賈陸宇 郜舒竹

【摘 要】點(diǎn)陣是人們理解“數(shù)與運(yùn)算”的重要工具。作為一種直觀模型，點(diǎn)陣能夠?qū)⒊橄笏闶叫蜗蠡?，其?dòng)態(tài)變換可以呈現(xiàn)不同算式間的等價(jià)關(guān)系。從點(diǎn)陣視角看算式，能夠幫助學(xué)生建立算理與算法間的聯(lián)系，提升對(duì)算式間關(guān)系的感悟，更好地把握數(shù)學(xué)運(yùn)算的整體性與一致性。因此，教師在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)重視點(diǎn)陣的應(yīng)用，充分發(fā)揮其課程價(jià)值。

【關(guān)鍵詞】點(diǎn)陣；算式；運(yùn)算；運(yùn)算感

點(diǎn)陣是表征數(shù)字符號(hào)的直觀模型，常作為數(shù)形結(jié)合的載體，出現(xiàn)于教科書中數(shù)的認(rèn)識(shí)、表內(nèi)乘法、倍數(shù)與因數(shù)等內(nèi)容中，用以幫助學(xué)生建立具體與抽象間的聯(lián)系。長(zhǎng)期以來(lái)，小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科關(guān)于“數(shù)與運(yùn)算”主題的課程設(shè)計(jì)與課堂教學(xué)，更重視計(jì)算的速度與準(zhǔn)確性，相對(duì)忽視運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方式“發(fā)現(xiàn)”算式間關(guān)系的過(guò)程。

學(xué)生對(duì)點(diǎn)陣的觀察及其動(dòng)態(tài)變換的操作，能夠幫助他們進(jìn)一步理解算理、明晰算法，提升對(duì)算式間等價(jià)關(guān)系的認(rèn)知。在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)重視對(duì)此類直觀模型的運(yùn)用，通過(guò)呈現(xiàn)直觀圖式輔助教學(xué)，將抽象的“關(guān)系”形象化。

一、歷史溯源

點(diǎn)陣是人們認(rèn)識(shí)并理解“數(shù)與運(yùn)算”的重要工具。它的歷史源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，可追溯至古希臘時(shí)期。當(dāng)時(shí)，畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras）將對(duì)世界的科學(xué)觀察與數(shù)聯(lián)系起來(lái)，發(fā)現(xiàn)數(shù)與已經(jīng)存在或即將形成的事物間存在“結(jié)構(gòu)上的相似性”。按照畢達(dá)哥拉斯、亞里士多德（畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的追隨者）的觀點(diǎn)，結(jié)構(gòu)上的相似性體現(xiàn)為“數(shù)”幾乎是所有事物的組成元素，世間萬(wàn)物都可以用“數(shù)”來(lái)表達(dá)，如固定的琴弦長(zhǎng)度比能產(chǎn)生和諧的音調(diào)、天體與地球的距離適宜使得宇宙間球體轉(zhuǎn)動(dòng)的聲音變得和諧等。［1］

基于數(shù)與世間萬(wàn)物在結(jié)構(gòu)上的相似性，畢達(dá)哥拉斯相信紛繁雜亂的世界蘊(yùn)含著亙古不變的“數(shù)學(xué)規(guī)律”，即“數(shù)（Number）”，并認(rèn)為數(shù)是永恒的，獨(dú)立于感性世界而存在，人們理解世間萬(wàn)物的關(guān)鍵在于數(shù)，即萬(wàn)物皆數(shù)［2］；相信一切形體均由數(shù)衍生而來(lái)，因而常常通過(guò)擺放沙灘上的卵石來(lái)表示數(shù)［3］，適當(dāng)擺放一定數(shù)量的卵石能夠形成規(guī)則幾何圖形。由此，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派按照幾何圖形的形狀對(duì)“數(shù)”進(jìn)行了分類，衍生出“形數(shù)（Figurate Numbers）”的概念，如三角形數(shù)、正方形數(shù)、五邊形數(shù)等。［4］比如從視覺(jué)上來(lái)看，因?yàn)?塊卵石能夠以正三角形的形式進(jìn)行排列，所以“3”就被認(rèn)為是一個(gè)三角形數(shù)（如圖1）。

