徐杰霞 黃如炎

【摘要】本文通過“考查的重點(diǎn)與趨勢”和“知識(shí)點(diǎn)與試題”兩個(gè)方面，展示三角函數(shù)的核心知識(shí)與方法，編擬了部分試題，供復(fù)習(xí)選用.

【關(guān)鍵詞】三角函數(shù)；考查的重點(diǎn)與趨勢；知識(shí)點(diǎn)與試題

1 考查的重點(diǎn)與趨勢

2022年全國新高考三角函數(shù)試題新穎靈活，規(guī)避套路與機(jī)械刷題，突出了理性思維和核心素養(yǎng)的考查，對2023年新高考有積極的導(dǎo)向作用. 結(jié)合教育部制定的《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)》［1］《中國高考報(bào)告2023》［2］，并參考前幾年高考數(shù)學(xué)試卷的命制規(guī)律，2023年新高考三角函數(shù)考查的重點(diǎn)依然是三角函數(shù)概念、三角函數(shù)圖象與性質(zhì)、三角函數(shù)恒等變換、解三角形.題量一般是“兩小一大”，題型可能有單選題、多選題、填空題、開放題、解答題、結(jié)構(gòu)不良試題等．選擇題、填空題一般以三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式、和差倍角公式、降冪擴(kuò)角公式、asinx+bcosx=a2+b2sin（x+φ）等為基點(diǎn)，考查三角函數(shù)的恒等變換和求值問題；以三角函數(shù)圖象為載體，考查三角函數(shù)的解析式、單調(diào)性、周期性、對稱性、最值等性質(zhì)．解答題常以平面幾何圖形為依托，通過三角恒等變換，運(yùn)用正、余弦定理求三角形邊、角、面積和最值等問題．教學(xué)中要跳出套路和刷題，貴在啟發(fā)學(xué)生如何根據(jù)問題情境與數(shù)式結(jié)構(gòu)特征，靈活選擇三角公式解決問題.

2知識(shí)點(diǎn)與試題

2.1選擇題（1—5為單選題，6—10為多選題）

試題1（考查三角函數(shù)的定義、二倍角正余弦公式、兩角和正切公式）

已知角θ的大小如圖1所示，則1+sin2θcos2θ=（）.

A．－5 B．5

C．－15D．15

答案：A.

提示：由三角函數(shù)定義tanθ+π4=－5.由于1+sin2θ=（sinθ+cosθ）2，根據(jù)該式特征，余弦二倍角公式應(yīng)選擇cos2θ=cos2θ－sin2θ.從而1+sin2θcos2θ=sinθ+cosθcosθ－sinθ=tanθ+11－tanθ=tanθ+π4=－5.

三角變換要注意三看分析法：“看角、看函數(shù)、看式子特征”.

試題2（考查誘導(dǎo)公式、兩角差與二倍角三角函數(shù)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式）

若α∈π2，π，2cos2α-sinπ4－α=0，則tan2α=（）.

A．377B．74C．±377D．±74

答案：A. 提示：由sinπ4－α=22（cosα－sinα），選擇公式cos2α=cos2α－sin2α求得cosα+sinα=12，由此求得sin2α，cos2α，進(jìn)而求得tan2α.

試題3（考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、余弦二倍角公式；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想及邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)）

已知cosθ－π12=33，則sin2θ+π3=（）.

A．－29B．－13C．29D．13

答案：B. 提示：2θ+π3=2θ－π12+π2.

試題4（考查差角公式、降冪擴(kuò)角公式、同角正余弦和公式及三角函數(shù)圖象對稱性等問題）

函數(shù)f（x）=sinx·cosx－π6圖象的一個(gè)對稱中心為（）.

A．π12，0 B．π3，0

C．π12，14D．π6，14

答案：C.

試題5（考查兩角和差的正弦公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式；考查函數(shù)與方程思想及邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)）

已知α，β∈（0，π），sin（α－β）=56，tanαtanβ=-14，則α+β=（）.

A．56πB．πC．76πD．116π

答案：C.

提示：先求sinαcosβ和cosαsinβ，sin（α+β）=－12.

試題6（考查三角函數(shù)的圖象與周期性、單調(diào)性、對稱性、最值等性質(zhì)；考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力）

函數(shù)f（x）=Acos（ωx+φ）（ω＞0）的部分圖象如圖2所示，給出以下結(jié)論，則其中正確的是（）.

A．f（x）的最小正周期為2

B.f（x）圖象的一條對稱軸為直線x=－12

C.f（x）在2k－14，2k+34（k∈Z）上是減函數(shù)

D.f（x）的最大值為A

答案：AC.

