高宇鵬 江濤

[摘 ?要] 數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化具有應(yīng)用價(jià)值、教育價(jià)值、美學(xué)價(jià)值等. 文章提出滲透數(shù)學(xué)文化須遵循相關(guān)性、趣味性、適度性等原則，并從課堂教學(xué)實(shí)錄出發(fā)，具體介紹了基于數(shù)學(xué)文化滲透的解題教學(xué)措施與方法，最后從以下三方面提出思考：介紹數(shù)學(xué)史，激發(fā)解題興趣;揭露數(shù)學(xué)美，培養(yǎng)審美情操;滲透數(shù)學(xué)思想，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)文化;解題教學(xué);思維

近年來，隨著新課改這股風(fēng)的流動(dòng)，數(shù)學(xué)文化已經(jīng)潛移默化地滲透到高考試題中，這意味著高考不只考查學(xué)生的知識(shí)與技能，還注重學(xué)生的綜合素養(yǎng). 這就要求教師在日常教學(xué)中，應(yīng)重視數(shù)學(xué)文化的研究，善于利用數(shù)學(xué)文化資源，引導(dǎo)學(xué)生在各種課型中感知、體驗(yàn)數(shù)學(xué)文化的價(jià)值，全方位提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

數(shù)學(xué)文化的價(jià)值

鄭毓信教授提出：數(shù)學(xué)文化是一種既獨(dú)立又開放的系統(tǒng)，是數(shù)學(xué)共同體特有的觀念、行為與態(tài)度，也可以理解為數(shù)學(xué)傳統(tǒng)，它以獨(dú)有的方式推動(dòng)著人類文化的進(jìn)步與發(fā)展[1]. 數(shù)學(xué)文化可以幫助人們更好地認(rèn)識(shí)、理解、改造這個(gè)世界，幫助人們更加科學(xué)地掌握學(xué)習(xí)方法，提升認(rèn)知水平層次，對(duì)鍛煉人的意志品質(zhì)，增強(qiáng)人的理想信念，提升人的文化品味具有直接影響.

1. 應(yīng)用價(jià)值

數(shù)學(xué)文化在人類生活的各個(gè)方面以及社會(huì)發(fā)展的各個(gè)領(lǐng)域中應(yīng)用得極為廣泛，如信息技術(shù)的發(fā)展就離不開數(shù)學(xué)文化的支撐——計(jì)算機(jī)的運(yùn)行需要相應(yīng)的軟件，而軟件就是數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、二進(jìn)制與算法等數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用體現(xiàn). 正如谷超豪先生所言：“數(shù)學(xué)是現(xiàn)代高科技的核心，而數(shù)學(xué)文化又是促進(jìn)數(shù)學(xué)教育發(fā)展的基石. ”

數(shù)學(xué)因應(yīng)用而產(chǎn)生，為應(yīng)用所發(fā)展，如我們?nèi)粘Ｙ徫铩⒕筒?、分析股市、貸款投資等，都離不開數(shù)學(xué)知識(shí)的輔助，而這些知識(shí)的發(fā)展都依托于數(shù)學(xué)文化的日積月累. 因此，數(shù)學(xué)文化具有重要的應(yīng)用價(jià)值.

2. 教育價(jià)值

數(shù)學(xué)文化屬于人類文化的精華，能大幅度提升人類的綜合素養(yǎng). 當(dāng)人們掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)精神時(shí)，能夠不斷提升思維能力，具備更好的數(shù)感與符號(hào)意識(shí)等[2]. 因此，數(shù)學(xué)文化的教育價(jià)值是其他任何訓(xùn)練方式都無法替代的.

除此之外，數(shù)學(xué)文化還能提升人們的鑒賞能力與解決實(shí)際問題的能力，一個(gè)具備良好的文化內(nèi)涵與品味的人，不僅擁有“真善美”的特質(zhì)，還擁有一個(gè)睿智的大腦. 因此，數(shù)學(xué)文化具有重要的教育價(jià)值.

