蔣燕芬

【摘 要】學生解決數(shù)學難題的過程，也是其建立數(shù)學學習信心、磨礪意志品格的過程。教學難題時，教師可通過分析學生解題難點設計鋪墊題，讓學生獨立解決，并從中積累經驗、領悟方法。這樣的教學能提升學生的數(shù)學能力，使得學生的解題正確率提高、解題速度加快、表達水平提升、解題思路拓展。

【關鍵詞】 較難問題；鋪墊題；難點；設計思路

學生在數(shù)學學習中，總會遇到一些有難度的題。這些難題的教學若處理不當，容易讓學生喪失學習信心，對數(shù)學學習產生恐懼。若處理得當，則可讓學生感受到問題解決的愉悅，助力其形成對數(shù)學學習的良好體驗。

一、問題的提出

學生在學習人教版教材五年級下冊“長方體和正方體”單元時，遇到了這樣一道題：

一個棱長是3cm的正方體零件，從它的正面、上面、右面的中心位置各挖去（鑿穿）一個邊長是1cm的正方形孔（如圖1）后，把這個零件浸沒在底面邊長是5cm的裝有水的長方體容器中。水面上升了幾cm？

用這道題對五年級88名學生進行測試，正確率約為31.82%（下文稱這個問題為“較難題”）。能否不通過教學活動，即不通過師生對話或生生對話，而是由教師編制一組鋪墊題，讓學生獨立解決，以提高學生解決這類較難題的正確率和表達水平，從而提升學生的數(shù)學能力與核心素養(yǎng)？本文試圖探究設計這樣的鋪墊性題目，以幫助學生解決較難題。

二、研究的對象與過程

筆者選取了一所鄉(xiāng)鎮(zhèn)學校五年級兩個班共88名學生作為研究對象。這些學生升入六年級后，筆者繼續(xù)把他們作為研究樣本進行研究。

研究過程分為以下七步。

第一步，學習五年級下冊教學內容時，對學生進行第一次較難題測試。

第二步，分析學生的解題困難點。

第三步，根據(jù)學生的解題困難點，設計一組相應的鋪墊題。

第四步，學生獨立解決鋪墊題。

第五步，對學生進行第二次較難題測試。

第六步，九個月后（六年級下學期），對學生進行第三次較難題測試。

第七步，分析研究，得出研究結論。

三、鋪墊題及其設計思路

要設計出有效的鋪墊題，需要先了解學生的解題思路。筆者用前文提到的這道較難題對88名五年級學生進行測試，能夠正確解決這道較難題的有28人，約占31.82%；錯誤解題的有60人，約占68.18%。

（一）學生解決這道較難題的正確思路

正確解決這道較難題的學生，能夠從整體到局部清楚解題的步驟，即先明確：挖去孔后的零件浸沒到長方體容器中，上升水的高度=上升水的體積÷長方體容器的底面積；上升水的體積=挖去孔后零件的體積。再運用“挖去孔后零件的體積=原來正方體零件的體積-挖去的孔的體積”這一數(shù)量關系解決問題。其中，求出“挖去孔后零件的體積”是解題的關鍵步驟。學生有兩種方法可以求“挖去孔后零件的體積”。

方法一：學生通過想象和計數(shù)得到挖去的是7個小正方體，直接用“原來正方體的體積”減去“挖去的7個小正方體的體積”，即3×3×3-1×1×1×7=20（cm3）。這種方法可以稱為“想象計數(shù)法”，用這種方法解題的學生約占11.36%（如圖2）。

方法二：先求出“原來正方體零件的體積”，再求“挖去的3個小長方體”的體積。因為“挖去的3個小長方體”中間重疊部分的那個小正方體多減了2次，所以要用“3個小長方體的體積”減去“2個小正方體的體積”。最后用“原來正方體零件的體積”減去“挖去的孔的體積”。即3×3×3=27（cm3），1×1×3×3 -1×1×1×2=7（cm3），27-7=20（cm3）。這種方法可以稱為“整體思考法”，用這種方法解題的學生約占20.45%（如圖3）。

（二）學生解題難點的分析以及解決辦法

通過對學生解題過程的分析，可以發(fā)現(xiàn)，不能正確解決這道較難題的學生遇到的困難主要有以下兩種。

1.難點一：不能想象出挖去部分的形狀

（1）約9.09%的學生不能想象出挖去部分的形狀是有重疊部分的3個長方體，以為只挖去了從圖上能看到的正面、上面、右面的3個小正方體（如圖4）。

（2）約5.68%的學生認為挖去的是正方體表面的6個小正方體（如圖5）。這部分學生除了看得到的3個小正方體，還能想象到相對的面還有3個小正方體，但是他們無法想象正方體零件的最中心位置（中間重疊部分）還有1個小正方體。

