黃海林

摘? 要：平行四邊形面積公式的推導(dǎo)是整個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)階段圖形面積計(jì)算中最為關(guān)鍵的一環(huán)，是轉(zhuǎn)化思想在小學(xué)面積教學(xué)中的初次運(yùn)用，同時(shí)也是三角形、梯形、圓的面積計(jì)算公式推導(dǎo)的基礎(chǔ)，所以學(xué)好這節(jié)內(nèi)容就顯得尤為重要。教學(xué)中如何讓學(xué)生理解并掌握中的轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)學(xué)生和教師都是一個(gè)挑戰(zhàn)。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)；轉(zhuǎn)化思想；計(jì)算公式

一、“拉伸”與“剪拼”的困惑

學(xué)生在進(jìn)行平行四邊形面積計(jì)算時(shí)，通過(guò)剪拼將不規(guī)則的圖形變成規(guī)則的圖形，根據(jù)計(jì)算公式直接求解圖形面積?？此坪?jiǎn)單的圖形變換，在教學(xué)平行四邊形的面積一課時(shí)，如何讓學(xué)生自然地想到剪拼的方法是讓許多教師頭疼的事情。為此，很多教師嘗試著通過(guò)不同的方式讓學(xué)生接受這一方法，但效果往往都不是很理想。

以下教學(xué)片段可以為教師的教學(xué)設(shè)計(jì)提供參考。

師：速度不變的情況下選哪條路更近些？為什么？

生１：兩條路一樣近。

師：你為什么認(rèn)為兩條路是一樣的？

生１：我是將第2條路進(jìn)行了平移，它就和第1條路一樣長(zhǎng)了。

師：（出示課件）圖中展示的是什么？它們的面積一樣嗎？

生１：一樣。

師：你是怎么知道它們的面積一樣的？

生１：我是將第2幅圖右邊的三角形剪下后平移到左邊，它就和第1幅圖一樣大了。

師：（課件展示平行四邊形圖片）這是什么圖形？關(guān)于平行四形已經(jīng)學(xué)習(xí)了它的哪些知識(shí)？

生２：平行四邊形具有容易變形的特征。

生３：還學(xué)了平行四邊形的底和高（學(xué)生結(jié)合圖片回顧底、高等平行四邊形的相關(guān)知識(shí)）。

師：平行四邊形的面積怎么求，之前學(xué)過(guò)嗎？

生４：沒(méi)有。

師：你覺(jué)得平行四邊形可以轉(zhuǎn)化成什么圖形？

生５：轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形。

師：怎么轉(zhuǎn)化？

生６：把平行四邊形拉成長(zhǎng)方形。

這樣的教學(xué)引導(dǎo)想通過(guò)兩個(gè)例子引出轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)方法，以此為基點(diǎn)讓學(xué)生運(yùn)用剪拼的方法來(lái)探究平行四邊形的面積，看似沒(méi)有什么太大的問(wèn)題，但從實(shí)際上來(lái)看學(xué)生并沒(méi)有領(lǐng)會(huì)教師的意圖，為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的情況呢？結(jié)合實(shí)際教學(xué)經(jīng)驗(yàn)分析，導(dǎo)致這種情況的根源，是教師在教學(xué)中雖然通過(guò)教學(xué)設(shè)計(jì)引出轉(zhuǎn)化思想的計(jì)算方式，但一些學(xué)生對(duì)教師的教學(xué)設(shè)計(jì)興趣不高，導(dǎo)致教學(xué)質(zhì)量與預(yù)期存在較大差異，其原因表現(xiàn)在以下幾點(diǎn)。

（一）受平行四邊形的特性影響

容易變形是平行四邊形固有的特性。在平行四邊形的認(rèn)識(shí)（四年級(jí)上冊(cè)）一課，容易變形的特性給學(xué)生留下了深刻的印象，將平行四邊形拉成長(zhǎng)方形便是學(xué)生最直接的選擇。但他們并不能明白在這一過(guò)程中面積并未發(fā)生變化，更何況這一過(guò)程中平行四邊形每一條邊的長(zhǎng)短和周長(zhǎng)實(shí)際上是發(fā)生了變化的。在這種思想、認(rèn)知影響下，很多學(xué)生在教師講解平行四邊形面積時(shí)，會(huì)思考這樣變形以后面積是否會(huì)發(fā)生變化？這種變形面積與原來(lái)并不一樣，變形還有什么意義？很多學(xué)生會(huì)在剪拼以后面積與原來(lái)是否一樣上糾結(jié)很長(zhǎng)時(shí)間，感覺(jué)剪拼以后面積就已經(jīng)改變，按照這種方式計(jì)算出的面積與原來(lái)并不一樣。這種認(rèn)知下，即便是教師向?qū)W生介紹剪拼思想，讓學(xué)生進(jìn)行圖形的轉(zhuǎn)換，學(xué)生也會(huì)有疑問(wèn)，甚至完全不理解，只是被動(dòng)接受教師的這種面積求解方法。