3. 美學(xué)價(jià)值

以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的數(shù)學(xué)教學(xué)，需要將美學(xué)素養(yǎng)作為教學(xué)的重要內(nèi)容之一. 數(shù)學(xué)美一般以結(jié)構(gòu)的方式呈現(xiàn)，屬于一種含蓄、深沉、科學(xué)的哲學(xué)之美，尤其是一些獨(dú)特的數(shù)學(xué)知識(shí)，能夠體現(xiàn)出數(shù)學(xué)學(xué)科獨(dú)有的美感. 如最簡的數(shù)學(xué)定理——?dú)W拉定理，它以獨(dú)有的美感在世界數(shù)學(xué)史上占有不敗之地;再如勾股定理，它為人類創(chuàng)造出了無限的價(jià)值，它的美體現(xiàn)在方方面面.

數(shù)學(xué)是一門充滿藝術(shù)的學(xué)科，稱為“藝術(shù)”必有美學(xué)價(jià)值. 它的美與繪畫的視覺、音樂的視聽有所區(qū)別，數(shù)學(xué)文化的藝術(shù)美主要體現(xiàn)在科學(xué)范疇，如黃金分割的應(yīng)用等，都展現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化的美學(xué)價(jià)值.

滲透原則

1. 相關(guān)性原則

課堂教學(xué)關(guān)注更多的是學(xué)生“四基”與“四能”的發(fā)展情況，常忽視數(shù)學(xué)文化對(duì)核心素養(yǎng)發(fā)展的影響. 事實(shí)證明，將“四基”與“四能”的發(fā)展與“數(shù)學(xué)文化”有機(jī)地結(jié)合在一起，往往能達(dá)到事半功倍的效果. 這就要求教師在教學(xué)中，能根據(jù)教學(xué)內(nèi)容滲透與之相關(guān)的數(shù)學(xué)文化，幫助學(xué)生從教學(xué)目標(biāo)上建立聯(lián)系. 長此以往，學(xué)生不僅能收獲豐富的知識(shí)，還能接受數(shù)學(xué)文化的熏陶，促進(jìn)核心素養(yǎng)的發(fā)展.

2. 趣味性原則

法國帕斯卡提出：數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)肅的學(xué)科，教師應(yīng)想方設(shè)法讓它變得有趣. 教師若能結(jié)合學(xué)生的身心發(fā)展規(guī)律，在課堂上滲透一些風(fēng)趣且有內(nèi)涵的數(shù)學(xué)文化，不僅能活躍課堂氣氛，調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)熱情，還能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，讓學(xué)生產(chǎn)生探索欲，形成深度學(xué)習(xí).

值得注意的是，教師不能為了“趣味”而隨意選擇一些沒有根據(jù)的數(shù)學(xué)“史料”，滲透數(shù)學(xué)文化講究趣味性的同時(shí)，還要注重其科學(xué)性、嚴(yán)謹(jǐn)性，擇取與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)且有教育意義的數(shù)學(xué)史料，才能讓學(xué)生集中注意力更深層次地理解知識(shí)的來龍去脈，讓課堂充滿活力且不失“莊重感”.

3. 適度性原則

數(shù)學(xué)文化固然重要，但滲透時(shí)也要把握好“度”. 首先，數(shù)學(xué)文化的滲透應(yīng)在教學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)上實(shí)施，應(yīng)在能順利完成教學(xué)目標(biāo)的前提下進(jìn)行，切忌將數(shù)學(xué)課上成歷史課，出現(xiàn)喧賓奪主的現(xiàn)象;其次，擇取的數(shù)學(xué)文化難度要適中，過于簡單的內(nèi)容難以達(dá)到預(yù)期效果，過于繁雜的內(nèi)容又難以激發(fā)學(xué)生的探索欲，而落于學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的內(nèi)容才是恰到好處的.

解題教學(xué)中的滲透方法

例1 已知在△ABC中，A≥60°，求證：2a≥b+c.

這道題的起點(diǎn)比較低，學(xué)生很快就提出了用正弦定理“邊化角”的方法解題，即將a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC代入問題，得到2a≥b+c與2sinA≥sinB+sinC等價(jià). 這是應(yīng)用化歸思想，兼顧條件與結(jié)論的過程.

學(xué)生求證過程為：從項(xiàng)數(shù)變化考慮，2sinA≥sinB+sinC與2sinA≥2sincos等價(jià). 由于sin=sin=cos，因此僅需證明sinA≥coscos即可.

