張愛友

[摘? 要] 活動是學生數(shù)學知識建構(gòu)的主要方式，也是學生數(shù)學智慧生成的源泉. 借助于數(shù)學化的活動，不僅能讓學生獲得相關(guān)的知識，更能培育學生的數(shù)學思想方法. 以數(shù)學活動為載體培育學生的數(shù)學思想，可以鏈接生活，可以借力技術(shù)，可以優(yōu)化導圖，可以催生反思. 教師要深入地發(fā)掘活動因子，優(yōu)化組織好數(shù)學活動，讓數(shù)學活動能夠個性化地建構(gòu)學生的“數(shù)學課程”.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學;數(shù)學活動;數(shù)學思想;良好載體

活動是學生數(shù)學學習的重要載體、媒介，是學生數(shù)學智慧生成的根源[1]. 活動也是學生數(shù)學經(jīng)驗建構(gòu)的主要方式，是學生感悟數(shù)學思想的重要載體. 在初中數(shù)學教學中，教師要設計、研發(fā)高質(zhì)量的活動，以便借助于活動，引導學生深度思考、探究，讓學生在活動中形成“數(shù)學的眼光”和“數(shù)學的大腦”. 當下的數(shù)學活動，一個最為突出的問題是“數(shù)學味”的缺失. 如何讓數(shù)學活動充滿“數(shù)學味”？筆者認為，一個重要的方法就是要讓數(shù)學活動能體現(xiàn)相關(guān)的數(shù)學思想，讓數(shù)學活動真正成為培育學生數(shù)學思想的載體. 高質(zhì)量的、蘊含數(shù)學思想方法的數(shù)學活動，往往同時能夠成為學生的生命實踐的確證與表征，成為學生的本質(zhì)力量的全面解放與舒展.

鏈接“生活”，讓學生實踐數(shù)學思想

數(shù)學活動是一種學習過程. 一般來說，學生在數(shù)學活動中需要經(jīng)歷兩個過程：其一是將生活化的內(nèi)容提煉、抽象、概括成數(shù)學的內(nèi)容，這就是“橫向數(shù)學化”;其二是在數(shù)學世界中對數(shù)學進行再塑造、再提煉、再建構(gòu)，這就是“縱向數(shù)學化”. 鏈接學生的生活，就是要讓學生充分經(jīng)歷“數(shù)學化”的過程（包括橫向數(shù)學化和縱向數(shù)學化）. 只有經(jīng)歷了“數(shù)學化”，才能讓學生感受、體驗到數(shù)學知識中所蘊含著的數(shù)學思想，尤其是數(shù)學化、符號化、公理化、形式化的思想.

比如教學“銳角三角函數(shù)”這一部分內(nèi)容之后，我們引導學生開展了一次“測量物體的高度”的數(shù)學活動. 活動中，我們首先創(chuàng)設了問題情境，讓學生從現(xiàn)實性的問題情境中提出相關(guān)的數(shù)學問題：如何測量旗桿的高度？如何測量大樹的高度？如何測量教學樓的高度？在此基礎上，我們引導學生提出相關(guān)的測量方法，并對相關(guān)的方法去粗取精、去偽存真，得到大家認可的“銳角三角函數(shù)法”. 在此基礎上，我們引導學生成立活動小組，準備測量器械，并且在測量中展開研討，形成科學的實驗活動方案. 在這個過程中，教師要及時跟進、適度介入，對學生的活動進行有效指導，但是不能越俎代庖. 教師要及時發(fā)現(xiàn)學生活動中存在的相關(guān)問題，并進行有針對性的指導. 由于采用分組活動，教師還可以引導學生展開小組之間的互動、交流、展示、匯報，對相關(guān)的方法的優(yōu)劣進行研討，對之做出積極合理的評價. 通過評價，不斷地優(yōu)化學生的數(shù)學活動，幫助學生積累相關(guān)的數(shù)學基本活動經(jīng)驗. 在活動中，學生充分地體驗到將一個生活中現(xiàn)實性的問題數(shù)學化的方法，也體驗到一種對應、轉(zhuǎn)化的普遍性數(shù)學思想. 這樣一種數(shù)學化的方法是學生受益終身的數(shù)學思想方法，它能讓學生在生活中“用數(shù)學的眼光來打量事物”、“用數(shù)學的大腦來考量事物”.

