金傳朝

摘要：分類討論思想是當(dāng)前數(shù)學(xué)解題應(yīng)用十分廣泛的一種方式，其在處理復(fù)雜、綜合性問題中具有良好的效果，高中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中可以指引學(xué)生嘗試?yán)梅诸愑懻撍枷雭斫鉀Q問題，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果提升.

關(guān)鍵詞：分類討論思想；高中數(shù)學(xué)；解題

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2023）15-0044-03

很多時(shí)候，同一個(gè)題目有多種解題思路，在平常教學(xué)中教師就要特別注重指引學(xué)生將數(shù)學(xué)思想應(yīng)用到解題過程中.分類討論思想的應(yīng)用可以讓學(xué)生從更加簡單的角度來分析處理復(fù)雜數(shù)學(xué)問題.

1 高中數(shù)學(xué)解題中分類討論思想的應(yīng)用價(jià)值

分類討論思想的應(yīng)用大多是在綜合題目中，主要考查學(xué)生數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用能力，學(xué)生在解決這些問題時(shí)雖然通過強(qiáng)行計(jì)算也可以得出相應(yīng)的答案，但是學(xué)生經(jīng)常會在計(jì)算中出現(xiàn)錯(cuò)誤，從而影響到解題準(zhǔn)確性.而分類討論思想的應(yīng)用則可以讓學(xué)生更加輕松地對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行分析，在討論中得出正確的答案.對此在實(shí)際教學(xué)中，高中數(shù)學(xué)教師需要特別注重學(xué)生分類討論思想的應(yīng)用，讓學(xué)生能借助分類討論的方法靈活地處理數(shù)學(xué)問題，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)效果提升.

2 高中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用分類討論思想的基本原則

分類討論思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用可以幫助學(xué)生更好地轉(zhuǎn)變數(shù)學(xué)解題思維，對于學(xué)生解題能力提升十分有利.在實(shí)踐中高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)用分類討論思想引導(dǎo)學(xué)生解題時(shí)，還需要注意堅(jiān)持相應(yīng)的原則，主要包括：

一是堅(jiān)持同一性原則，也就是在分類討論過程中，應(yīng)該按照統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)對解題對象進(jìn)行分類.分類討論思想應(yīng)用中，明確研究對象是最基本的一個(gè)點(diǎn)，學(xué)生只有充分了解到研究對象的特征，才可以針對性地開展分類.同時(shí)在分類過程中需要注意選擇同一種屬性，避免在同一個(gè)組別中出現(xiàn)對象屬性交集的情況，為后續(xù)解決問題奠定基礎(chǔ).

二是堅(jiān)持循序漸進(jìn)原則.在分類討論中，如果遇到多次分類的狀況，則需要特別注意循序漸進(jìn)，對研究對象逐層次的進(jìn)行分類，這也需要學(xué)生保持思維清晰，不能忽視研究對象的某個(gè)屬性，避免出現(xiàn)分類討論失敗的情況.

3 分類討論思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

3.1 在集合題中的應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)教材中，集合是很重要的一個(gè)知識點(diǎn)，也是學(xué)生必須掌握的知識點(diǎn).

例1已知集合A=-4，2a-1，a2，B=a-5，1-a，9，如果a∈R，9∈A∩B，求實(shí)數(shù)a的定值.

由于9∈A∩B，則可以判定9∈A，9∈B，那么2a-1=9或a2=9，從而得出a=5或a=±3，對a的情況進(jìn)行分類討論：

當(dāng)a=-3時(shí)，A=-4，-7，9，B=-8，4，9，符合題意；

當(dāng)a=3時(shí)，A=-4，9，25，而B不滿足集合互異性要求；

當(dāng)a=5時(shí)，A=-4，9，25，B=-8，4，9，符合題意.

綜上可得a=5或a=-3.

對于這類問題，相對比較簡單，學(xué)生通過分類討論可以很輕松地完成解題，需要注意的是教師要指引學(xué)生在完成解題后注重檢驗(yàn).

例2集合A=x|x2-x-2=0，B=x|x2+x+a=0，a∈R，A∪B=A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

A=x|x2-x-2=0=-1，2，集合B是關(guān)于x的方程x2+x+a=0的解集，由于A∪B=A，得出BA，當(dāng)B≠時(shí)，那么關(guān)于x的方程x2+x+a=0沒有實(shí)數(shù)根，Δ=1-4a＜0，即便a＞14，符合題意；當(dāng)集合B中只有一個(gè)元素時(shí)，關(guān)于x的方程x2+x+a=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，Δ=1-4a=0，a=14，則B=x|x2+x+14=0=-12，集合B不是集合A的子集，不符合題意；當(dāng)集合B中有兩個(gè)元素，即B=-1，2，關(guān)于x的方程x2+x+a=0有兩個(gè)根，分別是-1和2，由于-1+2=-1不成立，舍去；綜上可得a的取值范圍是14，+∞.

3.2 在函數(shù)問題中的應(yīng)用

函數(shù)知識是高中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)知識之一，也是很多高中生在學(xué)習(xí)中最為頭痛的點(diǎn).很多學(xué)生在學(xué)習(xí)中函數(shù)時(shí)，面對最值、單調(diào)性、極值等問題已經(jīng)感覺十分吃力，如果再加上參數(shù)問題，函數(shù)問題就會變得更加復(fù)雜，對此在實(shí)際教學(xué)中，便于學(xué)生能逐層次地解決問題.

