孫凱 金鵬

【摘?要】?在數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的基礎(chǔ)上開展數(shù)學(xué)建模寫作是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的有效路徑.文章從數(shù)學(xué)表達(dá)的視角闡釋數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)寫作的內(nèi)涵，分析數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)寫作的融通機(jī)理，指出數(shù)學(xué)建模寫作是將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，建立數(shù)學(xué)模型并求解和闡釋，最終形成文本性研究成果的過程.基于廣義數(shù)學(xué)模型和狹義數(shù)學(xué)模型的理解，探索數(shù)學(xué)建模寫作的實(shí)踐路徑.

【關(guān)鍵詞】?數(shù)學(xué)建模；數(shù)學(xué)寫作；數(shù)學(xué)建模寫作；數(shù)學(xué)建模能力

數(shù)學(xué)建模作為連接數(shù)學(xué)與外部世界的橋梁，在數(shù)學(xué)課程實(shí)施中應(yīng)受到廣泛關(guān)注[1].數(shù)學(xué)教師作為基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程的實(shí)施者，應(yīng)肩負(fù)起培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的重任，依托數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，發(fā)掘數(shù)學(xué)建模育人功能，開發(fā)數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，開展數(shù)學(xué)建模寫作，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力.

1?提出問題

從當(dāng)前初中學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)路徑看，在數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中，教師有引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模活動(dòng)過程、感悟模型思想的意識(shí)，但這種意識(shí)僅僅停留于“用××解決問題”的教學(xué)中.通過學(xué)生數(shù)學(xué)建模認(rèn)知問卷調(diào)查和數(shù)學(xué)建模能力測(cè)評(píng)發(fā)現(xiàn)，這樣的培養(yǎng)路徑對(duì)提升初中生數(shù)學(xué)建模能力成效甚微.

導(dǎo)致效果不佳的原因指向兩個(gè)方面：一方面，待解決的實(shí)際問題往往是單一且封閉的，學(xué)生只需將學(xué)習(xí)過的標(biāo)準(zhǔn)模型代入或建立簡(jiǎn)單的標(biāo)準(zhǔn)模型即可解決問題，從數(shù)學(xué)建模能力水平劃分看，這種建模側(cè)重于數(shù)學(xué)建模能力的“再現(xiàn)”水平，缺乏“聯(lián)系”“反思”等高水平數(shù)學(xué)建模思維參與，致使數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)效果一般；另一方面，學(xué)生在解決實(shí)際問題的過程中，只注重問題的分析和求解，而忽視對(duì)問題解決過程的反思和表達(dá)，從認(rèn)知心理學(xué)視角看，學(xué)生對(duì)認(rèn)知過程缺乏有效的反思、梳理和輸出，這種深刻反思及有條理和系統(tǒng)的輸出，屬于元認(rèn)知思維活動(dòng)范疇，是一種高階思維活動(dòng).將反思的過程以文字、圖表等形式表達(dá)出來，是一種更為專業(yè)的表達(dá)——數(shù)學(xué)寫作.簡(jiǎn)言之，學(xué)生只注重解決問題，而忽視問題解決后的反思、歸納、提煉和專業(yè)表達(dá)是當(dāng)前數(shù)學(xué)建模教學(xué)存在的主要問題之一.

2?數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)寫作

數(shù)學(xué)建模作為連接現(xiàn)實(shí)世界與數(shù)學(xué)世界的橋梁，在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)上具有重要意義.“數(shù)學(xué)語言表達(dá)”簡(jiǎn)稱“數(shù)學(xué)表達(dá)”，具體包括“數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)交流”等要素，其中數(shù)學(xué)交流的書面形式稱為數(shù)學(xué)寫作.

2.1?數(shù)學(xué)建模：內(nèi)涵、過程和價(jià)值

一般情況下，數(shù)學(xué)建模是指運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法解決實(shí)際問題的一類綜合實(shí)踐活動(dòng)[2]，包括對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象、用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法構(gòu)建模型解決問題等環(huán)節(jié).數(shù)學(xué)建模的功能在于建構(gòu)數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，價(jià)值體現(xiàn)在三個(gè)方面：滿足學(xué)生適應(yīng)社會(huì)所需求的實(shí)踐能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力；學(xué)生思維發(fā)展需要抽象、嚴(yán)謹(jǐn)、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)；數(shù)學(xué)應(yīng)用直接創(chuàng)造社會(huì)價(jià)值.