試題7（考查函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A>0，ω＞0）的圖象與性質(zhì)；考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)）

已知函數(shù)f（x）=sinωx+π4（ω＞0）在區(qū)間［0，π］上有且僅有4條對稱軸，給出下列四個(gè)結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（）.

A.f（x）在區(qū)間（0，π）上有且僅有3個(gè)不同的零點(diǎn)

B.f（x）的最小正周期可能是π2

C.ω的取值范圍是134，174

D.f（x）在區(qū)間0，π15上單調(diào)遞增

答案：BC.

提示：令ωx+π4=π2+kπ，k∈Z，則x=（1+4k）π4ω，k∈Z，由函數(shù)f（x）在區(qū)間［0，π］上有且僅有4條對稱軸，即0≤（1+4k）π4ω≤π有4個(gè)整數(shù)k符合，可求出ω∈134，174.

試題8（考查函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A>0，ω＞0）的解析式；考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)）

函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，ω<π）的部分圖象如圖3所示，則下列結(jié)論正確的是（）.

A．f（x）=2sin13x－π6

B．若把f（x）的橫坐標(biāo)縮短為原來的23倍，縱坐標(biāo)不變，得到的函數(shù)在［－π，π］上是增函數(shù)

C．若把函數(shù)f（x）的圖象向左平移π2個(gè)單位，則所得函數(shù)是奇函數(shù)

D．x∈－π3，π3，若f（3x）+a≥f3π2恒成立，則a的最小值為3+2

答案：ACD.

試題9（考查正余弦定理；考查特殊與一般思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想；考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)）

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若c2=b（a+b），則（）.

A．c＞bB．C=2B

C．a(chǎn)＞cD．0

答案：AB.

提示：取特殊三角形，當(dāng)a=b時(shí)，c=2a，此時(shí)B=π4，排除C，D，故選A，B.

要證C=2B，化為證sinC=sin2B，sinC=2sinBcosB，由正余弦定理化角為邊.

試題10（考查函數(shù)周期性、對稱性、單調(diào)性及零點(diǎn)存在性定理、導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)；考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力；考查數(shù)形結(jié)合思想；考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)）

已知函數(shù)f（x）=2x－tanx，則（）.

A．函數(shù)f（x）不是周期函數(shù)

B．函數(shù)f（x）的圖象只有一個(gè)中心對稱點(diǎn)

C．函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為

2kπ－π4，2kπ+π4，k∈Z

D．曲線y=f（x）－π2＜x＜π2只有一條過點(diǎn)（1，0）的切線

答案：AD.

提示：設(shè)f（x）關(guān)于（m，n）中心對稱，得到f（x）+f（2m－x）=2n，求出m=kπ2，n=kπ，k∈Z，得到對稱中心不止一個(gè)，排除B選項(xiàng)；由導(dǎo)函數(shù)結(jié)合定義域求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，排除C選項(xiàng)，故選AD.利用反證法，知A選項(xiàng)正確；設(shè)出切點(diǎn)，得到切線方程，代入（1，0），化簡后得到12sin2x0－cos2x0－x0=0，換元后得到g（t）=12sint－cost－12t，t∈（－π，π），分t∈（－π，0），t∈0，π2與t∈π2，π，得到函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值情況，結(jié)合隱零點(diǎn)推出零點(diǎn)個(gè)數(shù)，D選項(xiàng)正確.

2.2填空題

試題1（考查正弦函數(shù)圖象與性質(zhì)、圖象變換）

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）是奇函數(shù)，將y=f（x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為g（x）．若g（x）的最小正周期為2π，且gπ4=2，則f3π8=．

答案：2.

試題2（考查函數(shù)的對稱性、奇偶性；考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新意識(shí)及數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)）

寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)（1）（2）（3）的函數(shù)f（x）：.

（1）f（x+1）=f（－x）；（2）f′（x）為偶函數(shù)；（3）f16=12.

答案：f（x）=sinπx.

評注：構(gòu)造函數(shù)f（x）的關(guān)鍵是選擇符合其特征的基本函數(shù).

1.若f（x）為周期函數(shù)且有對稱軸或?qū)ΨQ中心，則構(gòu)造f（x）=Asin（ωx+φ）+h或f（x）=Acos（ωx+φ）+h.

2.若f（x）滿足f（x+y）+f（x－y）=f（x）f（y），則構(gòu)造f（x）=Acosωx.