（二）受長(zhǎng)方形面積計(jì)算的影響

計(jì)算長(zhǎng)方形的面積是小學(xué)生第一次接觸圖形的面積計(jì)算，長(zhǎng)乘寬這一公式在學(xué)生的記憶里是深刻的，是學(xué)生有關(guān)圖形的面積最基礎(chǔ)、最原始的記憶，是目前為止他們唯一可依賴的計(jì)算方式。從解決問(wèn)題的角度出發(fā)，當(dāng)遇到新的問(wèn)題時(shí)，人們總會(huì)不自覺(jué)地去回憶已有的知識(shí)，從中去尋找解決新問(wèn)題的方法。于是將平行四邊形拉成長(zhǎng)方形再次成了學(xué)生最直接的選擇，而且拉成長(zhǎng)方形后，長(zhǎng)與寬也得到了落實(shí)（底邊就成了長(zhǎng)，斜邊就成了寬）。從已有知識(shí)入手，學(xué)生認(rèn)為將平行四邊形拉伸以后就可以按照長(zhǎng)方形面積的計(jì)算方式進(jìn)行計(jì)算，感覺(jué)這種方法更簡(jiǎn)單，但是沒(méi)有考慮到拉伸后的面積是否與原來(lái)圖形面積一致。

從上面兩個(gè)角度出發(fā)，將平行四邊形拉成長(zhǎng)方形是教學(xué)中不可回避的問(wèn)題，這是學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和思維特點(diǎn)決定的。作為教師，如何合理疏導(dǎo)此類問(wèn)題成了教學(xué)中不可回避的問(wèn)題。

二、運(yùn)用可視化學(xué)具，幫助學(xué)生在優(yōu)化中建立“剪拼”思想

正是因?yàn)槭芷叫兴倪呅蔚奶匦约伴L(zhǎng)方形面積計(jì)算的影響，“拉伸”法成了多數(shù)學(xué)生計(jì)算平行四邊形面積的首選方法。只有通過(guò)直觀可視、可操作的學(xué)具，讓學(xué)生在操作中直觀感受和體驗(yàn)“剪拼”法的科學(xué)性與合理性，才能真正讓學(xué)生理解和接受“剪拼”法。

例如以下教學(xué)片段所示：

師：你們能計(jì)算出圖中平行四邊形的面積嗎？請(qǐng)?jiān)囍鴶?shù)一數(shù)、畫一畫、算一算。

生１：我是先數(shù)滿格的共有１６個(gè)，再數(shù)半格的共有８?jìng)€(gè)合起來(lái)是４個(gè)滿格，這樣一共有２４個(gè)滿格，所以平行四邊形的面積是２４平方厘米。

生２：老師他這樣數(shù)太麻煩了。我是把平行四邊形右邊的小三角形移到左邊，這樣就變成了一個(gè)長(zhǎng)方形，再來(lái)數(shù)就簡(jiǎn)單了。

師：那一共有幾格呢？

生２：每排有６格，共有４排，６×４＝２４，所以一共有２４個(gè)格子，面積是２４平方厘米。

師：你能結(jié)合轉(zhuǎn)化后的圖說(shuō)一說(shuō)６×４＝２４中的６、４、２４與平行四邊形有什么關(guān)系嗎？

在人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)平行四邊形的面積教材中有一張圖，然而長(zhǎng)期以來(lái)對(duì)這幅圖的運(yùn)用并未引起教師的重視。他們往往會(huì)像上述教學(xué)片段中那樣運(yùn)用幾個(gè)簡(jiǎn)單例子進(jìn)行引導(dǎo)，強(qiáng)行將學(xué)生的思維拉到剪拼中來(lái)，剝奪了學(xué)生思考、碰撞、優(yōu)化的思維發(fā)展過(guò)程，使學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解停留在機(jī)械識(shí)記層面。

在人教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)第５單元，關(guān)于長(zhǎng)方形的面積是這樣展開(kāi)教學(xué)的，讓學(xué)生通過(guò)拼擺得出長(zhǎng)方形面積與長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬之間的關(guān)系，以此歸納概括出長(zhǎng)方形的面積＝長(zhǎng)×寬。