從數(shù)學(xué)建模循環(huán)過程的階段性看，數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)一般分為四類：一是基于現(xiàn)實(shí)背景的數(shù)學(xué)研究對(duì)象的抽象過程；二是指向?qū)嶋H問題解決的數(shù)學(xué)化過程，包括數(shù)學(xué)模型建立（橫向數(shù)學(xué)化）和數(shù)學(xué)模型求解（縱向數(shù)學(xué)化）；三是用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的過程，包括解決數(shù)學(xué)外部和數(shù)學(xué)內(nèi)部問題；四是聚焦實(shí)際問題解決的主題類綜合實(shí)踐活動(dòng).

從數(shù)學(xué)表達(dá)的視角看，學(xué)生在四類數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)中，經(jīng)歷了“發(fā)現(xiàn)和提出問題，分析問題，簡(jiǎn)化、假設(shè)、抽象出數(shù)學(xué)問題，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，確定參數(shù)、求解驗(yàn)證并解決問題”[3]的學(xué)習(xí)活動(dòng)過程，數(shù)學(xué)建模能力得到有效培養(yǎng).但在活動(dòng)中，發(fā)現(xiàn)有很多學(xué)生不會(huì)表達(dá)或不善表達(dá)問題解決的過程及結(jié)論，致使很多有價(jià)值的資源未能得以提煉和表達(dá)而遺憾流失.

2.2?數(shù)學(xué)寫作：內(nèi)涵、類型和功能

數(shù)學(xué)寫作是指學(xué)生將應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的過程記錄、反思和提煉而形成的文本性研究成果.與口頭表達(dá)相比，數(shù)學(xué)寫作是一種規(guī)范、嚴(yán)謹(jǐn)、系統(tǒng)的書面表達(dá)形式，是完善學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要手段.

從認(rèn)知學(xué)習(xí)理論視角看，如果把數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法的學(xué)習(xí)看成信息輸入過程，那么數(shù)學(xué)寫作就是對(duì)原有信息梳理、加工的基礎(chǔ)上，進(jìn)行再加工、再輸出的過程，屬于元認(rèn)知思維活動(dòng)范疇.數(shù)學(xué)寫作一般包括閱讀感悟類、數(shù)學(xué)探究類、解題研究類、數(shù)學(xué)建模類等，其中后三類都指向問題的解決.數(shù)學(xué)探究類和解題研究類的數(shù)學(xué)寫作側(cè)重于數(shù)學(xué)內(nèi)部問題解決，數(shù)學(xué)建模類側(cè)重于數(shù)學(xué)外部問題解決.一般情況下，一切有關(guān)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的活動(dòng)都可以作為數(shù)學(xué)寫作的對(duì)象，無論是數(shù)學(xué)外部世界的實(shí)際問題，還是數(shù)學(xué)內(nèi)部世界的數(shù)學(xué)問題，都需要建立適切的數(shù)學(xué)模型并求解.從某種程度上說，指向問題解決的數(shù)學(xué)寫作本質(zhì)上也是一種數(shù)學(xué)建?；顒?dòng).

數(shù)學(xué)寫作作為數(shù)學(xué)交流表達(dá)的重要形式，主要體現(xiàn)的是學(xué)生研究了什么問題（明確問題）、是怎樣研究的（分析問題、建立和改進(jìn)模型、求解模型等）、研究的結(jié)論如何（驗(yàn)證和解釋問題）等方面.從數(shù)學(xué)寫作的結(jié)構(gòu)看，其與數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)過程基本一致，基本涵蓋了寫什么、為什么寫、怎么寫、結(jié)論是什么（價(jià)值性、創(chuàng)造性）等數(shù)學(xué)寫作的基本結(jié)構(gòu)要素.

