鄧啟敏 齊進(jìn)

［摘要］ 多面體知識(shí)是初中階段數(shù)學(xué)重要的內(nèi)容，集內(nèi)容知識(shí)、教學(xué)知識(shí)和學(xué)生認(rèn)知于一體。內(nèi)容知識(shí)被定義為關(guān)于事實(shí)、概念、概念之間的關(guān)系和數(shù)學(xué)過(guò)程的知識(shí)，教學(xué)知識(shí)是指教師在組織多面體教學(xué)過(guò)程中的知識(shí)，而學(xué)生認(rèn)知?jiǎng)t是作為教師對(duì)學(xué)生在多面體學(xué)習(xí)方面錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)。通過(guò)記錄教學(xué)過(guò)程和采訪學(xué)生收集數(shù)據(jù)，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行簡(jiǎn)化、分類和解釋分析，結(jié)果表明，教師傾向于將概念和過(guò)程解釋結(jié)合起來(lái)，通過(guò)提供立體支架模型和采用同學(xué)輔導(dǎo)來(lái)糾正錯(cuò)誤并解決學(xué)生在多面體學(xué)習(xí)上的困難。

［關(guān)鍵詞］ 初中數(shù)學(xué)；PCK；多面體；教學(xué)能力

教師在培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)和技能掌握方面發(fā)揮著重要作用。教師履行其職責(zé)必須具備四種能力：教學(xué)能力、專業(yè)能力、人格能力和社會(huì)能力。這就需要教師充分了解學(xué)生；掌握課程和教材；掌握能夠組織教育學(xué)習(xí)，包括學(xué)習(xí)的計(jì)劃和實(shí)施、學(xué)習(xí)過(guò)程和結(jié)果的評(píng)估、學(xué)習(xí)改進(jìn)的后續(xù)行動(dòng)；以可持續(xù)的方式發(fā)展個(gè)性和專業(yè)精神。這與學(xué)科教學(xué)知識(shí)（Pedagogical Content Knowledge，PCK）的內(nèi)涵相符，是學(xué)生成績(jī)提高的關(guān)鍵因素之一?？梢?jiàn)，教師需要掌握教學(xué)內(nèi)容和有效的表達(dá)方式，并解釋學(xué)生的思維，使他們更好地理解教學(xué)內(nèi)容。PCK是一種教師理解學(xué)生認(rèn)知的方法，其被定義為教師運(yùn)用自身數(shù)學(xué)知識(shí)展開(kāi)數(shù)學(xué)主題并以學(xué)生成功學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式呈現(xiàn)內(nèi)容的能力。因此，教師應(yīng)注重PCK的發(fā)展與教學(xué)應(yīng)用，以加強(qiáng)學(xué)生的理解，減少學(xué)生在學(xué)習(xí)中的困難、錯(cuò)誤和誤解。

一、研究方法

本研究旨在開(kāi)發(fā)一個(gè)基于“PCK”的數(shù)學(xué)指導(dǎo)模型，此模型包括四個(gè)階段：（1）初始評(píng)估階段；（2）設(shè)計(jì)階段；（3）測(cè)試、評(píng)估和修訂階段；（4）實(shí)施階段。本文重點(diǎn)介紹八年級(jí)數(shù)學(xué)教師在多面體學(xué)習(xí)中PCK的發(fā)展情況，記錄學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)和訪談數(shù)據(jù)。本研究囊括了兩節(jié)多面體教學(xué)課記錄內(nèi)容。來(lái)自數(shù)學(xué)教育項(xiàng)目的研究人員和五名講師直接參與了數(shù)據(jù)收集，并反復(fù)觀察教學(xué)視頻，然后進(jìn)行轉(zhuǎn)錄。數(shù)據(jù)分析采用定性分析，包括歸納、分類、解釋和得出結(jié)論。本研究中PCK的考核組成部分包括教師對(duì)多面體的知識(shí)、教師對(duì)多面體知識(shí)學(xué)習(xí)的教學(xué)方法、教師對(duì)克服學(xué)生在多面體方面的困難和錯(cuò)誤的知識(shí)。

