杜纓

【摘 要】路徑依賴是經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域的研究成果，該原理不僅可以應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域，也可以應(yīng)用在數(shù)學(xué)教學(xué)中。教師可以運(yùn)用“路徑依賴”原理對(duì)《數(shù)學(xué)廣角——找次品》一課進(jìn)行知識(shí)的梳理和學(xué)生起點(diǎn)的分析，依此重新確立教學(xué)目標(biāo)，并將探尋正確路徑作為教學(xué)活動(dòng)的重心。在教學(xué)實(shí)踐中，具體可通過(guò)“首探路徑、再探路徑、明確路徑”三個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)效果最大化，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的提升。

【關(guān)鍵詞】路徑依賴；找次品；自我強(qiáng)化

美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家、歷史學(xué)家道格拉斯·諾斯在《經(jīng)濟(jì)史中的結(jié)構(gòu)與變遷》一書(shū)中提出了“路徑依賴”原理，在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域成功地解釋了全球或一個(gè)國(guó)家經(jīng)濟(jì)制度的變遷過(guò)程。“路徑依賴”類似于物理學(xué)中的慣性，即事物一旦進(jìn)入某一路徑，就可能對(duì)這種路徑產(chǎn)生依賴?！奥窂揭蕾嚒痹聿粌H可以應(yīng)用在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域，也可以應(yīng)用在數(shù)學(xué)教學(xué)中，其實(shí)質(zhì)是一個(gè)不斷進(jìn)行強(qiáng)化的過(guò)程。為此，筆者試圖依據(jù)“路徑依賴”原理，以《數(shù)學(xué)廣角——找次品》一課的教學(xué)為例進(jìn)行課堂教學(xué)探索。

一、試析“路徑依賴”原理在教學(xué)中的適用性

（一）對(duì)照“路徑依賴”原理，梳理本位知識(shí)

“路徑依賴”原理強(qiáng)調(diào)，一旦進(jìn)入了某種選擇，就可能會(huì)對(duì)這種選擇產(chǎn)生依賴。因此，教師在第一次教學(xué)時(shí)就必須讓學(xué)生進(jìn)入正確的路徑。這就要求教師全面把握本位知識(shí)，準(zhǔn)確理解教材內(nèi)容，幫助學(xué)生建立起結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識(shí)體系。

“找次品”問(wèn)題是一類經(jīng)典數(shù)學(xué)問(wèn)題。它可以細(xì)分為許多類型，有的類型解決起來(lái)相當(dāng)復(fù)雜。教材選擇了比較簡(jiǎn)單的一類作為例題，例如：有n個(gè)從外表看完全相同的零件，其中1個(gè)是次品，次品比合格品重（或輕）一些。假如用天平稱（不用砝碼），最少稱幾次就能保證找出這個(gè)次品？

對(duì)于這一問(wèn)題，一般解決方法是“把這n個(gè)零件盡可能平均分成三份”。這是由天平的特點(diǎn)決定的。因?yàn)樘炱接袃蓚€(gè)托盤(pán)，所以次品所在的位置無(wú)外乎三個(gè)地方，即兩個(gè)托盤(pán)上或天平外，只要用天平稱1次就能確定次品在三個(gè)位置中的哪一個(gè)。而要使稱量的次數(shù)最少，就應(yīng)在每次稱量后，把次品確定在更小的范圍內(nèi)。要做到這一點(diǎn)，就應(yīng)盡量使三份零件的個(gè)數(shù)同樣多。這樣，不管次品在三個(gè)位置中的哪一個(gè)位置，問(wèn)題都能轉(zhuǎn)化為“從總數(shù)的三分之一（左右）里找次品”。下面對(duì)三種情況進(jìn)行具體分析。

（1）當(dāng)物品數(shù)量是3 的倍數(shù)時(shí)，可以分成（m，m，m），天平兩邊分別放m個(gè)，稱1次。無(wú)論是否平衡，都排除2m個(gè)，所以稱1次可以排除2m個(gè)物品。

（2）當(dāng)物品數(shù)量比3倍多1時(shí)，可以分成（m，m，m+1），天平兩邊分別放m個(gè)，稱1次。如果平衡，排除2m個(gè)；如果不平衡，排除2m+1個(gè)。所以稱1次至少排除2m個(gè)物品。