數(shù)學活動中所獲得的數(shù)學知識、技能等會融入學生的認知結(jié)構(gòu)、技能結(jié)構(gòu)之中，而數(shù)學思想方法則會沉積到學生的心理結(jié)構(gòu)之中，成為一只“看不見的手”，有效地促進學生的數(shù)學學習、數(shù)學應用等. 這種促進作用是無形的、自然的. 正是在這個意義上，荷蘭著名數(shù)學教育家弗賴登塔爾說，“與其說學生是學習數(shù)學，毋寧說學生是學習數(shù)學化;與其說學生是學習公理，毋寧說學生是學習公理化;與其說學生是學習形式，毋寧說學生是學習形式化;與其說學生是學習符號，毋寧說學生是學習符號化”[2].

借力“技術(shù)”，讓學生認識數(shù)學思想

技術(shù)是學生數(shù)學活動的現(xiàn)代化的支撐. 傳統(tǒng)的數(shù)學活動，往往依靠簡單的、質(zhì)樸的數(shù)學學具. 在“互聯(lián)網(wǎng)”“大數(shù)據(jù)”“新媒體”“新技術(shù)”的時代背景下，教師在引導學生進行數(shù)學活動的時候，可以借助于這些“網(wǎng)絡”“技術(shù)”“媒體”. 相比較于傳統(tǒng)的媒體，新媒體、新技術(shù)引導下的數(shù)學學習更生動、更形象、更直觀. 新技術(shù)、新媒體，讓學生的數(shù)學活動更豐富、更有趣、更靈動.

比如教學“四點共圓的條件”時，教師首先可以引導學生展開合理性的猜想，如“圓的內(nèi)接四邊形對角互補”;如“對角互補的四邊形的四個頂點共圓”. 在此基礎上，教師可以引導學生對相關(guān)的特殊的四邊形進行探究，如“平行四邊形的四點共圓”“梯形的四點共圓”等. 而在探究“平行四邊形的四點共圓”這一猜想時，還可以引導學生從“邊特殊的四邊形——菱形”、“角特殊的四邊形——長方形”以及“邊角都特殊的四邊形——正方形”等特殊的圖形開始. 相比較于一般性的探究，這種從“特殊”到“一般”的逐步探究，有助于啟發(fā)學生更有效地思考. 在這個過程中，教師可以引入幾何畫板等相關(guān)的軟件，對相關(guān)的猜想一一進行直觀性的實驗驗證. 在對特殊的結(jié)論進行實驗的基礎之上，教師可以引導學生對這些特殊的結(jié)論進行歸納，進而形成一種理論性的推導認識，即“將四點共圓的問題轉(zhuǎn)化為不共線的三點確定的圓與第四個頂點之間的關(guān)系，從而應用圓內(nèi)接四邊形對角互補的性質(zhì)，讓猜想從一般性的意義上獲得證明”. 通過這樣的實驗與理論交互結(jié)合的論證，從而能讓學生深刻地感受、體驗這種“從特殊到一般”的數(shù)學思想. 在這個過程中，教師要引導學生大膽地猜想，積極主動地嘗試驗證. 在這個過程中，教師要鼓勵學生質(zhì)疑，鼓勵學生積極主動地分析問題、轉(zhuǎn)化問題.