二、教學(xué)過(guò)程

八年級(jí)數(shù)學(xué)教師關(guān)于多面體的PCK包括多面體知識(shí)、教學(xué)方法和學(xué)生的知識(shí)。第1課的主題是發(fā)現(xiàn)立方體和矩形的表面積公式，而第2課是找到棱柱的表面積公式，下一節(jié)課介紹了上一節(jié)課總結(jié)的學(xué)習(xí)成果。

（一）第1課

主題知識(shí)。在課程開(kāi)始時(shí)，教師沒(méi)有直接解釋與立方體和矩形相關(guān)的事實(shí)，而是通過(guò)示例和問(wèn)題來(lái)引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建立方體和長(zhǎng)方體中術(shù)語(yǔ)的定義，例如邊和面。教師總是將立方體/長(zhǎng)方體的概念與先決材料，即平面幾何（正方形和矩形）聯(lián)系起來(lái)。此外，通過(guò)將立方體/長(zhǎng)方體的幾何形狀與學(xué)生熟悉的具體物體（如櫥柜和鞋盒）的形式進(jìn)行類比，解釋了概念之間的聯(lián)系。在課堂上，教師還詢問(wèn)了正方形面積計(jì)算公式（面積＝邊長(zhǎng)2），長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式（面積=長(zhǎng)×寬），然后把它們正確地寫在黑板上。然而，有一個(gè)術(shù)語(yǔ)仍然很難被學(xué)生理解，即一致性術(shù)語(yǔ)，因?yàn)樵诎四昙?jí)它還沒(méi)有被教過(guò)。所以，教師使用了另一個(gè)全等替換項(xiàng)，即形狀和大小相同的兩個(gè)平面幾何體。另一方面，數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中被用來(lái)找出立方體/長(zhǎng)方體的表面積公式，這些公式已經(jīng)寫在課本中得到呈現(xiàn)。

教學(xué)方法。實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)目標(biāo)的步驟：教師傳達(dá)對(duì)平面幾何領(lǐng)域的感知；提出課程目標(biāo)；通過(guò)視頻顯示立方體和長(zhǎng)方體；向每組學(xué)生分發(fā)試題；指導(dǎo)每個(gè)小組學(xué)生在作業(yè)本上完成；請(qǐng)一組學(xué)生解釋解題思路，并一起驗(yàn)證結(jié)論。立方體和長(zhǎng)方體的廣義概念是通過(guò)動(dòng)畫視頻形式來(lái)表示的。動(dòng)畫視頻由網(wǎng)絡(luò)制作和紙板制成的立方體/長(zhǎng)方體混合組成。使用這兩種方法旨在給學(xué)生呈現(xiàn)立方體/長(zhǎng)方體的空間思維過(guò)程，并通過(guò)計(jì)算多面體總面積，期望學(xué)生理解多面體面積計(jì)算的過(guò)程。在學(xué)習(xí)實(shí)施的過(guò)程中，信息傳遞階段使用了現(xiàn)實(shí)和網(wǎng)絡(luò)虛擬相結(jié)合的方式。多面體核心知識(shí)學(xué)習(xí)中使用了具體的教學(xué)模型，通過(guò)與每組學(xué)生共享視頻和模具，鼓勵(lì)他們成為積極的學(xué)習(xí)者。學(xué)生對(duì)立體多面體的切割、換算等來(lái)掌握抽象的幾何知識(shí)。在具體的教學(xué)過(guò)程中，教師并沒(méi)有解釋黑板上的幾何題型，而是指示每個(gè)學(xué)生研究立方體模型。然而，并不是所有學(xué)生都能達(dá)到預(yù)期的結(jié)果。于此，教師對(duì)有困難的學(xué)生采用教學(xué)立體模具教學(xué)技術(shù)提供有效幫助，教師的角色仍然占主導(dǎo)地位。然而，主導(dǎo)教學(xué)也存在一些弊端，有的學(xué)生不習(xí)慣獨(dú)立思考，一味地等待教師教學(xué)。因而，主動(dòng)教學(xué)和被動(dòng)教學(xué)相結(jié)合的方式是PCK的重要組成部分，雖然這個(gè)教學(xué)過(guò)程耗時(shí)超過(guò)預(yù)期，但是對(duì)學(xué)生全面掌握數(shù)學(xué)知識(shí)至關(guān)重要。