（3）當(dāng)物品數(shù)量比3倍多2個(gè)時(shí)，可以分成（m，m+1，m+1），天平兩邊分別放m+1個(gè)，稱1次。如果平衡，排除2m+2個(gè)；如果不平衡，排除2m+1個(gè)。所以稱1次至少排除2m+1個(gè)物品。

（二）結(jié)合“路徑依賴”原理，分析學(xué)習(xí)起點(diǎn)

依據(jù)“路徑依賴”原理，學(xué)習(xí)起點(diǎn)是教學(xué)的關(guān)鍵。教師只有在真正掌握學(xué)情的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，才能為學(xué)生有效地建構(gòu)起正確的學(xué)習(xí)路徑。為此，筆者對(duì)70名學(xué)生進(jìn)行了前測(cè)，以了解學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，具體內(nèi)容如下。

1.調(diào)查學(xué)生的邏輯思維能力

【測(cè)試題目1】小紅、小白和小黑三只兔子賽跑。小紅說(shuō)：“我跑得不是最快的，但比小黑快?！闭?qǐng)你說(shuō)說(shuō)，誰(shuí)跑得最快？誰(shuí)跑得最慢？請(qǐng)寫(xiě)出你的想法。

70名學(xué)生中，只有3名學(xué)生回答錯(cuò)誤，說(shuō)明大多數(shù)學(xué)生已經(jīng)具備了初步的邏輯思維能力。

2.調(diào)查與本課內(nèi)容相關(guān)的推理能力

【測(cè)試題目2】有3瓶從外表看完全一樣的口香糖，其中有一瓶口香糖是少1片的（稱為次品）。如果有一架天平，你能用最少的次數(shù)將次品找出來(lái)嗎？請(qǐng)寫(xiě)出或者畫(huà)出你的想法。

70名學(xué)生中，認(rèn)為要稱3次的有4人，約占5.71%；認(rèn)為要稱2次的有17人，約占24.29%；認(rèn)為要稱1次的有26人，約占37.14%；認(rèn)為稱其他次數(shù)（含沒(méi)有結(jié)論）的有23人，約占32.86%。從調(diào)查的情況看，學(xué)生出現(xiàn)了四種不同的結(jié)果，其中認(rèn)為稱1次就能完成的學(xué)生，約占總?cè)藬?shù)的三分之一（這些學(xué)生能清晰地將自己稱的過(guò)程表征出來(lái)）。約62.86%的學(xué)生不能自然想到“在天平上稱1次就能確定次品在三個(gè)位置中的哪一個(gè)地方”，這種現(xiàn)象說(shuō)明了進(jìn)行教學(xué)引導(dǎo)的必要性。因此，教師在教學(xué)中要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由特殊到一般，讓學(xué)生在比較、猜想、驗(yàn)證的活動(dòng)中逐步感悟、總結(jié)和提煉。

3.分析學(xué)生思維過(guò)程中的表征方式

分析測(cè)試題目2的學(xué)生作品發(fā)現(xiàn)，學(xué)生已經(jīng)具備了將自己的思維過(guò)程表達(dá)出來(lái)的能力，并呈現(xiàn)出多種表征方式，主要有三種：畫(huà)圖、文字說(shuō)明、畫(huà)圖+文字說(shuō)明。其中，文字說(shuō)明的方式最能清楚地表達(dá)出思維過(guò)程，使用的人最多，認(rèn)為“稱1次就找到次品”的學(xué)生中有18人運(yùn)用的是文字說(shuō)明方法，這說(shuō)明學(xué)生具備了用語(yǔ)言表達(dá)思維活動(dòng)的能力，為開(kāi)展課堂教學(xué)做好了鋪墊。

（三）依據(jù)“路徑依賴”原理，確立教學(xué)目標(biāo)

確定學(xué)習(xí)路徑和進(jìn)行強(qiáng)化是“路徑依賴”的兩大核心。對(duì)于找次品問(wèn)題的教學(xué)，如果教師只是簡(jiǎn)單地告知學(xué)生結(jié)論和方法，而沒(méi)有讓學(xué)生經(jīng)歷尋找正確路徑的過(guò)程，學(xué)生將會(huì)缺失數(shù)學(xué)素養(yǎng)，不利于其長(zhǎng)足發(fā)展。基于以上思考，筆者將本課的教學(xué)目標(biāo)定位為以下三點(diǎn)：