借助于現(xiàn)代化新技術(shù)引導學生開展數(shù)學活動，能提高教學活動質(zhì)量. 同時，能將學生操作的過程與思考的過程進行有機整合. 技術(shù)不僅僅是學生活動的支撐，有時候還是活動的先導. 借助于技術(shù)，學生能獲得一種“替代性的經(jīng)驗”，這種替代性的經(jīng)驗能讓學生獲得一種具身性的感受、體驗，能讓學生感悟到僅僅通過操作難以感受、體驗的數(shù)學思維. 如在上述“四點共圓的條件”的教學中，借助于技術(shù)，能讓學生的數(shù)學學習可視化，從而在學生大腦中形成一種實實在在的四點共圓的直觀表象，為學生的數(shù)學思考、數(shù)學探究打下更為堅實的基礎.

優(yōu)化“導圖”，讓學生體驗數(shù)學思想

數(shù)學活動應當是學生的一種自主性、自能性的活動. 為了提升學生的自主性、自能性，教師可以借助于相關(guān)的“導圖”，如“思維導圖”“箭頭圖”“示意圖”等，引導、啟發(fā)、點撥學生的數(shù)學活動. “導圖”猶如是學生數(shù)學活動的一個“導航儀”“方向盤”，不僅能滲透“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學思想，還能讓學生的數(shù)學活動有方向、有針對性、有實效[3].

比如教學“軸對稱圖形”這一部分內(nèi)容之后，我們出示了經(jīng)典的“將軍飲馬”問題：

【問題1】一位將軍，他每天從軍營A地出發(fā)，先到河邊飲馬，然后去河對岸的軍營B地開會，怎樣走才能讓所行駛的路線、路程最短？（不考慮河的寬度）

【問題2】一位將軍，他每天從軍營A地出發(fā)，先到河邊飲馬，然后去河同側(cè)的軍營B地開會，怎樣走才能讓所行駛的路線、路程最短？

【問題3】一位將軍，他每天從軍營A地出發(fā)，先到河邊飲馬，然后去河對岸的軍營B地開會，怎樣走才能讓所行駛的路線、路程最短？（考慮河的寬度）

在這個過程中，教師可以引導學生對現(xiàn)實的問題進行抽象（橫向數(shù)學化），然后對抽象的數(shù)學問題進行“軸對稱性”的思考. 通過引導學生畫圖操作，學生就會深刻地理解：為什么選擇這個點能讓距離和最??？為什么選擇其他的點不能讓距離和最??？在教學過程中，教師可以拉長學生的學習時空，對相關(guān)的問題進行更多的變式，從而深化學生對這部分內(nèi)容的認知. 尤其是，在問題的關(guān)鍵之處，教師要放緩教學的步伐，允許學生慢慢地揣摩、體會. 如此，才能讓學生在面對焦點性的問題時，能將思維高度集中，從而有效地突破學習難點、突出學習重點. 在這個過程中，學生能有效地積累數(shù)學基本的活動經(jīng)驗，能有效地感悟、體驗數(shù)學的思想、方法.

活動是學生形成數(shù)學思想的源泉，學生的數(shù)學思想同時也是活動的產(chǎn)物，對活動有著指導、牽引等作用. 對于學生來說，無論是外顯的操作活動還是內(nèi)隱的思維活動，都必須在一定的數(shù)學思想方法的指導下展開. 從這個視角來看，數(shù)學思想與數(shù)學活動是相輔相成、相得益彰的. 借助于相關(guān)的導圖，能讓學生在活動中不僅能形成活動經(jīng)驗，還能形成圖式經(jīng)驗.

應該怎樣走才能使路程最短？從此，這個被稱為“將軍飲馬”的問題得到廣泛流傳. 據(jù)說海倫略加思索就解決了它. 理論是活動教學的支撐性理論，著名教育心理學家維果茨基提出，在學生數(shù)學學習的過程中，有兩種不同的水平：其一是“現(xiàn)實水平”，其二是“發(fā)展水平”. “現(xiàn)實水平”和“發(fā)展水平”之間的差異就是“最近發(fā)展區(qū)”. 教學就應該著眼于學生的“最近發(fā)展區(qū)”，充分調(diào)動學生的主動性、積極性，開掘?qū)W生數(shù)學學習的創(chuàng)造性. 依據(jù)“最近發(fā)展區(qū)”理論，在設計、研發(fā)數(shù)學活動中，教師應當深刻地把握數(shù)學知識，了解學生的具體學情，從而做到精準施教、有效施教.