學(xué)生的知識(shí)。通過(guò)提出幾個(gè)與立方體/長(zhǎng)方體特征相關(guān)的問(wèn)題，教師了解、把握學(xué)生的背景知識(shí)，包括邊的數(shù)量、頂點(diǎn)、面、正方形和矩形的面積，并要求他們?cè)诂F(xiàn)實(shí)中模擬類似立方體/長(zhǎng)方體的物體，以便能夠區(qū)分兩者的特征。當(dāng)學(xué)生難以回答上述問(wèn)題時(shí)，教師通過(guò)教學(xué)模具展示立方體/長(zhǎng)方體模型來(lái)指導(dǎo)學(xué)生，并演示如何在每組中打開(kāi)立方體/長(zhǎng)方體空間結(jié)構(gòu)。此外，當(dāng)學(xué)生將邊棱誤認(rèn)為是面時(shí)，也會(huì)對(duì)多面體產(chǎn)生誤解。為了克服這個(gè)問(wèn)題，教師需要重新解釋正方形作為平面幾何體與立方體作為多面體的區(qū)別。對(duì)于正方形，邊界稱為邊；而對(duì)于立方體，面是由四條邊圍成的平面。對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，另一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的概念是將長(zhǎng)方體/立方體的每個(gè)面公式轉(zhuǎn)換為表面積公式。學(xué)生往往只能計(jì)算每條邊的大小，然后將其相乘，而沒(méi)有成功地將其寫成代數(shù)形式（體積=長(zhǎng)×寬×高）。除了這些教學(xué)困難之外，還有一種誤解，學(xué)生提到風(fēng)箏是正方形、三角形是多面體等。這發(fā)生在學(xué)生日常感知的過(guò)程中，需要教師為每個(gè)有這種誤解的學(xué)生加以解釋。此外，教師在教學(xué)過(guò)程中也免不了需要激勵(lì)那些看起來(lái)缺乏激情的學(xué)生。

（二）第2課

主題知識(shí)。教師在給學(xué)生介紹平面幾何圖形（如正方形和三角形）時(shí)，在課堂上可以通過(guò)實(shí)物展示的方式給學(xué)生介紹課本中的邊和角等概念，這樣使得抽象的概念具體化。對(duì)于概念之間的關(guān)系，教師將棱柱底座的形狀與特定的平面幾何形狀聯(lián)系起來(lái)。如果棱柱底座是方形的，則稱為矩形/方形棱柱，類似于三角形底座的情況。教師還在黑板上寫下一些平面幾何的通式和周長(zhǎng)，這些平面幾何可以作為學(xué)習(xí)棱柱空間圖形的基礎(chǔ)，例如正方形的面積和周長(zhǎng)、三角形的面積和周長(zhǎng)。為了將概念和公式聯(lián)系起來(lái)，教師還需要給學(xué)生解釋與闡明棱柱形表面積公式有關(guān)的數(shù)學(xué)推算過(guò)程；學(xué)生首先確定基準(zhǔn)面積和棱蓋（頂部基座）的面積，然后發(fā)現(xiàn)棱鏡垂直面的面積，并將三者相加。