2.3?數(shù)學(xué)建模寫作：融通機(jī)理

數(shù)學(xué)建模寫作是數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)寫作的簡(jiǎn)稱，是指學(xué)生對(duì)思考、觀察、研究的問題進(jìn)行書面表達(dá)的學(xué)習(xí)形式[4].數(shù)學(xué)建模寫作是在運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法解決實(shí)際問題的基礎(chǔ)上聚焦數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，突顯建立模型解決問題過程而進(jìn)行的寫作類型，如圖1.數(shù)學(xué)建模寫作符合數(shù)學(xué)寫作的一般特征，屬于數(shù)學(xué)寫作的重要組成部分.圖1

2.3.1?聚焦素養(yǎng)，目標(biāo)一致

數(shù)學(xué)建模以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)為核心，在建?；顒?dòng)過程中培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理等核心素養(yǎng)；數(shù)學(xué)寫作以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)交流素養(yǎng)為核心，兼顧發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)表達(dá)和數(shù)學(xué)推理等核心素養(yǎng).數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)寫作都屬于數(shù)學(xué)語言表達(dá)范疇，是兩種相似的表達(dá)形式，前者側(cè)重用數(shù)學(xué)語言將實(shí)際問題符號(hào)化、系統(tǒng)化、模型化表達(dá)，獲得數(shù)學(xué)模型并求解，后者側(cè)重用書面表達(dá)的方式將分析和解決問題的過程記錄下來，以實(shí)現(xiàn)交流研討的目的.2.3.2?交匯融通，互為促進(jìn)

數(shù)學(xué)寫作屬于數(shù)學(xué)交流范疇.在國(guó)外，有學(xué)者將其表示為“WTL（Wrting to learn）”，即通過寫作來學(xué)習(xí).數(shù)學(xué)建模能改變學(xué)生學(xué)習(xí)方式，表現(xiàn)為通過建模解決問題來促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、跨學(xué)科學(xué)習(xí).二者在改變學(xué)習(xí)方式，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)方面高度一致.

數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)寫作的重要基礎(chǔ)，為數(shù)學(xué)寫作提供豐富的、有意義的寫作素材.建立數(shù)學(xué)模型解決問題的過程包括問題的提出和發(fā)現(xiàn)、問題的分析和解決，其核心內(nèi)容是“你是怎樣想的和怎樣做的”.數(shù)學(xué)寫作是將“做數(shù)學(xué)”的過程通過“說數(shù)學(xué)”的方式表達(dá)出來，將要表達(dá)的內(nèi)容以書面形式規(guī)范、嚴(yán)謹(jǐn)、學(xué)術(shù)地表達(dá)出來.數(shù)學(xué)寫作是對(duì)數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的記錄、反思和提煉，是比數(shù)學(xué)建模活動(dòng)更規(guī)范、系統(tǒng)的表現(xiàn)形式.通過數(shù)學(xué)寫作傳播數(shù)學(xué)建模活動(dòng)成果，便于與其他同學(xué)分享交流、共同提高.因此，數(shù)學(xué)建模寫作是將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，建立數(shù)學(xué)模型，求解模型、驗(yàn)證模型、修正模型，獲得結(jié)果并解釋實(shí)際問題，形成文本性研究成果的過程[5].

3?數(shù)學(xué)建模寫作的實(shí)踐路徑

從實(shí)際問題中建立數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)建模的核心環(huán)節(jié)，也是數(shù)學(xué)建模寫作的關(guān)鍵環(huán)節(jié).在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，數(shù)學(xué)模型分為廣義數(shù)學(xué)模型和狹義數(shù)學(xué)模型兩類.廣義數(shù)學(xué)模型是指一切數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)理論體系、各種數(shù)學(xué)公式、各種方程式以及由公式系列構(gòu)成的算法系統(tǒng)等[6]；狹義數(shù)學(xué)模型是指只有那些反映特定問題的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)才稱為數(shù)學(xué)模型[7].根據(jù)數(shù)學(xué)建模寫作中使用數(shù)學(xué)模型的屬性和特征，我們將數(shù)學(xué)建模寫作分為廣義的數(shù)學(xué)建模寫作和狹義的數(shù)學(xué)建模寫作兩類，二者在寫作結(jié)構(gòu)上有明顯的區(qū)別，如圖2.圖2

3.1?廣義的數(shù)學(xué)建模寫作

廣義的數(shù)學(xué)建模寫作是指學(xué)生根據(jù)數(shù)學(xué)概念、公式、定理等廣義數(shù)學(xué)模型知識(shí)解決問題而進(jìn)行的寫作.

