介：晏炳剛，碩士，中學(xué)高級(jí)教師，從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》將數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、 基本思想、 基本活動(dòng)并稱為“四基”，指出：“四基”是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的沃土，是發(fā)展學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的有效載體^[1].數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)是學(xué)生在數(shù)學(xué)教師的指導(dǎo)下，從自身的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、社會(huì)生活、自然界以及人類自身的發(fā)展中選取有關(guān)數(shù)學(xué)研究專題，以探究的方式主動(dòng)地獲取數(shù)學(xué)知識(shí)、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題的學(xué)習(xí)方式，對(duì)于高中學(xué)生而言，要開展研性學(xué)習(xí)，必須培養(yǎng)他們的實(shí)踐能力.具體說來，主要包括：發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力^[2].數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)正是一種通過研究學(xué)習(xí)活動(dòng)，獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)基本經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效途徑之一.本文中，筆者展示了學(xué)生的研究過程，教師的指導(dǎo)方法以及查閱文獻(xiàn)，尋找創(chuàng)新點(diǎn)的思考過程；體現(xiàn)了研究性學(xué)習(xí)在獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)基本經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)重要價(jià)值.

1 問題的提出

1.1 課題背景

錯(cuò)排問題是組合數(shù)學(xué)中的經(jīng)典問題之一.學(xué)生進(jìn)入計(jì)數(shù)原理的學(xué)習(xí)，就可以思考這個(gè)問題.該問題有許多具體的形式.

比如：

在寫信時(shí)將n封信裝到n個(gè)不同的信封里，有多少種全部裝錯(cuò)信封的情況；

n個(gè)人坐在自己位置上，中途離開，回來隨機(jī)坐下，有多少種n個(gè)人都沒有坐在自己原來位置的情況？若設(shè)坐錯(cuò)位置的人數(shù)為隨機(jī)變量ξ，ξ的分布列和期望又是多少？相關(guān)問題在文獻(xiàn)[3-5]都有研究.

這兩個(gè)問題，本質(zhì)相同.是被數(shù)學(xué)家歐拉（Leonhard Euler，1707-1783）稱為“組合數(shù)論的一個(gè)妙題”和“裝錯(cuò)信封問題”的兩個(gè)特例.

錯(cuò)排問題抽象為：數(shù)字1，2，3，…，n-1，n任意排成一列，如果數(shù)字k恰好在第k個(gè)位置上，則稱有一個(gè)巧合.

1.2 初始研究

教師指導(dǎo)：高中常見問題有：

求巧合數(shù)ξ的分布列與期望.

ξ的分布列與期望學(xué)生能夠很好解決，查閱文獻(xiàn)[3-5]已有相關(guān)研究結(jié)果.

教師指導(dǎo)：學(xué)生處于研究的創(chuàng)新度考慮，同學(xué)們放棄這個(gè)點(diǎn)，轉(zhuǎn)而思考全錯(cuò)排個(gè)數(shù)的問題.

1.3 研究轉(zhuǎn)移

全錯(cuò)排數(shù)的定義為：有n個(gè)正整數(shù)1，2，3，…，n-1，n， 將這n個(gè)數(shù)重新排列，使其中的每一個(gè)數(shù)都不在原來的位置上，這種排列的個(gè)數(shù)稱為正整數(shù)1， 2， … ，n-1，n的全錯(cuò)排數(shù)，且記k個(gè)正整數(shù)的全錯(cuò)排數(shù)為D_k（0≤k≤n）.規(guī)定D₀=1.

教師指導(dǎo)：全錯(cuò)排數(shù)如何得到？有什么特點(diǎn)？有沒有遞推公式？

學(xué)生活動(dòng)：

當(dāng)n=1，顯然D₁=0.

當(dāng)n=2，數(shù)列1，2的錯(cuò)排為2，1.所以D₂=1.

當(dāng)n=3，數(shù)列1，2，3的錯(cuò)排為2，3，1;3，1，2.所以D₃=2.

當(dāng)n=4，數(shù)列1，2，3，4的錯(cuò)排為2，1，4，3;

2，4，1，3;2，3，4，1;3，4，1，2;3，4，2，1;3，1，4，2;

4，3，2，1;4，1，2，3;4，3，1，2.所以D₄=9.

當(dāng)n≤4時(shí)，同學(xué)們用枚舉法可得錯(cuò)排數(shù).

當(dāng)n>4時(shí)，同學(xué)們能夠自己建立起全錯(cuò)排數(shù)的遞推公式，然而文獻(xiàn)[2]中對(duì)此進(jìn)行了推導(dǎo)，創(chuàng)新點(diǎn)已經(jīng)失去.下面給出全錯(cuò)排數(shù)遞推公式.

