郝培德

摘要：本文基于分析當(dāng)前教學(xué)實際，利用Dandelin球研究“拋物線”的概念，讓學(xué)生經(jīng)歷在探究的過程中形成整體的思維意識，提升學(xué)生思維及認(rèn)知水平，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，落實“四基”.

關(guān)鍵詞：單元；教學(xué)設(shè)計；拋物線

中圖分類號：G632文獻標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2023）15-0053-03

1 背景

數(shù)學(xué)課程要講邏輯推理，更要講道理，通過典型例子的分析和學(xué)生自主探索活動，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論逐步形成的過程，體會蘊涵在其中的思想方法，追尋數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史足跡，把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的教育形態(tài)，圓錐曲線單元教學(xué)打破圓錐曲線傳統(tǒng)概念教學(xué)：提出概念（平面）——推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)方程——練習(xí)鞏固，利用Dandelin球來研究拋物線的定義.

2 意義

改變傳統(tǒng)概念教學(xué)模式，利用探究式教學(xué)模式，為學(xué)生形成積極主動的、多樣的學(xué)習(xí)方式進一步創(chuàng)造有利的條件，以激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，鼓勵學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，養(yǎng)成獨立思考、積極探索的習(xí)慣.高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)力求通過各種不同形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識.

3 目標(biāo)

通過回歸人們對圓錐曲線的認(rèn)知規(guī)律，重新設(shè)計本模塊的教學(xué)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中不斷地經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想像、抽象概括、符號表示、運算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思與建構(gòu)等思維過程提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

研究內(nèi)容：研究圓錐曲面和平面交線的形狀，得到拋物線的概念，并量化圓錐面和平面交線的形狀.

4 教學(xué)過程

4.1 教學(xué)目標(biāo)

4.1.1 知識與技能目標(biāo)

（1）理解怎么由平面與圓錐曲面得到拋物線；

（2）掌握拋物線的定義及拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程；

（3）體會平面與圓錐曲面相對位置的變化所得到的曲線類型的一般規(guī)律.

4.1.2 過程與方法目標(biāo)

在得到拋物線之后，利用前面橢圓和雙曲線的研究方法來類比研究拋物線的定義，在研究過程中找到異同；同時通過動態(tài)演示平面與圓錐曲面的相對位置關(guān)系，總結(jié)一般規(guī)律.

4.1.3 情感目標(biāo)

通過探究過程引導(dǎo)學(xué)生勇于提出問題并且學(xué)會如何利用現(xiàn)有的知識解決問題，喚醒學(xué)生追求真理，勇于探索的情感需求.

4.2 教學(xué)重難點

重點：拋物線的定義、平面與圓錐曲面相對位置的變化所得到的曲線類型的一般規(guī)律.

難點：由雙球到單球，拋物線定義的推導(dǎo)證明.

4.3 教學(xué)過程設(shè)計

【知識回顧，引入新知】

利用GeoGebra軟件動態(tài)展示平面與圓錐曲面交線類型：（如圖1）

預(yù)設(shè)問題：在動態(tài)過程中，同學(xué)們有沒有觀察新的曲線？它是在什么位置出現(xiàn)的？

學(xué)生回答：當(dāng)平面與圓錐曲面一條母線平行時會出現(xiàn)單只曲線.這樣得到的曲線稱之為拋物線（黑板板書拋物線的幾何定義：當(dāng)平面α平行于圓錐面的一條母線m形成的交線）

預(yù)設(shè)問題：我們現(xiàn)在所定義的拋物線和初中所學(xué)的拋物線是一樣的嗎？

【探究新知】我們根據(jù)拋物線的特點，它和橢圓與雙曲線相同點是：它們都是平面與圓錐曲面的交線，它們都有Dandelin球；不同點：拋物線只有單球.所以在探究的時候有異同.

類似的找出球與面的切點F和拋物線上任意一點P，接下來我們要在平面α上找出與PF相等的特殊線段.

預(yù)設(shè)問題：你從圖形中可以得到哪些信息？

（提示：定性：平行，對稱…；定量：長度，角度…）

學(xué)生回答：一組線面（平面和那條特殊的母線）平行；對稱（關(guān)于母線和軸截面對稱）.

