丁崇芳 潘敬貞

[摘 ?要] 三角形中的最值問題是高中數(shù)學(xué)的核心問題，求解此類問題對數(shù)學(xué)綜合能力要求比較高，求解的關(guān)鍵是恰當(dāng)選擇變量轉(zhuǎn)化問題. 求解此類問題主要考查數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，考查數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法. 文章以2022年全國甲卷理數(shù)第16題和2022年新高考全國Ⅰ卷第18題為例，從不同視角，選擇不同變量，對問題進(jìn)行變形，談如何恰當(dāng)選擇變量方能優(yōu)化解題過程，提高解題效率.

[關(guān)鍵詞] 解三角形;最值問題;選擇變量;優(yōu)化解題過程;解題效率

三角形中的最值問題是高中數(shù)學(xué)的核心問題，也是高考考查的熱點和難點問題.從必備知識層面來看，此類問題突出考查正余弦定理、三角形面積公式、三角公式、三角函數(shù)性質(zhì)、基本不等式、平面幾何等知識;從關(guān)鍵能力層面來看，綜合考查推理論證能力、運算求解能力、數(shù)學(xué)建模能力以及創(chuàng)新意識，同時又滲透了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程等重要數(shù)學(xué)思想方法. 三角形中最值問題的求解思路較多，其本質(zhì)可以追溯到函數(shù)思想，即選擇合適的變量，構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，將三角形中的最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題. 本文以2022年全國甲卷理數(shù)第16題和2022年新高考全國Ⅰ卷第18題為例，談如何恰當(dāng)選擇變量方能優(yōu)化解題過程，提高解題效率. 僅供參考.

試題1 （2022年全國甲卷理數(shù)第16題）已知△ABC中，點D在邊BC上，∠ADB=120°，AD=2，CD=2BD，當(dāng)取得最小值時，BD=______.

這是一道“爪”形三角形的最值問題，“爪”形三角形元素比較多，但元素間也有很強(qiáng)的關(guān)聯(lián)性，因此該問題具有一定的綜合性與復(fù)雜性，作為填空題的壓軸題是非常合適的，試題具有很好的區(qū)分度和信度.

思路1 直接選擇所求的BD的長為變量構(gòu)建方程.

如圖1所示，設(shè)BD=x（x>0），則CD=2x. 在△ADB中，BD=x，AD=2，∠ADB=120°，由余弦定理可得AB2=AD2+BD2-2BD·AD·cos∠ADB，即AB2=x2+4+2x. 同理，在△ADC中，由余弦定理可得AC2=4x2+4-4x. 所以===4-12.

因為x+1+≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x+1=，即x=-1>0時等號成立，所以=4-12≥4-2，當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時等號成立.

綜上所述，當(dāng)取得最小值時，BD=-1.

評注 思路1直接選擇所求的BD的長為變量（設(shè)BD=x）構(gòu)建方程，在△ADB和△ADC中利用余弦定理，用x分別表示AB2和AC2，構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，求其最小值. 思路1的求解思路清晰，過程簡潔，是學(xué)生容易想到的思路，也是此類問題的通性通法.

思路2 構(gòu)建直角三角形，選擇直角邊為變量.

如圖2所示，過A點作BC的垂線，垂足為O.

在Rt△AOD中，AD=2，∠ADO=60°，則OA=，OD=1. 設(shè)OB=x（x>1），則BD=x-1，CD=2（x-1）>OD=1，OC=2x-3

x>

.

在Rt△AOB中，AB2=OB2+OA2=x2+3;同理，在Rt△AOC中，AC2=OC2+OA2=（2x-3）2+3=4x2-12x+12.所以==4-12≥4-2，當(dāng)且僅當(dāng)x=（x>）時等號成立.

綜上所述，當(dāng)取得最小值時，BD=-1.

評注 思路2通過作輔助線構(gòu)建Rt△AOD，Rt△AOB，Rt△AOC，并以直角邊OB的長為變量（設(shè)OB=x），在Rt△AOB和Rt△AOC中利用勾股定理，用x分別表示AB2和AC2，構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，求其最小值. 思路2更加巧妙，過程更加簡潔，效率更高. 但作輔助線構(gòu)建直角三角形是關(guān)鍵，由于種種原因，學(xué)生難以想到.

思路3 選擇角為變量.

如圖3所示，在△ADB中，由正弦定理得=，且∠ADB=. 所以BD====-1;同理，CD====+1.

由CD=2BD得=-=. 兩邊平方后可得=

2，即==-1，所以=.

在△ABC中，由正弦定理可得==4-2·sin2B. 因為B∈

0，

，所以2B∈

0，

，sin2B∈（0，1]，所以==4-2·sin2B≥4-2，當(dāng)且僅當(dāng)2B=，即B=時等號成立，此時BD=-1=-1.

綜上所述，當(dāng)取得最小值時，BD=-1.

評注 在△ADB和△ADC中，先利用正弦定理，用∠B和∠C分別表示BD和CD，再用CD=2BD，轉(zhuǎn)化為∠B與∠C之間的關(guān)系，即將多變量轉(zhuǎn)化為單變量，然后在△ABC中用正弦定理構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，此函數(shù)是關(guān)于∠B的三角函數(shù)，最后用三角函數(shù)的性質(zhì)求的最小值.