此處教材的安排依然是想讓學(xué)生運(yùn)用直觀可視的學(xué)習(xí)材料，在數(shù)面積中不斷地去體驗(yàn)和經(jīng)歷反思、優(yōu)化、重組的思維過(guò)程。由最初的先數(shù)滿格個(gè)數(shù)再數(shù)半格個(gè)數(shù)（２個(gè)半格合成一個(gè)滿格）最后將總個(gè)數(shù)相加不方便、不簡(jiǎn)潔，到將平行四邊形進(jìn)行剪拼轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形或正方形時(shí)的簡(jiǎn)潔高效，再由關(guān)注長(zhǎng)方形面積與長(zhǎng)與寬的關(guān)系到關(guān)注平行四邊形的底與高同轉(zhuǎn)化后的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬之間的關(guān)系，進(jìn)而關(guān)注平行四邊形的面積與其自身的底與高之間的關(guān)系，最終形成平行四邊形的面積＝底×高的計(jì)算公式。

這一系列的思維發(fā)展過(guò)程都始終依托教材中的圖，為學(xué)生提供可視化的學(xué)習(xí)材料來(lái)完成，將學(xué)生看不見(jiàn)、摸不著的思維過(guò)程借助可視學(xué)具直觀地呈現(xiàn)在師生眼前，更有利于教師對(duì)學(xué)生的引導(dǎo)。這種可視化教學(xué)方法更直觀，也有助于讓學(xué)生進(jìn)行思維轉(zhuǎn)換。如果教師直接采取將圖形剪拼、轉(zhuǎn)移的方式進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生會(huì)產(chǎn)生疑問(wèn)，為什么要這樣移動(dòng)？而采取這種直觀圖案的方式，具體怎樣移動(dòng)，以及移動(dòng)后的面積是否一樣。學(xué)生通過(guò)觀察圖片有所了解后，在這個(gè)基礎(chǔ)上再引導(dǎo)學(xué)生思考平行四邊形面積的計(jì)算公式，有助于讓學(xué)生掌握平行四邊形面積的計(jì)算方法。

三、運(yùn)用可視化教具，幫助學(xué)生在對(duì)比中辨析“拉伸”思想

教學(xué)中，教師應(yīng)該正視學(xué)生出現(xiàn)的問(wèn)題，因勢(shì)利導(dǎo)，不可一味地堵截。只有正視學(xué)生的思維方式，才能弄清他們的思考過(guò)程，發(fā)現(xiàn)思考過(guò)程中出現(xiàn)的問(wèn)題，從而進(jìn)行合理的疏導(dǎo)，幫助學(xué)生突破思維上的障礙，做到真正理解知識(shí)。考慮到學(xué)生對(duì)平行四邊形面積與長(zhǎng)方形面積認(rèn)識(shí)上的差異，在教學(xué)中教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“拉伸”的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，學(xué)生意識(shí)到自身的錯(cuò)誤，這樣學(xué)生在以后計(jì)算平行四邊形面積時(shí)可以避免出錯(cuò)。

例如以下教學(xué)片段所示：

師：通過(guò)上面的動(dòng)手操作，已經(jīng)學(xué)會(huì)了運(yùn)用剪拼的方法將平行四邊形轉(zhuǎn)化成了什么？

生１：長(zhǎng)方形。

師：除了用剪拼的方法將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，還有其他的方法嗎？

生２：可以將平行四邊形拉伸成長(zhǎng)方形。

師：來(lái)看一看拉伸出的長(zhǎng)方形是什么樣子的。（用課件進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示）

師：同樣是轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，兩種方法有什么不同？

生３：它們底一樣長(zhǎng)，寬（也就是高）不一樣。

師：它們的寬分別是原來(lái)平行四邊形的什么？

生４：分別是原來(lái)平行四邊形的高和斜邊。

師：什么情況下寬是高？什么情況下是斜邊？

生４：剪拼時(shí)是高，拉伸時(shí)是斜邊。

師：這兩種方式下的長(zhǎng)方形面積一樣嗎？為什么？哪一種情況下的面積和原來(lái)平行四邊形的面積一樣？

基于學(xué)生原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)結(jié)合平行四邊形的特性，討論將平行四邊形拉成長(zhǎng)方形是教學(xué)中的重要環(huán)節(jié)。順應(yīng)學(xué)生的思維，運(yùn)用這種直觀可視對(duì)比的方式，借助方格紙這一媒介，凸顯“拉伸”與“剪拼”之間的本質(zhì)區(qū)別，使學(xué)生真正理解為什么應(yīng)該選擇“剪拼”去求平行四邊形的面積。只有這樣，學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解才是深刻的，才能從內(nèi)心深處、從思維的最原始起點(diǎn)接受這樣的觀點(diǎn)。

