洪銳敏

［摘 要］文章通過回顧中國古代數(shù)學的輝煌發(fā)展歷程，挖掘其中富含數(shù)學思想的部分，以祖暅原理為例，基于HPM視角，對模型思想融入高中數(shù)學柱體和錐體體積公式的推導及教學進行研究，并從教學設計和教學實施兩個方面給出教學建議：教師在進行教學設計時，應結合教材并深挖數(shù)學史中的數(shù)學模型進行二度創(chuàng)造，在教學設計層面將模型思想融入教學活動中；教師在進行教學時重在讓學生明確數(shù)學模型的形成過程和適用條件，讓學生體會從具體到抽象、從特殊到一般的研究過程，引導學生形成模型思想和對策思維，提高學生解決問題的能力。

［關鍵詞］ HPM；模型思想；祖暅原理；數(shù)學史

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2023）09-0022-04

一、問題的提出

2022年5月，我國教育部發(fā)布了2022年版的《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（下稱“新課標”）。新課標在2011年版課標的基礎上提出數(shù)學課程要培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)，其中初中階段要培養(yǎng)學生包含模型觀念在內(nèi)的九大核心素養(yǎng)［1］?！镀胀ǜ咧袛?shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》提出，數(shù)學課程要培養(yǎng)高中生包括數(shù)學建模在內(nèi)的六大數(shù)學學科核心素養(yǎng)［2］。模型觀念和數(shù)學建模都強調(diào)了模型思想在數(shù)學學習過程中的重要性。在我國教育改革工作推進的過程中，學者們對模型思想的研究較多，但對基于HPM視角的模型思想融入高中數(shù)學教學的應用研究并不多見。鑒于模型思想與數(shù)學史和數(shù)學教育的緊密聯(lián)系，所以，有必要對基于HPM視角對模型思想融入高中數(shù)學教學進行研究，為一線教師的教學和育人提供一定的參考。

二、概念的界定

HPM，即數(shù)學史與數(shù)學教育（History & Pedagogy of Mathematics），是數(shù)學教育中探索數(shù)學史與數(shù)學教育關系的一個研究領域［3］。HPM涉及數(shù)學史、數(shù)學教學實踐和數(shù)學教師隊伍建設等細節(jié)問題，既要在教學方式上注重數(shù)學史與數(shù)學教學的結合，又要大力提高數(shù)學教師的歷史意識和素養(yǎng)［4］。HPM能夠賦予數(shù)學以人文因素，有助于增強數(shù)學在社會發(fā)展中的作用。其中，數(shù)學史研究數(shù)學概念、數(shù)學方法和數(shù)學思想的起源與發(fā)展，及其與社會政治、經(jīng)濟和一般文化的聯(lián)系［5］；數(shù)學教育是研究數(shù)學教與學的實踐和方法的學科。

模型思想是指學生在解決實際問題的過程中，能從認知結構中將問題抽象為數(shù)學問題，并運用所習得的數(shù)學模型、數(shù)學思想解決實際問題的能力。模型思想的建立是學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題并進行模型假設，用數(shù)學符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學問題中的數(shù)量關系和變化規(guī)律，求出結果并討論結果的意義。這些內(nèi)容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學生學習數(shù)學的興趣和應用意識［6］。

三、基于HPM視角的模型思想融入高中數(shù)學教學的研究過程

（一）在數(shù)學教學中滲透數(shù)學史的必要性分析

數(shù)學作為重要的基礎學科之一，具有悠久的歷史。我們必須充分認識到數(shù)學史研究對于當前數(shù)學教育的重要意義。數(shù)學是一門歷史性很強的學科，數(shù)學的發(fā)展建立在先前數(shù)學家取得的研究成果之上，是對原先理論的包容和擴展。例如，對于數(shù)的理論，德國數(shù)學家高斯說：“數(shù)學是科學的皇后，數(shù)論是數(shù)學中的皇冠?！碑呥_哥拉斯學派從重視正整數(shù)開始，逐步擴充了正分數(shù)、負整數(shù)、負分數(shù)。正整數(shù)和正分數(shù)統(tǒng)稱為正有理數(shù)，負整數(shù)和負分數(shù)統(tǒng)稱為負有理數(shù)；正有理數(shù)、零和負有理數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。畢達哥拉斯學派弟子希伯索斯最早發(fā)現(xiàn)了無理數(shù)的存在。有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)。為了解決一個數(shù)的平方等于負數(shù)在實數(shù)域內(nèi)無解的問題，意大利學者卡爾達諾在16世紀首次引入復數(shù)的概念，后來經(jīng)過達朗貝爾、棣莫弗、歐拉、高斯等人的研究，復數(shù)的概念才逐漸被數(shù)學家們所接受。由此可見，數(shù)學史是人類歷史文明的一部分，是數(shù)學家們集體智慧的結晶。只有在數(shù)學教學中滲透數(shù)學史，才能讓學生了解數(shù)學的來龍去脈，體會數(shù)學家們克服重重困難戰(zhàn)勝數(shù)學危機的奮斗歷程，感悟數(shù)學發(fā)展的艱難和曲折，進而激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，提高學生發(fā)展數(shù)學的信心。