D（n）=（n-1）（D（n-1）+D（n-2）），n≥3.

1.4 研究再轉(zhuǎn)移

全錯(cuò)排數(shù)都能用遞推公式計(jì)算出來，那么接下來還有創(chuàng)新點(diǎn)嗎？

教師指導(dǎo)：全錯(cuò)排數(shù)都可以計(jì)算出來，全錯(cuò)排數(shù)有沒有規(guī)律？全錯(cuò)排數(shù)的概率有沒有規(guī)律？

學(xué)生活動(dòng)：想到這里，把全錯(cuò)排數(shù)概率規(guī)律就納入考慮了.甚至概率倒數(shù)值都納入了計(jì)算.

n個(gè)數(shù)全錯(cuò)排概率為

用遞推公式把當(dāng)n=5，6，7，8，9，10的全錯(cuò)排數(shù)計(jì)算出來.把n=2，3，…，10的全排列數(shù)，全錯(cuò)排概率，全錯(cuò)排概率倒數(shù)計(jì)算出來，如下表：

1.5 發(fā)現(xiàn)巧合

同學(xué)們經(jīng)過計(jì)算發(fā)現(xiàn)：

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，1/P（n）

這些數(shù)值從兩邊夾逼自然常數(shù)e，當(dāng)n變大時(shí)，夾逼得越緊.

教師指導(dǎo)：同學(xué)們，這里是否有一個(gè)結(jié)論呢？

1.6 提出猜想

猜想全錯(cuò)排概率值滿足如下：

在此過程中同學(xué)們查閱資料，學(xué)習(xí)極限基本知識(shí)，得到了一個(gè)要證明的數(shù)學(xué)猜想.

從問題的選題到問題研究點(diǎn)的不停轉(zhuǎn)移，最后觀察數(shù)值，發(fā)現(xiàn)一個(gè)新的創(chuàng)新點(diǎn)，完整體驗(yàn)數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的發(fā)現(xiàn)問題、提出問題過程，體驗(yàn)并獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)基本經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2 問題的證明

2.1 初始思考

猜想不證明，只能是猜想，只有證明了正確性才能稱之為定理.教師接下來就指導(dǎo)學(xué)生查閱極限求法的相關(guān)資料，同學(xué)們通過極限的自我學(xué)習(xí)知道極限要求出來，多數(shù)都是一個(gè)式子，當(dāng)自變量朝某處無限接近時(shí)，式子的值能無限接近某值.

由猜想公式知，要證明猜想成立，只有求出全錯(cuò)排數(shù)的通項(xiàng)公式.同學(xué)們思考后查閱資料已有證明.文獻(xiàn)[5]中Herbert S.Wilf用高等數(shù)學(xué)的發(fā)生函數(shù)進(jìn)行了證明.文獻(xiàn)[6]用指數(shù)發(fā)生函數(shù)進(jìn)行了證明，文獻(xiàn)[4]、[5]、[8]對(duì)全錯(cuò)排數(shù)通向公式證明涉及到了容斥原理，遞推公式和高等數(shù)學(xué)的冪級(jí)數(shù).公式研究較多，在此同學(xué)們看懂證明直接引用全錯(cuò)排數(shù)公式即可.次處同學(xué)們能體會(huì)到站得高、看得遠(yuǎn)，是在在巨人肩膀上繼續(xù)研究.

3 問題的反思

3.1 研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)體驗(yàn)數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

學(xué)生從錯(cuò)排問題選題的研究點(diǎn)不斷轉(zhuǎn)移直到發(fā)現(xiàn)全錯(cuò)排概率數(shù)值規(guī)律，猜想到全錯(cuò)排概率與自然常數(shù)e關(guān)系，用全錯(cuò)排公式和泰勒展開公式為工具進(jìn)行證明，得到全錯(cuò)排概率與自然常數(shù)e有密切關(guān)系，把排列組合、概率、全錯(cuò)排公式、泰勒展開公式、自然常數(shù)e有機(jī)結(jié)合起來，展示了歸納、猜想、探究、證明的數(shù)學(xué)研究過程，親自體驗(yàn)并獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)基本經(jīng)驗(yàn).

3.2 研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

學(xué)生在教師指導(dǎo)下，通過選題、改變研究點(diǎn)、尋找創(chuàng)新點(diǎn)、查閱資料、歸納猜想，探索證明、學(xué)習(xí)新知等方面親身實(shí)踐獲取直接經(jīng)驗(yàn)，養(yǎng)成科學(xué)精神和科學(xué)態(tài)度，掌握基本的科學(xué)方法，進(jìn)而培養(yǎng)了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

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[8] 宋婷婷，程績(jī).用遞推關(guān)系解 Bernouli-Euler裝錯(cuò)信封問題[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2017（3）：149-150.

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