催生“反思”，讓學生感悟數(shù)學思想

荷蘭著名數(shù)學教育家弗賴登塔爾認為，“如果學生在數(shù)學學習中不積極主動地反思，他就不能達到較高層次的認識水平. ”可見，反思是學生數(shù)學認知從低階走向高階的必要條件. 在引導學生展開數(shù)學活動的過程中，教師也不能任由學生進行純粹的外在性的操作，不能讓學生陷入機械的、盲目的“動手做”的活動之中，而必須引導學生展開適度的反思. 通過反思，才能讓學生的思維與活動有機結(jié)合，才能讓學生的數(shù)學活動具有一定的思維含量.

反思是一種后思，是一種對“認知的認知”，反思的過程是一種對于數(shù)學活動進行檢視、審視的過程. 它能有效地培育學生的“元認知”意識，提升學生的“元認知”技能. 在初中數(shù)學教學中，教師要引導學生反思：我是怎樣發(fā)現(xiàn)問題的？我是怎樣分析問題的？我是怎樣解決問題的？教師要適時引導學生反思，讓反思貫穿學生數(shù)學活動的全過程. 通過反思，學生的數(shù)學活動能趨向一種自主、自覺的狀態(tài)，學生的數(shù)學活動變得更為清晰、更為連貫、更為確定、更為穩(wěn)固，有效地提升學生的活動品質(zhì).

比如在教學“探究紙張規(guī)格與的關(guān)系”這一部分內(nèi)容時，我們就以小組為單位，引導學生收集、觀察、整理A4紙、A3紙等之間的關(guān)系. 在引導學生發(fā)現(xiàn)并建構(gòu)了A4紙、A3紙之間的關(guān)系之后，我們呈現(xiàn)了A0、A1、A2、A3、A4、A5等A型紙的長、寬數(shù)據(jù). 由此自然引發(fā)學生的積極反思：它們的面積比是2 ∶ 1，它們的長、寬之間有沒有比例關(guān)系呢？如果有比例關(guān)系，這個比例關(guān)系是多少？由于計算比較復雜，因而學生都應用了計算器這樣的計算工具. 通過計算，學生發(fā)現(xiàn)，這些A型紙的長寬的比例關(guān)系都近似地等于. 由此，有學生富有深度地對A型紙的生產(chǎn)過程用畫圖的活動方式進行探究. 數(shù)與形的有機結(jié)合，催生了學生借助于一般性的方程求解A型紙的相關(guān)關(guān)系的想法，進而借助于計算得出科學性的結(jié)論. 在這個過程中，學生始終不斷地反思，從而不斷地引導著自我的數(shù)學活動走向深入.

著名數(shù)學教育家章建躍博士深刻地指出，要提升學生的數(shù)學思想方法，必須引導學生展開高質(zhì)量的數(shù)學活動. 活動不僅給了學生感悟、體驗數(shù)學思想方法的載體、平臺，活動更成為學生的數(shù)學思想方法有效途徑. 在初中數(shù)學教學中，教師要深入發(fā)掘教材中的活動因子，用好教材中的活動因子，組織學生開展高質(zhì)量的數(shù)學活動，借助于數(shù)學活動，學生能個性化地建構(gòu)自己的“數(shù)學課程”，讓學生在活動中感受數(shù)學思想、體驗數(shù)學思想、培養(yǎng)數(shù)學思維.

參考文獻：

[1]張奠宙，竺仕芬，林永偉. “基本數(shù)學經(jīng)驗”的界定與分類[J].數(shù)學通報，2008，47（05）：4-7.

[2]碩廣林，鄧昌濱. 育人視域下的初中“數(shù)學活動”內(nèi)涵分析[J]. 中小學數(shù)學，2021（11）：8-10.

[3]王強. 初中數(shù)學基本活動經(jīng)驗習得芻議[J]. 江蘇教育，2016（51）：37-38.