（二）在數(shù)學教學中培養(yǎng)學生模型思想的必要性分析

知名學者史寧中教授認為，迄今為止，數(shù)學發(fā)展所依賴的思想在本質(zhì)上有三個：抽象、推理、模型［7］。模型在高中數(shù)學教材中無處不在，例如三角函數(shù)模型、基本不等式模型、指數(shù)函數(shù)模型、對數(shù)函數(shù)模型等。數(shù)學教學不僅要教給學生數(shù)學的基本概念和定理，而且要教給學生在解決問題過程中所運用的數(shù)學思想和方法，從而提高學生解決問題的能力。解決問題是數(shù)學應用的落腳點，數(shù)學思想和方法是對解決問題這一過程的提煉和升華。解決問題的關鍵在于將實際問題轉化為數(shù)學模型，然后利用相應的知識進行求解。因此，在數(shù)學教學中培養(yǎng)學生的模型思想，對提高學生的問題解決能力，讓學生形成數(shù)學應用意識，具有深遠的意義。

（三）中國古代數(shù)學史的輝煌成就

中國古代數(shù)學以“算”為中心，表現(xiàn)出強烈的“算法”精神，形成了為解決一整類實際或科學問題而概括出來的、帶有一般性的計算方法，這使得中國古代數(shù)學在14世紀以前相當長的一個時期內(nèi)處于世界領先水平。中國古代數(shù)學有三次發(fā)展高峰：第一次高峰是以《周髀算經(jīng)》和《九章算術》為代表的兩漢時期，《周髀算經(jīng)》的勾股定理和《九章算術》的正負術、開方術是這一時期幾何與代數(shù)的代表；第二次高峰是以劉徽的《九章算術注》和祖沖之、祖暅父子的《綴術》為代表的魏晉南北朝時期，劉徽的“割圓術”、體積理論和祖沖之的圓周率、祖暅原理與球體積理論是這一時期數(shù)學證明理論的代表，這一時期是中國古代數(shù)學唯一出現(xiàn)數(shù)學論證傾向的時期，但這種數(shù)學論證傾向隨著這一時期的結束而中斷；第三次高峰是以秦九韶的《數(shù)書九章》、李治的《測圓海鏡》、楊輝的《詳解九章算法》、朱世杰的《四元玉鑒》為代表的宋元時期，這一時期是中國古代數(shù)學發(fā)展的頂峰時期。

（四）模型思想融入高中數(shù)學教學的應用研究

根據(jù)以上分析可知，魏晉南北朝時期是中國古代數(shù)學唯一出現(xiàn)數(shù)學論證傾向的時期，祖沖之、祖暅父子在劉徽“割圓術”、體積理論數(shù)學思想和方法的基礎上進行推進與發(fā)展，提出了圓周率、祖暅原理與球體積理論。祖暅球體積的計算和推導繼承了劉徽的思路，即從計算“牟合方蓋”的體積來突破，在其計算過程中提出祖暅原理，即“冪勢既同，則積不容異”，“冪”指水平截面積，“勢”指高。祖暅原理用自然語言可描述為：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等。祖暅原理要比其他國家早發(fā)現(xiàn)一千多年，直到1635年，意大利數(shù)學家卡瓦列里才得出上述結論。祖暅原理可通過以下例子來證明：假如桌面上有2沓相同數(shù)量的A4紙，無論A4紙是疊成直棱柱還是斜棱柱，其體積都等于A4紙的面積乘以直棱柱或斜棱柱的高。