教學(xué)中教師不應(yīng)刻意規(guī)避學(xué)生的“拉伸”思想，而是要在教學(xué)設(shè)計(jì)中介紹“剪拼”思想的同時(shí)，讓學(xué)生觀察、了解拉伸與剪拼之間的差異。這種教學(xué)模式要比直接強(qiáng)制學(xué)生接受“剪拼”思想，要求學(xué)生摒棄“拉伸”思想的教學(xué)模式更有效。讓學(xué)生直觀了解到拉伸與剪拼以后的面積差異，以及變化情況，這樣學(xué)生很自然地就能理解二者具體存在什么不同。以后學(xué)生遇到類似問(wèn)題時(shí)，也不會(huì)想當(dāng)然地去拉伸，而是會(huì)利用已有知識(shí)，思考怎樣確保變形以后的圖形的面積不變。

在“拉伸”與“剪拼”教學(xué)對(duì)比后，教師還應(yīng)進(jìn)行延伸教學(xué)：

師：大家看到了經(jīng)過(guò)不同變換以后，圖形的面積是否一樣？

生１：不一樣，有很大差異。

師：那大家知道應(yīng)當(dāng)如何進(jìn)行平行四邊形面積計(jì)算了嗎？

生２：知道了。

師：大家思考一下，為什么變換以后圖形的面積會(huì)不一樣？這說(shuō)明了什么？

生３：變換以后圖形的長(zhǎng)寬和原來(lái)都不一樣了，面積自然不一樣了。

師：在進(jìn)行圖形面積計(jì)算時(shí)，遇到不會(huì)計(jì)算面積的圖形時(shí)，大家清楚應(yīng)當(dāng)怎樣做了嗎？可以將圖形變換成熟悉的圖形，然后根據(jù)計(jì)算公式計(jì)算面積。

雖然這種變換的方式可以幫助計(jì)算圖形面積，但是大家在進(jìn)行變換時(shí)一定要認(rèn)真思考，不要盲目進(jìn)行，像上面這個(gè)圖形，一旦大家變換不當(dāng)，計(jì)算出的面積就并非原圖形面積，也就失去了實(shí)際意義。

在遇到類似問(wèn)題時(shí)，大家應(yīng)該了解了進(jìn)行思維轉(zhuǎn)換時(shí)應(yīng)當(dāng)怎樣做了吧？不單單數(shù)學(xué)問(wèn)題如此，生活中的其他問(wèn)題也是如此，一定要明確自身要解決的問(wèn)題，要保障思維轉(zhuǎn)換以后的解決方法依然是針對(duì)該問(wèn)題的，而不是轉(zhuǎn)換思維以后，解決的是其他問(wèn)題。

四、結(jié)語(yǔ)

延伸教學(xué)的目的是讓學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)思維模式，掌握利用已有知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的方法。通過(guò)“拉伸”與“剪拼”的對(duì)比教學(xué)，可以讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到二者的區(qū)別，也讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何利用已有知識(shí)解決實(shí)踐問(wèn)題；使學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)能夠堅(jiān)持一定的原則，去思考轉(zhuǎn)變以后的圖形是否與所要求解的圖形面積一樣；使學(xué)生能夠?qū)W會(huì)轉(zhuǎn)換思維，這種轉(zhuǎn)換應(yīng)該建立在對(duì)事物正確理解與認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，而并非“想當(dāng)然”。這種教學(xué)方法不僅讓學(xué)生對(duì)平行四邊形面積求解有一定的了解，還讓學(xué)生形成了數(shù)學(xué)思維轉(zhuǎn)換的習(xí)慣，以后解決類似數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)都能夠深思熟慮后再進(jìn)行。

參考文獻(xiàn)：

［１］翟運(yùn)勝． 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)要有明確的目的與要求——以《平行四邊形的面積》教學(xué)為例［Ｊ］． 小學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)，２０２１（２６）：５２－５４．

［２］潘小明，馬云鵬． “平行四邊形面積”教學(xué)實(shí)錄及評(píng)析［Ｊ］． 小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），２０２１（Ｚ１）：１０６－１１２．

［３］蔣徐?。?讓教學(xué)扎實(shí)而豐厚——“平行四邊形面積公式”教學(xué)建議［Ｊ］． 教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)），２０２１（０９）：３７－４０．

（責(zé)任編輯：羅? 欣）