【預設幫助學生克服難點一的方法】

設計鋪墊題能讓學生明白“鑿穿”是什么意思，看到挖去的不是只有面上的那幾塊，而是一塊一塊疊起來形成的一個長方體，一直從這一面通到對面。可以將挖去（鑿穿）的部分用色彩突出顯示，將原本需要想象的圖形可視化（如圖6），讓學生形成表象。

2.難點二：不能想象出挖去的3個小長方體有重疊部分

（1）約22.73%的學生認為“挖去的孔的體積”就是“3個小長方體的體積”，即挖去了9個小正方體。這部分學生不能想象出挖去的3個小長方體有重疊部分。

（2）約17.05%的學生用“1×1×3×3- 1×1×1=8（cm3）”計算“挖去的孔的體積”，也就是說，這部分學生知道有重疊部分，但只減去了1個重疊的小正方體的體積。

【預設幫助學生克服難點二的方法】

（1）設計“挖去2個小長方體”的圖式，并將中間“重疊”的小正方體用不同的色彩突出顯示（如圖7），讓學生看見重疊的這個小正方體，并想象挖去的這2個小長方體重疊的部分是“1個小正方體”。

（2）把正方體零件“切開”，讓學生進一步涂色，涂出那些被“挖去的小正方體”，即把里面看不見的方塊變成可見，通過操作強化挖去部分的形狀和大?。ㄈ鐖D8）。之后要求學生閉上眼睛想一想，哪些是被挖去的小正方體，讓學生從看得見的直接操作上升到能夠運用表象進行思考。

基于對較難題的正確解題思路和學生解題難點的分析，筆者設計了以下兩道鋪墊題。

鋪墊題1：從一個棱長是3cm的正方體零件上面的中心位置，挖去一個邊長為1cm的正方形孔，直到穿過它的對面（如圖6）。

（1）這個零件剩下的體積是多少立方厘米？再想一想挖去部分的形狀和大小。

（2）把這個零件浸沒在底面邊長是5cm的裝有水的長方體容器中。水面上升了幾厘米？

鋪墊題2：從一個棱長是3cm的正方體零件的上面、右面的中心位置，挖去一個邊長為1cm的正方形孔，直到穿過它的對面。

（1）看一看圖7，想一想挖去部分的形狀是怎樣的。如果看成是2個小長方體合在一起，那么它們重疊的部分是什么形狀？

（2）看一看圖8，想一想挖去了哪些正方體，并把挖去的這些正方體涂上顏色。

（3）求出圖7這個零件挖去孔后的體積是多少立方厘米。

四、測試結果與分析

在學生完成第一次較難題測試的三天后（在這三天中，既沒有教給學生與較難題相關的內容，也沒有讓學生做相關的練習），讓學生先獨立完成鋪墊題，再用較難題進行第二次測試。九個月后，用較難題進行第三次測試。測試結果及分析如下。

（一）第二次較難題測試結果及分析

學生獨立完成鋪墊題后，進行了第二次較難題測試。與第一次較難題測試的情況進行比較，可以得到以下結果。

（1）解題正確率提高。通過先獨立完成鋪墊題，再做較難題，學生解題的正確率從第一次的31.82%提高到70.45%。

（2）解題時間縮短。第一次測試時，解答正確的學生平均用時3.6分鐘；第二次測試時，平均用時縮短到1.9分鐘。這說明學生的思維速度加快了。

（3）表達水平提升。在第二次測試中，能夠正確解決較難題的學生，畫圖說明思路的達到了64.52%，用文字說明算式含義的達到了100%。和第一次測試時相比，第二次測試時，學生能用清晰的語言和算式進行表達，能用直觀圖式進行表征。

學生A和B第一次做較難題時，解答都是錯誤的，但在第二次做較難題時，解答就正確了。學生A第一次做較難題時，雖然知道有重疊部分，但只減去了1個重疊的小正方體的體積。獨立解決鋪墊題后，學生A第二次做較難題時，已經能夠很好地運用“想象計數(shù)法”解決問題（如圖9），清晰地想象出挖孔后零件每一層的情況，并能用直觀圖式表征出來，還能用清晰的語言和算式進行表達。

學生B第一次做較難題時，不能想象出挖去部分有重疊。第二次做較難題時，她已經能很好地運用“整體思考法”解決問題（如圖10），并清楚地描述出“中間有2個小正方體是重復算的”。