關(guān)于sinA≥coscos的證明，學(xué)生呈現(xiàn)出了如下過程：sinA≥coscos的左邊存在sinA，右邊存在cos，從倍角公式出發(fā)，可改證2sincos≥coscos. 同時(shí)，在△ABC中，由A≥60°可得30°≤<90°，所以cos>0，也就是證明2sin≥cos. 因?yàn)?sin≥2×sin30°=1，但cos≤1，所以2sin≥cos成立.

從學(xué)生的證明過程來看，接近完美. 證明2a≥b+c前，學(xué)生就自主發(fā)現(xiàn)了條件和結(jié)論在形式上存在差別，因此用正弦定理實(shí)施轉(zhuǎn)化，而后通過角與項(xiàng)數(shù)的變化，讓不等式的兩邊進(jìn)一步簡化、整齊. 教師在此過程中與學(xué)生分享了正弦定理的數(shù)學(xué)史料，讓學(xué)生在心理上產(chǎn)生了一種愉悅感，并從中體驗(yàn)到了數(shù)學(xué)之美.

例2 在△ABC中，如果A≥60°，R，r分別為△ABC外接圓和內(nèi)切圓的半徑，求證：2R+4（-1）r≥b+c.

學(xué)生經(jīng)過思考，認(rèn)為解決本題的難點(diǎn)在于如何將R，r，b，c轉(zhuǎn)化為統(tǒng)一的形式. 從例1的解題思路出發(fā)，用正弦定理可以聯(lián)系△ABC的邊以及其外接圓的直徑，至于怎樣將R，r以及△ABC的三條邊聯(lián)系起來，還有待研究.

為了幫助學(xué)生理清解題思路，教師進(jìn)行了如下點(diǎn)撥：解題時(shí)，如果實(shí)在找不到方法，可以借助數(shù)形結(jié)合思想，將抽象的問題轉(zhuǎn)化為直觀形象的圖形.

基于教師的引導(dǎo)，學(xué)生呈現(xiàn)出了如下解題過程：

如圖1所示，已知△ABC的內(nèi)切圓和三條邊的切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，內(nèi)心為I. 根據(jù)相切關(guān)系，不難理解ID，IE，IF分別與BC，AC，AB邊垂直，借助面積法得S=S+S+S，于是bcsinA=（a+b+c）r，所以r=①.

接下來將式①代入2R+4（-1）r≥b+c，則證明2R+4（-1）·≥b+c②. 借助正弦定理，消除正因子2R后，則證明1+4（-1）≥sinB+sinC③.

教師充分肯定了學(xué)生的證明過程，這里將形式混亂的不等式化歸成了僅有三個(gè)角的正弦的不等式，問題變得簡單許多. 此時(shí)，又有學(xué)生主動(dòng)提出了新的運(yùn)算方法：從r的表達(dá)式和角A的關(guān)系出發(fā)，根據(jù)△ABC三條邊與☉I相切的條件，獲得三條切線的長. 假設(shè)AE=AF=x，BF=BD=y，CE=CD=z，有z+y=a，z+x=b，x+y=c，可知x=. 同時(shí)tan=，因此r=xtan=tan④. 將不等式②轉(zhuǎn)化成2R+4（-1）tan≥b+c后，應(yīng)用正弦定理，再將不等式轉(zhuǎn)化成1+2（-1）（sinC+sinB-sinA）tan≥sinB+sinC⑤.

如此轉(zhuǎn)化使得內(nèi)切圓的半徑和角A產(chǎn)生了關(guān)聯(lián)，改變了解題目標(biāo). 至于不等式③或不等式⑤該如何推進(jìn)，化簡不等式③中復(fù)雜的分式或不等式⑤中左邊偏復(fù)雜的第二項(xiàng)即可.

老子曰：“大道至簡. ”以上解題過程告訴我們，數(shù)學(xué)解題追求的是一種簡潔、對(duì)稱與賞心悅目. 化繁為簡的過程是促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展的過程，亦是讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)文化博大精深的過程.

接下來，學(xué)生提出用三角形內(nèi)角和與和差化積公式，得到sinA+sinB+sinC=4coscoscos⑥，sinB+sinC-sinA=4cossinsin⑦，將式⑥代入不等式③中的分母，不等式③的分子利用倍角公式展開，或?qū)⑹舰叽氩坏仁舰?，把tan化弦后消除cos，獲得待證明的同一不等式1+8（-1）sinsinsin≥sinB+sinC⑧. 在此基礎(chǔ)上將不等式⑧轉(zhuǎn)化為1+2cos·

2（-1）sin-cos

-4（-1）sin2≥0⑨（過程略）后再證明.