“形數(shù)”的出現(xiàn)使得形與數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系得以凸顯。通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化，抽象的事物能夠直觀化，復(fù)雜的事物能夠簡(jiǎn)單化。因此，后人繼承并發(fā)揚(yáng)了畢氏學(xué)派“以形表數(shù)、以數(shù)解形、數(shù)形結(jié)合”的思想，用具有均勻間隔的“點(diǎn)（Dots）”代替卵石，通過(guò)構(gòu)造點(diǎn)的規(guī)則幾何排列來(lái)表示數(shù)，進(jìn)而形成“點(diǎn)陣（Arrays）”的概念。

從“形數(shù)”到“點(diǎn)陣”的演進(jìn)過(guò)程，充分體現(xiàn)出直觀圖式對(duì)理解抽象概念的重要性，也揭示了同一集合對(duì)象間或不同集合對(duì)象間的關(guān)聯(lián)性。［5］同一集合內(nèi)，對(duì)象間“存在聯(lián)系”是因?yàn)樗鼈兙哂小跋嗨浦帯薄１热?，若將“形?shù)”視為集合，三角形數(shù)、正方形數(shù)、五邊形數(shù)等對(duì)象均因“能夠形成規(guī)則幾何圖形”而具有了共性。正是這樣的共性為抽象算式之間的聯(lián)系的形象化提供了可能。

二、算式的形象化

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中指出，學(xué)生要在具體情境中了解四則運(yùn)算的意義，感悟運(yùn)算之間的關(guān)系。［6］若想感悟運(yùn)算間的關(guān)系，就要找到算式與算式間的異同，其中最直觀的方式就是“看到”變與不變，為此就需要“以形表數(shù)”，將算式中蘊(yùn)含的思維過(guò)程可視化［7］。

點(diǎn)陣可以提供有關(guān)加減法、乘除法等運(yùn)算的具體模型，具有將抽象算式、算法可視化的功能。［8］在點(diǎn)陣中，當(dāng)一組對(duì)象可以按照某種標(biāo)準(zhǔn)模式排列而沒(méi)有剩余對(duì)象時(shí)，便能夠?qū)⒛硞€(gè)數(shù)字或運(yùn)算與一組對(duì)象關(guān)聯(lián)起來(lái)。［9］比如，當(dāng)以“點(diǎn)”為單位時(shí)，圖2所示的點(diǎn)陣便與數(shù)“4”存在關(guān)系。

在此基礎(chǔ)上，同一個(gè)點(diǎn)陣通過(guò)不同的劃分方式，還能夠與算式相聯(lián)系，并使得算式間的等價(jià)關(guān)系可視化。如圖3所示，對(duì)于同一點(diǎn)陣，兩種不同的劃分方式從左到右分別聯(lián)系著算式“1+3=4”與“1+2+1=4”。

在點(diǎn)陣中，除了以點(diǎn)為單位，還能以點(diǎn)集為單位，將點(diǎn)陣與乘除法相聯(lián)系。從以點(diǎn)為單位發(fā)展到排列和構(gòu)造相等的數(shù)組，并以此作為集合計(jì)數(shù)的順序，也更符合學(xué)生先學(xué)習(xí)加減法、后接觸乘除法的思維過(guò)渡順序。［10］

綜上所述，點(diǎn)陣與運(yùn)算緊密關(guān)聯(lián)，運(yùn)算賦予點(diǎn)陣以“數(shù)”的意義，點(diǎn)陣又將運(yùn)算以“形”的形式進(jìn)行展現(xiàn)。同時(shí)，點(diǎn)陣在直觀與抽象之間搭建起一座橋梁，將數(shù)與算式變?yōu)椤熬唧w”的事物，使抽象的數(shù)學(xué)對(duì)象變得可視化，因“形”的關(guān)系變得直觀。

三、算式間的關(guān)系

美國(guó)華盛頓州立大學(xué)的David Slavit認(rèn)為，“運(yùn)算”在數(shù)學(xué)課程體系中具有十分重要的意義，運(yùn)算與運(yùn)算間的關(guān)系應(yīng)成為學(xué)生學(xué)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容，并據(jù)此提出“運(yùn)算感（Operation Sense）”這一概念，用于描述學(xué)生在學(xué)習(xí)運(yùn)算時(shí)能夠獲得的一些能力。同時(shí)，不同類別的兩個(gè)運(yùn)算間還可以用其他方式進(jìn)行聯(lián)系，如乘法為重復(fù)的加法，除法為重復(fù)的減法。［11］上述認(rèn)知便屬于“運(yùn)算感”中“算式與其他算式之間關(guān)系的認(rèn)識(shí)”這一能力層級(jí)。這里的“關(guān)系”實(shí)質(zhì)是指算式間的等價(jià)關(guān)系，體現(xiàn)為不同的算式可以得到相同的結(jié)果、不同的算式可用于描述同樣的數(shù)量關(guān)系兩個(gè)方面。［12］