（4）解題思路拓展。經過鋪墊題的訓練，學生計算較難題“挖去孔后零件的體積”時，出現(xiàn)了四種方法。

方法①：先直接求出挖去的小正方體個數(shù)是7個，再用“3×3×3-1×1×1×7=20（cm3）”算出“挖去孔后零件的體積 ”。

方法②：直接將每層剩下的小正方體的個數(shù)進行累加，即8+4+8=20（cm3）。

方法③：先計算“挖去3個長方體的體積-2個小正方體的體積”，即1×1×3×3-1×1×1×2=7（cm3），再計算“挖去孔后零件的體積”，即27-7=20（cm3）。

方法④：先用“原來正方體的體積-挖去的3個長方體的體積”，再加上“最中間被多減了2次的小正方體的體積”，即3×3×3-1×1×3×3+1×1×1×2=20（cm3）。

方法①和方法②可以歸類為用“想象計數(shù)法”解決問題，方法③和方法④可以歸類為用“整體思考法”解決問題。

第一次較難題測試時，多數(shù)學生不能正確解決問題。在做了鋪墊題后再進行第二次較難題測試，能夠正確解題的學生數(shù)上升了，正確率提升了38.63%。在這些學生中，約22.72%的學生用“想象計數(shù)法”計算“挖去孔后零件的體積”，余下15.91%的學生則運用“整體思考法”解決問題。第二次較難題測試結果說明：鋪墊題為學生運用“想象計數(shù)法”提供了很好的幫助；學生的空間觀念得到了改進；運用“整體思考法”的難度大于運用“想象計數(shù)法”的難度。

在進行第二次較難題測試時，筆者還給學生增加了一道延伸題。延伸題在較難題的基礎上作了一點改變，把較難題中的棱長改為了4cm，其他的條件與問題都不變。因此，在解題思路上，兩道題是基本相同的。學生解決延伸題的正確率約為42.05%，明顯高于第一次較難題測試的正確率。圖11是一個學生解決延伸題時的解題過程，可以看出，該學生的表達很有邏輯性。

雖然學生解決延伸題的正確率已經高出第一次較難題測試的正確率10%左右，但是遠低于第二次較難題測試的正確率。兩道題的解題思路基本一樣，解題正確率卻相差近30%，這是什么原因呢？仔細分析學生解決延伸題的過程，發(fā)現(xiàn)近30%的學生都是把挖去部分的體積算成了與較難題一樣的體積。圖12是一個學生解決延伸題的過程，他就犯了這樣的錯誤。

可見，學生完成鋪墊題、較難題的測試后，馬上進行延伸題的測試，他們會受到較難題的影響，產生負遷移，錯誤地認為挖去部分的體積不變。

（二）第三次較難題測試結果及分析

在進行第二次較難題測試時，學生剛完成了鋪墊題，鋪墊題的解題思路無疑會對學生正確解決較難題產生積極的影響。如果過一段時間，在沒有做鋪墊題的情況下，直接讓學生做較難題，學生還能夠正確解決問題嗎？根據(jù)艾賓浩斯記憶遺忘曲線，30天后，人們對信息的記憶只剩21%左右。于是，筆者在九個月后，對學生進行第三次較難題測試。其間既不對學生進行相關內容的教學，也沒讓學生做相關的練習題（相應的教材與作業(yè)本中都沒有相關的題目）。結果，第三次解決較難題的正確率約為80.68%，解決延伸題的正確率約為56.82%。學生在解題速度、解題思路的表達、解題方法的多元化等方面都表現(xiàn)得比較理想。學生這一表現(xiàn)說明，一方面，這兩道鋪墊題對解決這一類較難題起著積極的作用；另一方面，隨著學生年級的升高，他們進一步學習了圓柱與圓錐的相關知識，這也促進了學生空間觀念的發(fā)展。

五、研究啟示

（一）從可視（操作）到想象是培養(yǎng)空間觀念的有效途徑

空間觀念是學生核心素養(yǎng)的表現(xiàn)之一，學生解決鋪墊題和較難題的過程就是培養(yǎng)學生空間觀念的過程。鋪墊題的設計遵循了“從可視（操作）到想象”這一路徑，學生解決較難題的正確率和表達水平得到明顯提高，說明這一路徑是培養(yǎng)空間觀念的有效途徑。

（二）部分學生在想象“組合幾何體”的形狀與大小方面存在困難

從上述三次測試可知，尚有20%左右的學生不能正確解決較難題，這是因為他們不能想象出挖去部分的這個組合幾何體的形狀與大小。在正確解決較難題的學生中，仍有部分學生不能將方法進行遷移應用，正確解決延伸題。這些都說明要提升學生的能力，培養(yǎng)空間觀念這一核心素養(yǎng)。

（浙江省杭州市臨平區(qū)塘棲第二小學）