想把邊之比轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值，這種想法很自然，但求解過程顯然復(fù)雜很多，需要更多的時間，耗費更多的精力，某種程度上來說，解題效率更低，在考場上該思路不是最佳選擇.

試題2 （2022年新高考全國Ⅰ卷第18題）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知=.（1）略;（2）求的最小值.

這道試題以三角方程為條件，告知兩個角的等量關(guān)系，求三角形兩邊的平方和與第三邊的平方之比. 該題有較高的綜合性，在變形條件的過程中需要兩倍角公式、降冪公式、和角公式、誘導(dǎo)公式等多個基本知識.轉(zhuǎn)化問題的靈活性較強(qiáng)，思路也較多，但每一個視角每一種思路都不容易，都需要較高的素養(yǎng)水平.

先將題目條件變形如下：因為=，所以=，即cosBcosA=sinB+sinA·sinB，所以cosBcosA-sinAsinB=sinB，即cos（A+B）=sinB. 因為A+B=π-C，所以cos（A+B）=cos（π-C）=-cosC，所以-cosC=sinB（※）.

思路1 選擇∠B為變量.

在△ABC中，先利用正弦定理將邊的問題轉(zhuǎn)化為角的問題，此時目標(biāo)函數(shù)有多個變量，然后借助內(nèi)角和公式以及（※）式將多變量轉(zhuǎn)化為單變量，構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，最后用基本不等式求的最小值.

在△ABC中，因為-cosC=sinB>0，所以cosC<0，所以C∈

，π

，A，B∈

0，

，所以sinC=cosB.

因為A+B+C=π，所以sinA=sin（B+C）=sinBcosC+sinCcosB=-sin2B+cos2B=2cos2B-1.

在△ABC中，由正弦定理可得==，所以=4cos2B+-5≥4-5，當(dāng)且僅當(dāng)cos2B=

0<B<

時等號成立.

綜上所述，的最小值為4-5.

評注 此思路是當(dāng)年高考不少考生都能想到的求解思路，但由于需要調(diào)用的知識較多，推理過程也比較繁雜，很多考生沒有完整解答.

思路2 選擇∠CDA為變量.

注意到C=B+，所以過點C作CD⊥AC，垂足為C，交AB于點D，則∠CDA=-A=2B=2C-π，因此可以選擇∠CDA為變量，構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，求的最小值.

如圖4所示，令∠CDA=θ，A=-θ，B=，C=+，則sin2A=cos2θ，sin2B=， sin2C=cos2=.

在△ABC中，由正弦定理可得===2（cosθ+1）+-5≥4-5，當(dāng)且僅當(dāng)cosθ=-1

0<θ<

時等號成立.

綜上所述，的最小值為4-5.

評注 思路2的求解過程比思路1簡潔很多，解題效率有所提高，但發(fā)現(xiàn)C=B+是關(guān)鍵.

思路3 以邊長的比值為自變量.

利用余弦定理將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系后消元，將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個變量的齊次式，然后換元轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，用基本不等式求的最小值.

由-cosC=sinB，cosB=sinC，A+B+C=π，得cosA=-cos（B+C）= -cosBcosC+sinBsinC=-2cosBcosC.

在△ABC中，由余弦定理得=-2··，化簡得a2=. 所以==+

=

-1

·+

.

令t=∈（0，1），則=（t2-1）

+t2==2（t2+1）+-5≥4-5，當(dāng)且僅當(dāng)t=-1∈（0，1）時等號成立.

綜上所述，的最小值為4-5.

評注 將角化邊的想法是自然的，但本題將角化邊卻不容易，求解過程中繁雜的運算推理在考場上解題效率不高也是顯而易見的，不過在日常教學(xué)中可以讓學(xué)生動手實踐，培養(yǎng)學(xué)生的運算求解能力.

思路4 選擇CD為變量.

注意到三個角之間的關(guān)系是確定的，“邊”在變化過程中得到的三角形是相似的，又目標(biāo)函數(shù)是齊次式，故不妨設(shè)AB=1，選擇CD為變量，利用余弦定理構(gòu)建目標(biāo)函數(shù).

不妨假設(shè)AB=1，CD=t∈（0，1），因為C=B+，所以∠DCB=∠B，DB=t.

在Rt△ACD中，AD=AB-BD=AB-CD=1-t;AC2=AD2-CD2=（1-t）2-t2=1-2t，即b2=1-2t.

在△CDA和△CDB中，由余弦定理可得cos∠CDA+cos∠CDB=0，即+=0，即+=0，化簡得a2=BC2=. 所以=+1-2t=4（1-t）+-5≥4-5，當(dāng)且僅當(dāng)t=1-∈（0，1）時等號成立.

綜上所述，的最小值為4-5.

評注 思路4的求解過程清晰，相對來說最簡潔，效率最高，但由C=B+得∠DCB=∠B，從而得到CD=DB是該思路的關(guān)鍵.

三角形中的最值問題或取值范圍問題的綜合性較強(qiáng)，求解方法也靈活多樣，學(xué)生處理問題時往往不能第一時間發(fā)現(xiàn)最優(yōu)解法，有時會走一定的彎路.因此在教學(xué)中，需要根據(jù)核心思想方法設(shè)計微專題，開展深度教學(xué)，讓學(xué)生深刻體會并掌握核心思想方法，并根據(jù)具體問題，靈活選擇合適變量，走出解題困境，提高解題效率.