運(yùn)算關(guān)系的感悟，需要通過(guò)探尋運(yùn)算間的“共性”來(lái)實(shí)現(xiàn)。而“運(yùn)算”較為抽象，不易發(fā)現(xiàn)共同之處，所以需要先對(duì)同種運(yùn)算中算式間的關(guān)系進(jìn)行歸納總結(jié)，再由運(yùn)算內(nèi)部關(guān)系推及運(yùn)算間的共性。

（一） 同種運(yùn)算間的算式關(guān)系

在加（減）法運(yùn)算中，存在諸多“和”（“被減數(shù)”）相同的算式。從圖3可知，和相同的算式可以用相同點(diǎn)數(shù)的點(diǎn)陣來(lái)表示，算式間存在著“關(guān)系”。但這樣的結(jié)論并未觸及問(wèn)題的本質(zhì)，為此需進(jìn)一步思考：對(duì)于同種運(yùn)算中具有相同結(jié)果的不同算式，是什么將“它們”關(guān)聯(lián)起來(lái)的？

這里基于點(diǎn)陣的視角，通過(guò)“1+2+3=6”和“3+3=6”兩個(gè)加法算式進(jìn)行探究。若將點(diǎn)陣中每一行所代表的數(shù)看作加法算式中的一個(gè)“加數(shù)”，這兩個(gè)算式就可以分別用圖4、圖5所示的點(diǎn)陣來(lái)表示。

圖4與圖5所示點(diǎn)陣中均包含“6”個(gè)點(diǎn)，這便是“共性”。此時(shí)，若按照?qǐng)D6所示變換方法對(duì)圖4中的點(diǎn)陣進(jìn)行動(dòng)態(tài)變換，便可以得到一個(gè)每行均由三個(gè)點(diǎn)排列而成的點(diǎn)陣（如圖5）。

可見(jiàn)，在加法算式中，“和”為同一個(gè)數(shù)的算式均可以用總點(diǎn)數(shù)相同的點(diǎn)陣來(lái)表示，而加數(shù)的個(gè)數(shù)及每個(gè)加數(shù)的大小取決于點(diǎn)的排列方式。此外，從點(diǎn)陣的“表象”來(lái)看，進(jìn)行位置變換的點(diǎn)始終是“一個(gè)一個(gè)”進(jìn)行運(yùn)動(dòng)的。

同理，減法算式與減法算式之間的關(guān)系也可以用點(diǎn)陣的動(dòng)態(tài)變換來(lái)說(shuō)明。為避免歧義，將點(diǎn)陣中最下面一行所具有的點(diǎn)數(shù)視為“差”，而其余一行或多行中，每行所具有的點(diǎn)數(shù)均視為“減數(shù)”，點(diǎn)陣總點(diǎn)數(shù)則視為“被減數(shù)”。

因此在減法運(yùn)算中，“被減數(shù)”為同一個(gè)數(shù)的減法算式，可以通過(guò)對(duì)點(diǎn)陣的點(diǎn)“一個(gè)一個(gè)”地進(jìn)行位置變換，改變算式中“差”的大小，或?qū)p數(shù)的大小及個(gè)數(shù)進(jìn)行調(diào)整，使得它們變?yōu)橥环N形式。

觀察點(diǎn)陣中的加法運(yùn)算與減法運(yùn)算可知，點(diǎn)“一個(gè)一個(gè)”地進(jìn)行位置變換，既是加法運(yùn)算中所有算式的共性，也是減法運(yùn)算中所有算式的共性。位置變換方式（“一個(gè)”）則是運(yùn)算算法中“單位”的幾何體現(xiàn)。因此可以說(shuō)，在加法運(yùn)算與減法運(yùn)算中，是“相同的單位”將算式與算式聯(lián)系起來(lái)的。

在整數(shù)乘法運(yùn)算（因數(shù)×因數(shù)=積）中，因數(shù)常表達(dá)著不同的內(nèi)涵：第一個(gè)因數(shù)表達(dá)的是具體“對(duì)象（Object）”的屬性，也就是多少個(gè)“1”；第二個(gè)因數(shù)則不同，表達(dá)的是包含這種具體對(duì)象的“集合（Set）”。如乘法算式“4×5=20”，它的第一個(gè)因數(shù)“4”表示4個(gè)1；第二個(gè)因數(shù)將“4個(gè)1”視為單位“1”，表示包含5個(gè)單位“1”的集合。［13］