祖暅原理，即“等體積模型”（下稱“祖暅模型”），只要保證兩個等高的立體圖形在每個高度的截面面積處處相等，就可以得到這兩個立體圖形的體積相等的結論。在人教版高中數(shù)學A版必修二第八章第三節(jié)“簡單幾何體的表面積與體積”［8］的教學中，可將祖暅模型融入幾何體的體積公式的推導過程。例如對柱體和錐體體積公式的推導及教學。但在日常教學過程中，由于高中數(shù)學的教學任務較重，教師為了加快教學進程，常常將柱體和錐體的體積公式直接告訴學生，讓學生通過機械記憶來掌握柱體和錐體的體積公式，缺少引導和探究的過程。這樣學生習得的知識只知其然而不知其所以然，死記硬背的效果較差，容易隨著時間的推移而淡忘。因此，應重視學生知識的發(fā)生和內(nèi)化，將祖暅模型融入柱體和錐體的體積公式的推導過程中，讓學生通過祖暅模型來掌握柱體和錐體體積公式的推導過程，進而培養(yǎng)學生的模型思想，使學生能夠運用模型思想來解決實際問題。

對于柱體體積公式的推導，可將底面積都等于[S]，高都等于[h]的任意一個多棱柱、圓柱和長方體放置在同一平面上，由棱柱、圓柱、長方體的定義可知，棱柱、圓柱、長方體在每個高度的截面面積處處相等，根據(jù)祖暅模型，可得多棱柱的體積[V1]，圓柱體的體積[V2]，長方體的體積[V3]之間的關系為：[V1=V2=V3]，又由于長方體的體積[V3=Sh]，故[V1=V2=V3=Sh]，進而可得到高中階段常見多棱柱的體積公式如下。

對于錐體體積公式的推導，可將底面積都等于[S]，高都等于[h]的任意一個多棱錐和一個圓錐放置在同一平面上，設任意一個平行于底面且距離底面為[h0]（[0

綜上所述，在柱體和錐體的體積公式的推導教學過程中，教師應先闡述清楚祖暅模型的基本內(nèi)涵，讓學生明確祖暅模型的形成過程和適用條件，進而建立起知識點與祖暅模型之間的聯(lián)系，并運用祖暅模型來解決問題。教師應將模型思想融入教學過程中，使得學生對柱體和錐體體積公式的記憶是基于祖暅模型而生發(fā)的，這是一種有意義的學習和記憶方式，在打破學生的認知結構之后又通過模型思想保持了認知結構的完整性，記憶效果較好。教師將模型思想融入教學，既讓學生了解中國古代數(shù)學的歷史，認識到數(shù)學的文化價值，增強了學生的民族自豪感，又讓原本略顯枯燥乏味的高中數(shù)學課堂變得活潑生動，有利于學生理解和接納模型所包含的數(shù)學思想，提升學生的數(shù)學建模核心素養(yǎng)。

四、研究結論

本文通過回顧中國古代數(shù)學史的輝煌發(fā)展歷程，挖掘其中富含數(shù)學思想的部分，以祖暅原理為例，基于HPM的視角，對模型思想融入高中數(shù)學柱體和錐體的體積公式的推導及教學進行研究，說明了基于HPM視角的模型思想融入高中數(shù)學教學的必要性和可行性，為一線教師的教學和育人提供一定的參考。

教師在進行教學設計時，可結合教材內(nèi)容進行二度創(chuàng)造，深挖數(shù)學史中的數(shù)學模型，例如函數(shù)模型、幾何模型、方程模型等，將模型思想融入教學中，從教學設計上體現(xiàn)對培養(yǎng)學生運用模型思想來解決問題的重視。

教師在教學過程中，應闡述清楚數(shù)學模型的基本內(nèi)涵，包括數(shù)學模型是怎樣從具體問題中抽象出來的，重在讓學生明確數(shù)學模型的形成過程和適用條件，讓學生體會從具體到抽象、從特殊到一般的推理過程，引導學生形成模型思想和對策思維，能運用所學到的數(shù)學模型解決實際問題，真正做到學以致用。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?］

［1］? 中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準：2022年版［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］? 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準：2017年版2020年修訂［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［3］? 汪曉勤.HPM： 數(shù)學史與數(shù)學教育［M］.北京：科學出版社，2019.

［4］? 許晶，李淑文.HPM視角下數(shù)學史融入高校數(shù)學教育實踐研究：評《HPM： 數(shù)學史與數(shù)學教育》［J］.教育發(fā)展研究，2020（8）：87.

［5］? 李文林.數(shù)學史概論［M］.北京：高等教育出版社，2021.

［6］? 中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準：2011年版［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

［7］? 史寧中.數(shù)學思想概論［M］.長春：東北師范大學出版社，2008.

［8］? 章建躍，李增滬.普通高中教科書：數(shù)學選擇性必修第二冊［M］.北京：人民教育出版社，2019.

（責任編輯? ? 陳? ? 明）