3.1.1?數(shù)學(xué)概念模型的應(yīng)用

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的基本單元，數(shù)學(xué)概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，其成效直接影響到學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的效果[8].學(xué)生在理解數(shù)學(xué)概念內(nèi)涵和外延的基礎(chǔ)上，應(yīng)用概念求解問題，將有價(jià)值的思考提煉和表達(dá)出來，從而形成數(shù)學(xué)建模寫作作品.

案例1?無用的“增根”.

在蘇科版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)第10章“分式方程”的學(xué)習(xí)中，關(guān)于“分式方程的增根”的概念，教材上給出概念的描述性定義，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下對(duì)分式方程的增根有了初步的認(rèn)識(shí)，但對(duì)于增根產(chǎn)生的根本原因不甚了解.

課后，學(xué)生對(duì)此問題進(jìn)行深入的思考和探索，發(fā)現(xiàn)增根的產(chǎn)生是因?yàn)槿シ帜笗r(shí)乘了一個(gè)值為零的公分母，由此根據(jù)“分式方程的增根”概念解決一類“含參”分式方程的求解問題，并嘗試探索了“無解分式方程”與增根的關(guān)系，形成“無用的‘增根”一文，發(fā)表于《時(shí)代學(xué)習(xí)報(bào)》（數(shù)學(xué)周刊八年級(jí)版）2019年第40期.

3.1.2?數(shù)學(xué)方法模型的構(gòu)建

數(shù)學(xué)方法模型主要是指那些用于求解數(shù)學(xué)模型的一類算法系統(tǒng)，常見的數(shù)學(xué)方法模型包括數(shù)學(xué)公式、法則、定理等.從數(shù)學(xué)建模過程看，建立數(shù)學(xué)方法模型是求解數(shù)學(xué)模型的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，目的是從數(shù)學(xué)模型中獲得數(shù)學(xué)結(jié)果，從而解決數(shù)學(xué)內(nèi)部的問題.

案例2?一道代數(shù)式求值問題的五種解法.

在蘇科版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)第3章“代數(shù)式”的學(xué)習(xí)中，一道代數(shù)式求值問題的錯(cuò)誤率特別高，激發(fā)了學(xué)生探究的興趣.題目為“若a+b=3，則a2+ab+3b=.”學(xué)生先分析了問題的結(jié)構(gòu)特征，指出找到已知條件與未知代數(shù)式之間的關(guān)系是求解的關(guān)鍵，并從結(jié)構(gòu)特征“a+b”入手，構(gòu)建“代入法”模型求代數(shù)式值的多種解法，進(jìn)一步構(gòu)造“長(zhǎng)方形”輔助分析問題，從“形”的視角闡釋代入法模型的數(shù)學(xué)本質(zhì).學(xué)生將建立模型求解問題的過程梳理、提煉和表達(dá)，形成“一道代數(shù)式求值問題的五種解法”[9]一文發(fā)表于《中學(xué)生數(shù)學(xué)》2021年第1期.

3.1.3?數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)模型的探究

數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)模型是指數(shù)學(xué)問題中蘊(yùn)含的穩(wěn)定的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).學(xué)生在求解數(shù)學(xué)問題的過程中，建立數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)模型解決問題，進(jìn)一步探究并揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，從而形成“創(chuàng)新性”的研究成果.

案例3?奇妙的“數(shù)學(xué)模型”.

在蘇科版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)第6章“一次函數(shù)”的學(xué)習(xí)中，學(xué)生學(xué)習(xí)了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)表達(dá)式，在求解一道習(xí)題時(shí)，出現(xiàn)了奇妙的一幕.

題目：已知y=y2－y1，其中y1與x成正比例，y2與x+2成正比例.當(dāng)x=－1時(shí)，y=2；當(dāng)x=2時(shí)，y=10.