基于上述認(rèn)知，這里將點(diǎn)陣中一行所具有的點(diǎn)數(shù)視為“具體對(duì)象”，點(diǎn)陣的總行數(shù)視為“集合中包含具體對(duì)象的個(gè)數(shù)”，點(diǎn)陣所具有的總點(diǎn)數(shù)視為“積”。那么，乘法算式“4×5=20”就可以用圖7所示點(diǎn)陣來(lái)表示。

若以“具體對(duì)象”為單位對(duì)點(diǎn)陣進(jìn)行劃分，可以得到多種拆分方式。圖8可理解為“4×2”和“4×3”這兩個(gè)小部分構(gòu)成了“4×5”這一整體，即“4×5=4×2+4×3”。

以同樣方式進(jìn)行思考，圖9可理解為“4×1”和“4×4”這兩個(gè)小部分構(gòu)成了“4×5”這一整體，即“4×5=4×1+4×4”。

從上述兩種劃分方式可以看出，算式與算式之間具有“關(guān)系”（4×1、4×2、4×3、4×4與4×5可以共存于一個(gè)算式之中）的原因是存在共性，即它們的具體對(duì)象均為4個(gè)1，且均將“4個(gè)1”視為新的單位。

在乘法運(yùn)算中，一般是通過(guò)“具體對(duì)象×集合中具體對(duì)象的個(gè)數(shù)”得到“積”。作為乘法的逆運(yùn)算，除法則是計(jì)算“積”（除法運(yùn)算中的被除數(shù)）中包含了多少個(gè)具體對(duì)象（除法運(yùn)算中的除數(shù)），即“集合中具體對(duì)象的個(gè)數(shù)”（除法運(yùn)算中的商）是多少。若從點(diǎn)陣視角進(jìn)行解讀，點(diǎn)陣中每一行具有的點(diǎn)數(shù)應(yīng)視為“除數(shù)”，點(diǎn)陣所具有的總行數(shù)為“商”，點(diǎn)陣所具有的總點(diǎn)數(shù)為“被除數(shù)”。由此可知，除法運(yùn)算是基于單位對(duì)總點(diǎn)數(shù)相同的點(diǎn)陣進(jìn)行分解的過(guò)程，除法算式間也因有相同的“單位”而存在“關(guān)系”。

要注意的是，在除法運(yùn)算中，不能通過(guò)改變單位的大小來(lái)牽強(qiáng)地認(rèn)定兩個(gè)算式是相同的。舉個(gè)例子，雖然算式“6÷3=2”和“12÷6=2”的計(jì)算結(jié)果相同，但兩者并不能視為同一算式的不同形式。究其原因，“6÷3=2”中的單位為“3”（如圖10），而“12÷6=2”中的單位為“6”（如圖11）。

所謂計(jì)算結(jié)果“2”相同，實(shí)際上指的是“集合中包含具體對(duì)象的個(gè)數(shù)”相同，因此兩個(gè)算式間的聯(lián)系也只能定義為商相同的兩個(gè)除法算式。

從點(diǎn)陣中可以看到，在乘法運(yùn)算與除法運(yùn)算中，算式間的聯(lián)系在于它們均是基于“單位”所進(jìn)行的組合與分解。

（二） 運(yùn)算間的關(guān)系

通過(guò)對(duì)“不同的算式可以得到相同的結(jié)果”原因的分析，以及對(duì)算式間關(guān)系的探索，可知加減乘除四種運(yùn)算都是基于“單位”展開(kāi)的，這便是四種運(yùn)算之間的共性。［14］提煉出運(yùn)算間的“共性”后，便可以開(kāi)始在點(diǎn)陣的直觀圖中探尋運(yùn)算間的關(guān)系。

對(duì)于一個(gè)包含16個(gè)點(diǎn)的點(diǎn)陣，可以通過(guò)動(dòng)態(tài)變換排列為多種形式，如圖12、圖13、圖14。圖12的點(diǎn)陣可以用來(lái)表示4+4+4+4=16、16-4-4-4=4、4×4=16、16÷4=4四個(gè)算式。

若將點(diǎn)陣動(dòng)態(tài)變換為圖13的排列方式，則可以表示8+8=16、16-8=8、8×2=16、16÷8=2四個(gè)算式。

再看圖14，該點(diǎn)陣可以表示2+3+4+7=16、16-2-3-4=7這兩個(gè)算式。如果將點(diǎn)陣再次進(jìn)行動(dòng)態(tài)變換，這個(gè)包含“16”個(gè)點(diǎn)的點(diǎn)陣還能用來(lái)表示更多的算式。