預(yù)設(shè)問題：你能從圖2中找到和線段PF相等的線段嗎？

學(xué)生回答：沒有.

預(yù)設(shè)問題：那么我們能不能做出線段和線段PF相等，怎么做？大家類比橢圓與雙曲線的研究做出這條線段. （下發(fā)學(xué)案讓學(xué)生“紙上添畫”）

學(xué)生回答：連接PS與球相切于點Q，PF=PQ.

預(yù)設(shè)問題：為什么PS與球相切？

學(xué)生回答：因為直線是圓錐曲面的母線，球與圓錐曲面相切.預(yù)設(shè)問題：現(xiàn)在我們找的了特殊線段PQ，但是這條線段與平面α是有夾角的，

那么如何轉(zhuǎn)移到平面上去？（提示大家看黑板上由那條特殊的線）

學(xué)生回答：母線m與平行平面平行，可以再母線上找.

接下來學(xué)生在學(xué)案上作圖.

學(xué)生回答：PF=PQ=P0Q0

預(yù)設(shè)問題：為什么PQ=P0Q0？

學(xué)生回答：因為Q與Q0是在且于圓錐曲面的切線上，PQ和P0Q0是圓臺的母線所以相等.

預(yù)設(shè)問題：下面我們是否可以再平面α上找到線段PP1和PF相等？

學(xué)生回答：如圖3，在平面α上做PP1與P0Q0平行且相等；

（追問為什么可以畫出來……線面平行的性質(zhì)）

預(yù)設(shè)問題：點P1是否還能再精確的定位？類比上述過程在曲線上多找出幾個點進行研究.

（1） 找點P的對稱點M，對應(yīng)找出M1

（2） 再取曲線上另外的點N，按上述過程找出對應(yīng)的N1

學(xué)生回答：如圖4，P1，M1，N1三點共線，設(shè)為l，直線PP1，MM1，NN1相互平行.

預(yù)設(shè)問題：直線l和點P1的定位是否能再精確？

學(xué)生回答：略.

【總結(jié)定義】（板書）如圖6，在平面內(nèi)，與一個定點F和一條定直線l（l不經(jīng)過點F）的距離相等的點的軌跡叫拋物線.點F叫拋物線的焦點，，直線l叫拋物線的準(zhǔn)線，設(shè)焦準(zhǔn)距p.

預(yù)設(shè)問題：和我們初中學(xué)習(xí)的拋物線是一樣的嗎？接下來大家在學(xué)案上建系求方程.

學(xué)生回答：如圖7，以為直線l為x軸，過F作直線l的垂線為y軸求出的方程是：y=x22p+p2

我們發(fā)現(xiàn)它就是初中所學(xué)的拋物線.我們也可以如下圖建系求方程：

得到拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程：x2=2pyp>0.

預(yù)設(shè)問題：初中所學(xué)拋物：形如y=ax2+bx+c（a≠0）的二次函數(shù)圖象是一條拋物線， 能否找到它的標(biāo)準(zhǔn)形式？

學(xué)生回答：略.

進一步總結(jié)定義：如圖8，在平面內(nèi)，與一個定點F和一條定直線l（l不經(jīng)過點F）的距離相等的點的軌跡叫拋物線. PFdP-l=1

4.4 教學(xué)反思

本節(jié)課是圓錐曲線概念的教學(xué)，學(xué)生們在前橢圓、雙曲線概念課的基礎(chǔ)上已基本掌握利用Dandelin雙球研究橢圓、雙曲線的概念，同時熟知：“發(fā)現(xiàn)問題——建立模型——研究問題——總結(jié)規(guī)律”的順序研究問題，最后如何生成三類圓錐曲線進行對比分析，得到規(guī)律，提升概念課，完成總結(jié)任務(wù).在探究的過程中，提升學(xué)生解決問題、總結(jié)規(guī)律的能力.

參考文獻：

［1］?孔繁晶.指向深度學(xué)習(xí)的單元起始課教學(xué)實踐與思考：以“復(fù)數(shù)”單元起始課為例[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2022（02）：12-16.

[2] 蔣梅.單元整體視角下的章起始課教學(xué)實踐與思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2022（08）：8-10.

［責(zé)任編輯：李璟］