1.知識(shí)目標(biāo)。通過(guò)觀察猜測(cè)、實(shí)物操作、推理思考等活動(dòng)，掌握找次品的最優(yōu)方法，并歸納出解決這類問(wèn)題的最優(yōu)分組策略。

2.能力目標(biāo)。經(jīng)歷由多樣化到優(yōu)化的思維過(guò)程，理解最少次數(shù)是如何得出的，在歸納解決問(wèn)題方法的過(guò)程中，積累探尋經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)表征思維過(guò)程和解決問(wèn)題的能力。

3.情感、態(tài)度、價(jià)值觀目標(biāo)。感受數(shù)學(xué)在生活中的廣泛應(yīng)用，能用學(xué)到的數(shù)學(xué)思想和方法解決生活中的實(shí)際問(wèn)題。

此外，確立本課的教學(xué)重點(diǎn)：找到優(yōu)化的方法，體會(huì)“三分法”的優(yōu)勢(shì)。

二、教學(xué)實(shí)踐過(guò)程

（一）首探路徑，初步感知“三分法”

教師引導(dǎo)學(xué)生將物品平均分成三份，然后借用天平進(jìn)行稱量，從而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“從總數(shù)的三分之一（左右）里找次品”。這是最有效的解決問(wèn)題的方式，也是首選路徑。同時(shí)滲透化繁為簡(jiǎn)的思想，讓學(xué)生從簡(jiǎn)單的問(wèn)題開(kāi)始研究，找到規(guī)律后再來(lái)解決復(fù)雜的問(wèn)題。

教師出示題目：有240瓶口香糖，其中有1瓶少2片（輕一些），看作次品。假如用天平稱，至少稱幾次能保證找出次品？

生：數(shù)量太大，一下子無(wú)法解決。

師：那就從最少的數(shù)量開(kāi)始研究，找到規(guī)律后再解決這個(gè)問(wèn)題，那么從幾瓶開(kāi)始研究比較好呢？

生：2瓶可以直接稱出來(lái)，不需要研究。我們就從3瓶開(kāi)始。

師：你準(zhǔn)備怎么稱？

生：當(dāng)有3瓶口香糖時(shí)，天平兩端各放1瓶，如果不平衡，那么輕的是次品；如果平衡，那么天平外的是次品。所以只要稱1次。

師：有時(shí)是稱出次品，有時(shí)是推算出次品，都只稱1次就夠了，這是為什么？

生：把3瓶口香糖分別放在天平兩端和天平外，次品就在這三個(gè)位置中的其中一個(gè)位置。如果在天平上，直接就能稱出來(lái)；在天平外，就能靠推算得出。

師：也就是說(shuō)，只要把物品分成三堆，稱1次就能確定次品的位置。

（二）再探路徑，數(shù)形結(jié)合建立模型

學(xué)生經(jīng)歷了在3個(gè)瓶子中找次品后，教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生在5～8個(gè)瓶子中找次品，體會(huì)“三分”法的優(yōu)勢(shì)：分成三份的目的是縮小次品所在范圍，排除更多數(shù)量，使物品不上秤也能作出判斷?；久鞔_了“三分法”路徑后，再讓學(xué)生在合作過(guò)程中積累找尋策略的經(jīng)驗(yàn)。最后引導(dǎo)學(xué)生在9個(gè)瓶子中找次品，要求學(xué)生在找的時(shí)候嘗試用語(yǔ)言或?qū)嵨锉磉_(dá)思維過(guò)程，并會(huì)用流程圖或文字表達(dá)稱次品的過(guò)程。

師：剛才大家分析得非常清楚。那你們能把在3瓶口香糖中找次品的過(guò)程用圖表示出來(lái)嗎？請(qǐng)大家在練習(xí)紙上試一試。

教師呈現(xiàn)學(xué)生作品如下。

師：把3瓶分成3個(gè)一份，至少稱1次就能找出次品。那么，如果5瓶、6瓶、7瓶、8瓶口香糖里有1瓶是次品，至少分別稱幾次，就一定能找出次品呢？

教師組織小組活動(dòng)，學(xué)生分小組完成。出示小組活動(dòng)要求：①請(qǐng)小組長(zhǎng)分配任務(wù)，完成相應(yīng)的內(nèi)容，并填寫(xiě)表格；②完成表格后，觀察表格，有什么發(fā)現(xiàn)？