教學(xué)方法。教師的教學(xué)步驟與課程設(shè)計(jì)一致，從感知平面幾何、面積和周長(zhǎng)的幾種形式開(kāi)始，傳達(dá)學(xué)習(xí)目標(biāo)，簡(jiǎn)要解釋棱柱的表面積，將相關(guān)章節(jié)的考試題分發(fā)給每個(gè)小組，與學(xué)生一起解決，要求其中一個(gè)小組展示他們的試題演算過(guò)程，并確認(rèn)結(jié)論。解題時(shí)，教師傾向于直接分析學(xué)生在考題中的內(nèi)容和一些慣犯的錯(cuò)誤。通過(guò)三角棱柱的紙板解釋棱鏡的表面積，教師先計(jì)算每個(gè)面的面積，然后將每個(gè)面的面積相加，以獲得棱柱的總表面積。在多面體教學(xué)之初，教師還給出了一些平面幾何的例子，如三角形、正方形，以及如何確定正方形面積、三角形高度和三角形面積。教師將例子寫在黑板上，然后向?qū)W生解釋。除了例題外，教師還為學(xué)生分配單獨(dú)的任務(wù)來(lái)解決多面體問(wèn)題。為了讓學(xué)生充分參與到數(shù)學(xué)課題活動(dòng)中，需要鼓勵(lì)學(xué)生提問(wèn)。在這種情況下，教師隨機(jī)選擇學(xué)生，從他們那里獲得一些學(xué)習(xí)多面體的常見(jiàn)問(wèn)題。對(duì)于接受能力強(qiáng)的學(xué)生，要求他們幫助那些接受能力較弱的同學(xué)。在評(píng)價(jià)方面，雖然沒(méi)有使用評(píng)價(jià)工具，但總的來(lái)說(shuō)，教師通常是通過(guò)對(duì)積極提出問(wèn)題的學(xué)生給予贊揚(yáng)和掌聲，以獎(jiǎng)勵(lì)他們提供了正確的答案。

學(xué)生的知識(shí)。通過(guò)學(xué)生對(duì)正方形面積、三角形高度和三角形面積的感知，教師可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生的初始知識(shí)。也許沒(méi)有多少學(xué)生能記住，教師需要重新解釋如何確定正方形面積、三角形高度和三角形面積。當(dāng)學(xué)生遇到困難時(shí)，可以通過(guò)簡(jiǎn)單的例子（支架）引導(dǎo)他們，并慢慢減少幫助量，直到學(xué)生能夠獨(dú)立解決問(wèn)題。在教學(xué)規(guī)劃過(guò)程中，教師需要描述幾何圖形中任何可能的困難、錯(cuò)誤和誤解，例如，學(xué)生很難將棱柱的表面積轉(zhuǎn)化成代數(shù)形式一樣，確定棱鏡網(wǎng)絡(luò)中每個(gè)面的總和時(shí)的錯(cuò)誤，以及基于不同棱柱位置對(duì)棱柱的誤解。為了克服這些問(wèn)題，教師需要針對(duì)不同學(xué)生輪流糾正其錯(cuò)誤概念。而由于學(xué)生的高度熱情和好奇心，或許教師需要反復(fù)執(zhí)行這個(gè)過(guò)程，向每位學(xué)生解釋相同的事情。