在上述三種排列方式中，通過(guò)對(duì)點(diǎn)陣進(jìn)行不同解讀，可以表達(dá)出十個(gè)不同的算式，涵蓋加、減、乘、除四種運(yùn)算。雖然運(yùn)算方法不同，但它們都是基于“單位”進(jìn)行的運(yùn)算，也正由于這一共性的存在，才建立起了以單位為統(tǒng)領(lǐng)的四則運(yùn)算的整體結(jié)構(gòu)。［15］用點(diǎn)陣直觀感知算式間的關(guān)系，看似孤立的四種運(yùn)算在點(diǎn)陣的動(dòng)態(tài)變換下，從表象中剝離出了其所具有的共同內(nèi)在本質(zhì)，并融合成了一個(gè)密不可分的整體。

綜上所述，點(diǎn)陣是實(shí)現(xiàn)數(shù)形互化的有力工具，蘊(yùn)含著豐富的課程價(jià)值：首先，點(diǎn)陣為抽象知識(shí)提供視覺(jué)圖形，幫助學(xué)生在頭腦中形成實(shí)體表象，實(shí)現(xiàn)由具體到抽象的思維過(guò)渡；第二，點(diǎn)陣提供可操作的活動(dòng)空間，使得學(xué)生伴隨多樣的動(dòng)態(tài)變換、圈畫等具身活動(dòng)，實(shí)現(xiàn)思維與操作的相互作用、協(xié)調(diào)，逐步內(nèi)化并建構(gòu)整體性認(rèn)知結(jié)構(gòu)；第三，點(diǎn)陣具有美育價(jià)值，充分展現(xiàn)出數(shù)與形的和諧美及不同知識(shí)間的統(tǒng)一美，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的探索欲望。因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)對(duì)點(diǎn)陣的課程價(jià)值予以高度重視，使其成為學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)的課程資源，充分發(fā)揮其課程價(jià)值。

參考文獻(xiàn)：

［1］RIEDWEG C. Pythagoras：His Life，Teaching，and Influence［M］. Ithaca and London：Cornell University Press，2012：80-82.

［2］CARTER F. Number Symbolism and Renaissance Choreography［J］. Dance Research：The Journal of the Society for Dance Research，1992，10（1）：21-39.

［3］王幼軍，金之明.著名數(shù)學(xué)家和他的一個(gè)重大發(fā)現(xiàn)［M］.濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，1998：8-12.

［4］HERVEY M A，LITWILLER B H. Polygonal Numbers：A Study of Patterns［J］. The Arithmetic Teacher，1970，17（1）：33-38.

［5］ALUJA J G. Elements for a Theory of Decision in Uncertainty［M］. Dordrecht：Kluwer Academic Publishers，1999：33-124.

［6］中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：18.

［7］BENNETT A B. Visual Thinking and Number Relationships［J］. The Mathematics Teacher，1988，81（4）：267-272.

［8］BRUNI J V，SILVERMAN H J. Lets Do It?。篢he Multiplication Facts：Once More，with Understanding［J］. The Arithmetic Teacher，1976，23（6）：402-409.

［9］VEST F R. A Catalog of Models for the Operations of Addition and Subtraction of Whole Numbers ［J］. Educational Studies in Mathematics，1969，2（1）：59-68.

［10］RAWLINS D，HERNANDEZ N，MILLER W. Cooking Up Arrays［J］. Teaching Children Mathematics，2018，25（3）：144-150.

［11］SLAVIT D. The Role of Operation Sense in Transitions from Arithmetic to Algebraic Thought［J］. Educational Studies in Mathematics，1999，37（3）：251-274.

［12］郜舒竹.從小數(shù)除法看“運(yùn)算感”［J］.教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2019（1/2）：4-7.

［13］郜舒竹.看“一”的眼光［J］.教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2020（11）：4-8.

［14］鞏子坤，張希，金晶，等.程序性知識(shí)課程設(shè)計(jì)的新視角：算理貫通，算法統(tǒng)整［J］.課程·教材·教法，2021，41（6）：89-95.

［15］武維民，米學(xué)峰.在深度理解中促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的融會(huì)貫通：以加法為核心構(gòu)建加、減、乘、除運(yùn)算的整體結(jié)構(gòu)［J］.小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2021（9）：71-72.

（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院）