3.若f（x）在（a，b）遞增，值域?yàn)镽，則構(gòu)造f（x）=tan（ωx+φ）.

試題3（考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)；考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化思想）

已知函數(shù)f（x）=sinωx（ω>0）在區(qū)間π2，π上不存在極值點(diǎn)，則ω的取值范圍是．

答案：0，12∪1，32.

提示：依題意區(qū)間π2，π夾在相鄰的兩條對稱軸之間，列式即可求解．

試題4（考查余弦函數(shù)圖象與性質(zhì)）

若函數(shù)f（x）=2cosωx在－π5，π4上存在最小值－2，則非零實(shí)數(shù)ω的取值范圍為.

答案：［4，+∞）∪（－∞，－4］.

試題5（考查正余弦定理的靈活應(yīng)用）

如圖4，△ABC中，AB=1，BC=3，以C為直角頂點(diǎn)向外作等腰直角三角形△ACD，當(dāng)∠ABC變化時(shí)，線段BD的長度最大值為 .

答案：6+1.

試題6（考查余弦定理、基本不等式等知識(shí)；考查函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合思想；考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)）

在△ABC中，BC=2，AB=2AC=2b，D為BC的中點(diǎn)，則AD的取值范圍為，tan∠ADC的最大值為? .

答案：13，3；43.

提示：由cos∠ADB=－cos∠ADC，用余弦定理得AD2=5b2－22. 求tan∠ADC的最大值轉(zhuǎn)化為求cos∠ADC的最小值，也可以用坐標(biāo)法.

2.3解答題

試題1（考查直角三角形邊角關(guān)系、正余弦定理）

在直角△ABC中，角C為直角，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且cosB=c－a2a .

（1）求角A的大??；

（2）若c=4，D點(diǎn)在AB邊上，且BD=3，求sin∠CDB.

答案：（1）π6；（2）217.

試題2（考查正余弦定理及三角形中線、角平分線、面積公式）

△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且sinA－sinBsinC=a－ca+b.

（1）求角B的大?。?/p>

（2）若b=3，D為AC邊上一點(diǎn)，BD=2，且，求△ABC的面積．從①BD為∠B的平分線，②D為AC的中點(diǎn)這兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面的橫線上并作答．

答案：（1）B=π3；（2）選①△ABC的面積s=34ac=332；選②△ABC的面積s=738.

試題3（綜合考查兩角和、差的余弦公式、正余弦定理、解三角形等知識(shí)；考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合思想）

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a，b，c成等比數(shù)列，且cos（A－C）+cosB=32．

（1）求角A，B，C;

（2）若b=2，延長BC至D，使△ABD的面積為332，求sin∠CAD．

答案：（1）A=B=C=π3；（2）2114. 提示：根據(jù)已知結(jié)構(gòu)特征，用cosB=－cos（A+C）消去B.

試題4（考查兩角差的正弦公式、正余弦定理、同角三角函數(shù)關(guān)系式、三角形面積等公式的靈活應(yīng)用；考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)）

△ABC的三邊分別為a，b，c，且sin（A－B）=（3－4cosA）sinB.

（1）求證：2c2+b2－a2=3bc；

（2）若△ABC面積為510c2，求bc的值.

答案：35. 提示：由（1）結(jié)構(gòu)特征，選擇面積公式S△ABC=12bcsinA=510c2，sinA=5c5b.由（1）cosA=32－c2b，sin2A+cos2A=1，得bc=35.

試題5（考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究復(fù)雜函數(shù)的單調(diào)性、極值和不等式等問題；考查分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程思想；考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)）

已知函數(shù)f（x）=alnx－sinx+x，其中a為非零常數(shù)．

（1）若函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；

（2）設(shè)θ∈π，3π2，且cosθ=1+θsinθ，證明：當(dāng)θ2sinθ

答案：（1）（0，+∞）.

提示：（1）求導(dǎo)后對參數(shù)進(jìn)行分類討論，然后根據(jù)單調(diào)性可求出參數(shù)的值；

（2）求導(dǎo)后分析函數(shù)的單調(diào)性，然后二次求導(dǎo)后分析其極值.

參考文獻(xiàn)

［1］中華人民共和國教育部.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[M].2版.北京：人民教育出版社，2020.

［2］中國高考報(bào)告學(xué)術(shù)委員會(huì).中國高考報(bào)告2023[M].北京：新華出版社，2023.

作者簡介

徐杰霞（1981—），女，福建閩清人，高級教師，福州市骨干教師.

黃如炎（1964—），男，福建閩清人，福建省特級教師，正高級教師.