三、結(jié)果討論

初中八年級(jí)多面體教學(xué)內(nèi)容分為三類：事實(shí)知識(shí)、概念知識(shí)和解題過(guò)程知識(shí)。事實(shí)知識(shí)由與多面體相關(guān)的事實(shí)和數(shù)學(xué)符號(hào)表示，在本課程中準(zhǔn)確呈現(xiàn)。為了準(zhǔn)確解釋概念知識(shí)及其與數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系，教師需要將平面幾何和多面體的概念恰當(dāng)?shù)亟Y(jié)合起來(lái)，很好地定義正方形、矩形和三角形的面積等數(shù)學(xué)公式，系統(tǒng)地解釋與多面體相關(guān)的數(shù)學(xué)概念。解題過(guò)程知識(shí)是指對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)和概念及其關(guān)系的知識(shí)。主題知識(shí)一般分為兩類——概念知識(shí)和解題過(guò)程知識(shí)，程序知識(shí)包括將某些數(shù)學(xué)概念與其他概念聯(lián)系起來(lái)，并解釋某些數(shù)學(xué)過(guò)程的根本原因。教師應(yīng)了解數(shù)學(xué)的概念、解題過(guò)程和結(jié)論，以及解題過(guò)程中出現(xiàn)的常見(jiàn)錯(cuò)誤，從而提高學(xué)生對(duì)概念的理解。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略包括教師在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中采用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)活動(dòng)能力、在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中使用現(xiàn)實(shí)生活中的例子和類比、在表達(dá)中采用不同學(xué)習(xí)策略的能力，以及在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中使用不同表征的能力。僅僅掌握教材不足以達(dá)到預(yù)期的學(xué)習(xí)目標(biāo)，教師還應(yīng)能夠以學(xué)生易于理解的方式教授教材。教師的學(xué)習(xí)組織通過(guò)使用發(fā)現(xiàn)方法來(lái)展示，包括使用操作表和幾何試題引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)立方體、長(zhǎng)方體和棱柱體的表面積公式；通過(guò)將本課與前一課聯(lián)系起來(lái)，了解學(xué)生對(duì)上一節(jié)課內(nèi)容知識(shí)的掌握情況。此外，教師讓學(xué)生參與學(xué)習(xí)，讓他們有機(jī)會(huì)找到立方體、長(zhǎng)方體和棱柱體的表面積公式。學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)過(guò)程與教師的探究性教學(xué)是密不可分的，教師使用的課堂策略是在課堂上為學(xué)生提供幾何支架模型，通過(guò)績(jī)效評(píng)估學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程?？梢?jiàn)，教師需要有不同的知識(shí)和技能，以計(jì)劃和實(shí)施旨在增進(jìn)學(xué)生理解的學(xué)習(xí)策略。

一般情況下，教師對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)多面體的認(rèn)識(shí)分為兩類：對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)困難的認(rèn)識(shí)、如何克服困難。根據(jù)每個(gè)學(xué)時(shí)相同的問(wèn)題，教師獲得了關(guān)于學(xué)生困難的信息，通過(guò)提出待研究的數(shù)學(xué)幾何問(wèn)題，探索學(xué)生的初始認(rèn)知；用簡(jiǎn)單的類比和應(yīng)用支架模型技術(shù)，克服學(xué)生的錯(cuò)誤、困難和誤解。教師必須認(rèn)識(shí)到可能會(huì)給學(xué)生帶來(lái)的幾何問(wèn)題，并有能力解決學(xué)生在教材方面面臨的問(wèn)題。此外，教師還要確認(rèn)一個(gè)試題解決方案是正確的，并解釋為什么它是正確的。

這項(xiàng)研究表明，PCK在學(xué)習(xí)中是重要的和必要的（包括在八年級(jí)教學(xué)多面體相關(guān)知識(shí)）。PCK是教師有關(guān)多面體的知識(shí)與學(xué)生的知識(shí)相結(jié)合的具體體現(xiàn)，對(duì)學(xué)習(xí)組織中的教師教學(xué)會(huì)產(chǎn)生重要影響。學(xué)生認(rèn)知知識(shí)既需要教材知識(shí)，也需要教學(xué)知識(shí)。

［本文系蘭州市教師個(gè)人課題“基于數(shù)學(xué)活動(dòng)的初中數(shù)學(xué)教學(xué)策略研究”（項(xiàng)目編號(hào)：LZ〔2021〕GR00XXX0678）研究成果］

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鄧啟敏? ?甘肅省蘭州市海亮實(shí)驗(yàn)學(xué)校。

齊 進(jìn)? ?蘭州大學(xué)校聘副教授，碩士生導(dǎo)師。