雖然此運(yùn)算過程比較繁雜，但均為三角函數(shù)常規(guī)運(yùn)算. 令學(xué)生感到意外的是內(nèi)切圓的半徑竟然存在兩種代換方式. 最終學(xué)生利用分類討論思想與放縮法，通過不等式證明法獲得結(jié)論.

以上解題過程帶給了學(xué)生較大的震撼，在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，我們需要從辯證唯物主義的角度出發(fā)，一分為二地進(jìn)行觀察與分析，只有踏踏實(shí)實(shí)地落實(shí)“四基”與“四能”，才能在數(shù)學(xué)道路上走得長遠(yuǎn).

幾點(diǎn)思考

1. 介紹數(shù)學(xué)史，激發(fā)解題興趣

數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)文化的重要組成部分，教材上所呈現(xiàn)的任何一個(gè)概念、定理或法則都不是憑空出現(xiàn)的，都有一個(gè)形成與發(fā)展過程[3]. 在解題教學(xué)中，教師可在學(xué)生應(yīng)用某些定理時(shí)適當(dāng)?shù)貪B透數(shù)學(xué)文化，激趣的同時(shí)深化學(xué)生對(duì)定理的應(yīng)用意識(shí).

如例1，題目門檻較低，學(xué)生順利解題的同時(shí)，教師將相關(guān)定理的數(shù)學(xué)史料拎出來與學(xué)生分享，成功地激發(fā)了學(xué)生對(duì)這一類問題的研究興趣，為接下來的解題教學(xué)奠定了良好的情感基礎(chǔ).

2. 揭露數(shù)學(xué)美，培養(yǎng)審美情操

若藝術(shù)美屬于感性美，則數(shù)學(xué)美屬于理性美和抽象美，它是一種數(shù)學(xué)思想、科學(xué)精神，需要人們用心去體會(huì)與領(lǐng)悟. 在解題教學(xué)中，尤其應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)的簡潔美. 簡潔美可以表現(xiàn)在數(shù)學(xué)語言、解題方法上. 哲學(xué)家狄德羅提出：美是將苦難、繁雜的問題簡單化的過程.

在上述例題教學(xué)中，證明不等式2a≥b+c前，學(xué)生就自主發(fā)現(xiàn)了條件和結(jié)論在形式上存在差別，于是利用正弦定理實(shí)施轉(zhuǎn)化，而后通過角與項(xiàng)數(shù)的變化，讓不等式的兩邊進(jìn)一步簡化、整齊;在不等式2R+4（-1）r≥b+c的解決過程中，學(xué)生將形式混亂的不等式化歸成了僅有三個(gè)角的正弦的不等式，讓問題變得簡單許多. 這些都揭露了數(shù)學(xué)的簡潔美，為培養(yǎng)學(xué)生的審美情操奠定了基礎(chǔ).

3. 滲透數(shù)學(xué)思想，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

學(xué)校教育的最終目標(biāo)是促進(jìn)學(xué)生更好地生活與工作，數(shù)學(xué)知識(shí)是教學(xué)的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)思想方法則是促進(jìn)學(xué)生形成可持續(xù)發(fā)展的關(guān)鍵. 數(shù)學(xué)思想方法是對(duì)問題本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，與知識(shí)相比，思想方法的應(yīng)用更深刻、廣泛、久遠(yuǎn).

如上述例題教學(xué)，就應(yīng)用到了數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想、轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想與整合思想等，這些思想方法的介入讓解題過程變得更加簡便，也讓學(xué)生的頭腦變得更加清晰. 因此，數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用是滲透數(shù)學(xué)文化必不可少的重要環(huán)節(jié).

總之，數(shù)學(xué)文化是促進(jìn)數(shù)學(xué)教育發(fā)展的關(guān)鍵. 作為新時(shí)代的數(shù)學(xué)教師，除了要有扎實(shí)的專業(yè)水平，還要“上知天文，下知地理”，要能在課堂恰當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)“信手拈來”，推出與教學(xué)相關(guān)的數(shù)學(xué)文化知識(shí)，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，夯實(shí)學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)，從真正意義上促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展.

參考文獻(xiàn)：

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