例3函數(shù)s（x）=-12x2-ax+3x+2.x∈0，2a，a＞0，求函數(shù)s（x）的最大值M（a）.

在本題中，區(qū)間、對稱軸都涉及到參數(shù)，兩者的變化存在相互制約關(guān)系，因此在解題中必須對兩者的制約關(guān)系進(jìn)行分類討論，討論標(biāo)準(zhǔn)是對稱軸位于區(qū)間的什么位置.

由于s（x）=-12x2-ax+3x+2=-12［x-（3-a）］2+12（3-a）2+2，對此可以將區(qū)間［0，2a］，a＞0看成是固定的，然后進(jìn)行分類討論：

當(dāng)0＜3-a＜2a，（a＞0），即0＜a＜1或2＜a＜3時(shí)，在區(qū)間［0，2a］中，函數(shù)s（x）先增后減，因此函數(shù)s（x）的最大值M（a）=s（3-a）=12（3-a）2+2；

當(dāng)3-a＞2a，（a＞0），即1≤a≤2時(shí)，在區(qū)間［0，2a］中，函數(shù)s（x）是增函數(shù)，函數(shù)的最大值M（a）=s（2a）=-2a2+6a；

當(dāng)3-a≤0，（a＞0），即a≥3，在區(qū)間［0，2a］中，函數(shù)s（x）是減函數(shù)，函數(shù)的最大值M（a）=s（0）=2；

綜上可得函數(shù)的最大值是M（a）=12（3-a）2+2，0＜a＜1或2＜a＜3;-2a2+6a，1≤a≤2;2，a≥3.

3.3 在一元二次不等式問題的應(yīng)用

對于一元二次不等式的解法，與一元二次函數(shù)之間有比較緊密的聯(lián)系，在實(shí)際中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)處理一元二次不等式問題.需要注意的是在一元二次不等式解題中，經(jīng)常會將一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函數(shù)等三個(gè)“二次”放在一起應(yīng)用，同時(shí)三者之間也有十分緊密的關(guān)系.

例4求關(guān)于x的不等式x2+（1-a）x-a＜0的解，已知a是常數(shù).

本題是一元二次不等式中比較簡單的情況，二次項(xiàng)系數(shù)沒有參數(shù)，不需要進(jìn)行因式分解，但是兩個(gè)根中有參數(shù)，這也導(dǎo)致學(xué)生無法確定兩個(gè)根的大小關(guān)系，對圖像中零點(diǎn)位置確定造成了影響.因此在分類中需要學(xué)生根據(jù)兩個(gè)根的大小關(guān)系確立，即x1=x2、x1＜x2、x1＞x2三種狀況，在解題中學(xué)生可以根據(jù)二次函數(shù)圖像來得出一元二次不等式的解集.

在本題中，一元二次不等式可以等價(jià)為（x-a）（x+1）＜0，其對應(yīng)的一元二次方程根是x1=-1，x2=a.

當(dāng)a=-1時(shí)，x1=x2，原來的不等式解集是；

當(dāng)a＞-1時(shí)，x1＜x2，原不等式的解集是x|-1＜x＜a；

當(dāng)a＜-1時(shí)，x1＞x2，原不等式的解集是x|a＜x＜-1.

3.4 在導(dǎo)數(shù)問題中的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)也是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)，在加入?yún)?shù)后題目會變得更加復(fù)雜，對參數(shù)進(jìn)行分類討論又是高考中的一個(gè)?？键c(diǎn).

例5求函數(shù)f（x）=ax2-a-lnx，（a∈R）的單調(diào)區(qū)間.

本題中導(dǎo)函數(shù)道德分子上二次函數(shù)屬于基本類型，含有一次項(xiàng)，需要注意的是二次項(xiàng)系數(shù)與0之間的大小關(guān)系，要對其進(jìn)行分類討論.對于不含一次項(xiàng)的情況，則導(dǎo)函數(shù)兩個(gè)根時(shí)互為相反數(shù)，需要注意根是否在定義域中.

本題中函數(shù)的定義域是（0，+∞），f ′（x）=2ax-1x=2ax2-1x，

當(dāng)a≤0時(shí)，f ′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）中單調(diào)遞減；

當(dāng)a＞0時(shí)，設(shè)f ′（x）=0，可以得出x=12a或x=-12a（舍），令f ′（x）＞0，得出x＞12a；令f ′（x）＜0，得出0＜x＜12a；

因此可以得出當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在0，12a上單調(diào)遞減；當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在0，12a上單調(diào)遞減；在12a，+∞上單調(diào)遞增.

高中數(shù)學(xué)教師在組織學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，需要結(jié)合學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，靈活應(yīng)用分類討論思想.讓學(xué)生能對問題進(jìn)行分類探究，在逐層次思考中完成解題，提高學(xué)生的解題效率，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)效率的提升，強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)自信心.在實(shí)踐中，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該注重培養(yǎng)學(xué)生的分類討論思想，讓學(xué)生能學(xué)會用分類討論的方法處理問題.

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［責(zé)任編輯：李璟］