（1）求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；

（2）當(dāng)x取何值時(shí)，y的值為30？

在解決第（1）問時(shí)，有學(xué)生直接設(shè)y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b，然后運(yùn)用待定系數(shù)法，把“x=－1、y=2”“x=2、y=10”分別代入“y=kx+b”，從而求得函數(shù)表達(dá)式.事實(shí)上，這種解法是不規(guī)范的，在解題時(shí)沒有使用到題目給出的條件“已知y=y2－y1，其中y1與x成正比例，y2與x+2成正比例”，然而結(jié)果卻是正確的，這激起了學(xué)生的探究熱情.學(xué)生在課后進(jìn)行了深入探究，通過計(jì)算、推理、建模揭示了奇妙現(xiàn)象背后蘊(yùn)藏的“真理”，從而撰寫了“奇妙的‘?dāng)?shù)學(xué)模型”[10]一文發(fā)表于《中學(xué)生數(shù)學(xué)》2021年第7期.

3.2?狹義的數(shù)學(xué)建模寫作

數(shù)學(xué)建模主要聚焦現(xiàn)實(shí)世界中實(shí)際問題的分析和解決.狹義的數(shù)學(xué)建模寫作是以解決實(shí)際問題為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)寫作類型，所解決的實(shí)際問題是真實(shí)的、原生態(tài)的、雜亂無序的，甚至有時(shí)連要解決的問題都不明確.狹義的數(shù)學(xué)建模寫作是在學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的基礎(chǔ)上，將問題發(fā)現(xiàn)、提出、分析、建立模型并求解的過程進(jìn)行學(xué)術(shù)化表達(dá)的活動(dòng)過程.這種建模寫作活動(dòng)過程有利于培養(yǎng)學(xué)生的模型觀念、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新能力.數(shù)學(xué)建模寫作的文本成果是學(xué)生實(shí)現(xiàn)有意義數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要體現(xiàn)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力和數(shù)學(xué)表達(dá)能力具有重要意義.

案例4?出租車收費(fèi)問題.

在蘇科版數(shù)學(xué)八年級(jí)第6章“一次函數(shù)”學(xué)習(xí)結(jié)束后，開展以“出租車收費(fèi)或停車場(chǎng)收費(fèi)”為主題的綜合實(shí)踐活動(dòng).由學(xué)生自主完成調(diào)查研究，提出有意義的問題，建立模型并求解問題.整個(gè)活動(dòng)過程一般包括：?jiǎn)栴}的提出、問題的分析、簡(jiǎn)化和假設(shè)、建立模型、求解模型、模型的分析與優(yōu)化、解釋與評(píng)價(jià)、撰寫研究報(bào)告等.

學(xué)生在研究出租車收費(fèi)問題時(shí)，從現(xiàn)實(shí)生活中選取問題背景，提出兩個(gè)有意義的問題并解決.具體過程如表1.

4?結(jié)束語

開展數(shù)學(xué)建模寫作，能有效驅(qū)使學(xué)生自主參與數(shù)學(xué)建?；顒?dòng).數(shù)學(xué)寫作作為學(xué)生數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的研究成果，彰顯了數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的應(yīng)用性、過程性、價(jià)值性.研究成果在學(xué)生間的傳播、分享和交流，是學(xué)生實(shí)現(xiàn)有意義數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要體現(xiàn)，也是數(shù)學(xué)教育的應(yīng)有之義.開展數(shù)學(xué)建模寫作是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力和數(shù)學(xué)表達(dá)能力的重要路徑，一線數(shù)學(xué)教師應(yīng)予以重視，在數(shù)學(xué)教學(xué)中積極踐行，指導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)研究之樂、感悟數(shù)學(xué)研究之用、收獲數(shù)學(xué)研究之果.

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作者簡(jiǎn)介?孫凱（1982—），男，江蘇徐州人，中學(xué)高級(jí)教師;主要從事初中數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究.

金鵬（1978—），男，吉林吉林人，中學(xué)高級(jí)教師;主要從事高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究.

基金項(xiàng)目?江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題“初中生數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)與評(píng)價(jià)的實(shí)踐研究”（B-b/2020/02/104）;江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究第十三期課題“核心素養(yǎng)培育下初中生數(shù)學(xué)表達(dá)能力提升的實(shí)踐研究”（2019JK13-L401）.