教師呈現(xiàn)第二小組作品（如表1），進(jìn)行教學(xué)反饋。

師：有5瓶口香糖時(shí)，如果天平平衡，外面的1瓶就是次品。這樣不是稱1次就找到次品了么，為什么還要再稱1次？

生：至少幾次，就是說(shuō)這個(gè)次數(shù)是保證能找到次品的次數(shù)，所以我們要考慮最糟糕的情況。如果最糟糕的情況下都能找到，那么其他情況下也保證能找到了。

師：為什么都用到了“三分法”？

生：天平只有兩個(gè)托盤(pán)，那么天平兩端和天平外一共是三位置，把物品分別放在這三個(gè)位置，次品就在其中一個(gè)位置，只要稱1次就能發(fā)現(xiàn)次品在哪里。

生：分成三堆，就能把次品所在位置縮小到數(shù)量更少的物品堆里。

師：為什么“三分法”中還要盡可能平均分呢？

生：因?yàn)楸M可能平均分就能讓三堆物品的數(shù)量盡可能一樣多，這樣能保證稱1次就把次品所在位置縮小到總數(shù)的三分之一的物品堆里。

師：仔細(xì)觀察找次品的最后一步，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：最后都是在2個(gè)或者3個(gè)里找出次品。

師：為什么會(huì)這樣？

生：在2個(gè)或3個(gè)物品中找次品是最基本的方法，且只要稱1次就可以找出次品。

師：如果9瓶中有1瓶次品，可以怎么分組呢？為什么？怎樣把稱的過(guò)程表達(dá)清楚？

（教學(xué)過(guò)程略）

師：要用最少次數(shù)找出次品，就要將物品分成三堆，而且要盡量平均分，最后還要考慮最不利原則。

（三）明確路徑，強(qiáng)化練習(xí)加強(qiáng)依賴

有針對(duì)性的練習(xí)，是對(duì)正確路徑進(jìn)行強(qiáng)化的有效形式。按照“三分法”，對(duì)第一次分組專項(xiàng)練習(xí)很重要。只有在練習(xí)中不斷地自我強(qiáng)化，學(xué)生才能形成依賴。通過(guò)這樣的反復(fù)強(qiáng)化，學(xué)生才能在獲得正確“路徑”的基礎(chǔ)上，真正將數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)化為數(shù)學(xué)能力，提升核心素養(yǎng)。

師：如果分別有12瓶、13瓶、29瓶口香糖，其中有1瓶是次品，第一次如何用“三分法”分組？

生：盡可能平均分成3份，12分成（4，4，4），13分成（4，4，5），29分成（9，10，10）。

師：同桌之間隨機(jī)報(bào)一個(gè)數(shù)，說(shuō)說(shuō)你是怎么分的。

（同桌之間一人報(bào)數(shù)，一人說(shuō)分法）

師：如果總瓶數(shù)分別是3的倍數(shù)、3的倍數(shù)多1、3的倍數(shù)多2，第一次分組時(shí)你會(huì)怎么分呢？

生：總瓶數(shù)是3的倍數(shù)時(shí)剛好平均分成（ɑ，ɑ，ɑ）；總瓶數(shù)是3的倍數(shù)多1時(shí)可以分成（ɑ，ɑ，ɑ+1）；總瓶數(shù)是3的倍數(shù)多2時(shí)可以分成（ɑ，ɑ+1，ɑ+1）。

師：明確了第一次的分法，后面你會(huì)繼續(xù)分嗎？現(xiàn)在再來(lái)試試最開(kāi)始的問(wèn)題，240瓶口香糖中有1瓶是次品，最少稱幾次保證找到次品呢？

綜上所述，筆者以《數(shù)學(xué)廣角——找次品》一課內(nèi)容為例，運(yùn)用“路徑依賴”原理，梳理本位知識(shí)，分析學(xué)生起點(diǎn)，重新確立教學(xué)目標(biāo)，并將“探尋正確路徑”作為教學(xué)活動(dòng)的重心。這樣的探索能使教學(xué)效果最大化，從而提高學(xué)生的核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

［1］闕方平.中國(guó)票據(jù)市場(chǎng)制度變遷［M］.北京：中國(guó)金融出版社，2005.

［2］鄭祥旦.“找次品”如何教才不出“次品”［J］.小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2019（3）：51-54.

（浙江省杭州新世紀(jì)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）