耿玲玲

［摘? 要］ 數(shù)學(xué)教學(xué)具有發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要作用. 然而，數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐效果常與教師預(yù)期目標(biāo)有偏差. 文章以“數(shù)列求和”（錯位相減法）為例，掃描錯位相減法教學(xué)片段，以執(zhí)教者的心路歷程為主線，從教學(xué)簡錄、教學(xué)困惑、錯因分析以及教學(xué)反思等方面展開闡述.

［關(guān)鍵詞］ 錯位相減法；教學(xué)簡錄；教學(xué)困惑；錯因分析；教學(xué)反思

肖川教授在《教育的使命與責(zé)任》一書中提出：學(xué)生在被信任的狀態(tài)下學(xué)習(xí)時，會學(xué)得更好；學(xué)生在自主參與探索時，能學(xué)得更好；學(xué)生存在更高期許時，能學(xué)得更好. 由此可見，學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)受教學(xué)內(nèi)容、教師態(tài)度以及自我期許等綜合因素的影響. 筆者在“數(shù)列求和”（錯位相減法）的復(fù)習(xí)過程中，因?qū)W生有一定的基礎(chǔ)，高估了學(xué)生的認(rèn)知水平，發(fā)生了一些“意外”，就此引發(fā)了一些思考.

教學(xué)背景

本節(jié)課的授課對象為普通高中文科班學(xué)生，學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與學(xué)習(xí)能力均一般，但班風(fēng)好，學(xué)生學(xué)習(xí)態(tài)度端正，能積極參與課堂活動；授課內(nèi)容主要是“錯位相減法求和”，并在此基礎(chǔ)上讓學(xué)生掌握幾種特殊的數(shù)列求和法. 對于教師而言，“錯位相減法求和”是特別簡單的內(nèi)容，幾乎不用教師花費(fèi)多少時間與精力去講解、引導(dǎo)與探索，就能順利完成教學(xué)任務(wù).

案例掃描

師：大家說說哪類數(shù)列適合用錯位相減法求和呢？

生1：若一個數(shù)列的各項(xiàng)都是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)乘積所組成的，這類數(shù)列適合用錯位相減法求和.

師：非常好！這是我們所知道的一種數(shù)列類型. 其實(shí)，可以用錯位相減法求和的數(shù)列不止這一類.

為了調(diào)動學(xué)生的探索欲，筆者在此處創(chuàng)設(shè)了一個與本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容相關(guān)，又貼近學(xué)生生活實(shí)際的情境.

情境：一天，教研員到某班聽課，課堂教學(xué)內(nèi)容為“用錯位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和”. 新課講授接近尾聲時，教師編擬出了一道練習(xí)題，并隨機(jī)抽取了三名學(xué)生到黑板上演示“用錯位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和”，大家猜猜結(jié)果是怎樣的？

學(xué)生異口同聲回答：肯定都做對了.

師：非常遺憾，三名學(xué)生解題統(tǒng)統(tǒng)失敗.

學(xué)生感到不可思議，紛紛議論開來，筆者見這個情境成功地吸引住了學(xué)生的注意力，便趁熱打鐵，適時拋出新的問題.

師：大家來看，這邊有一個問題.

隨著問題的提出，學(xué)生很快進(jìn)入了探索狀態(tài). 不久，大部分學(xué)生表示已經(jīng)完成，筆者看到學(xué)生自信滿滿的狀態(tài)，就采取了訪談的方式教學(xué)本題.

教學(xué)困惑：課堂教學(xué)流程并沒有大問題，在小結(jié)環(huán)節(jié)中，筆者針對一些題目還特別強(qiáng)調(diào)了“要注意的地方”. 為什么學(xué)生仍然沒有理解這個知識點(diǎn)（錯位相減法求和）的實(shí)際應(yīng)用呢？

錯因分析

為了解開這個困惑，筆者特別找了幾個認(rèn)知水平不錯卻沒有做對的學(xué)生，要求他們在辦公室解題. 解題后，筆者發(fā)現(xiàn)這幾位學(xué)生的解題過程都存在一些問題. 現(xiàn)將幾種常見的錯誤與原因羅列如下：

錯因 式①減式②并非錯位相減，而是對應(yīng)相減，導(dǎo)致循環(huán)推理錯誤. 同時，這種解法將指數(shù)冪分母輕易變形，改變了數(shù)列原有的結(jié)構(gòu)特征，影響了規(guī)律的尋找.

綜上所述，這些錯誤都屬于沒有含金量的低級錯誤，本不應(yīng)該出現(xiàn)在高三學(xué)生身上，但事實(shí)勝于雄辯，出現(xiàn)這些錯誤的學(xué)生還不少. 其實(shí)，有些小錯誤只要稍微用點(diǎn)心，取特殊值驗(yàn)證就能發(fā)現(xiàn)問題，但多數(shù)學(xué)生想不到.

細(xì)細(xì)剖析這些錯因，主要源于以下兩類情況：第一，由認(rèn)知因素導(dǎo)致，如錯解1對解題方法不理解，錯解3對概念掌握不透徹，錯解4對公式應(yīng)用不靈活；第二，由非智力因素導(dǎo)致，如錯解2、錯解5的運(yùn)算粗心或書寫不規(guī)范等.

透過學(xué)生的錯誤類型不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對錯位相減法的掌握并不牢固，從中也投射出教學(xué)方法存在不少問題. 基于此，筆者進(jìn)行了深刻反思.

教學(xué)反思

1. 教學(xué)設(shè)計，應(yīng)了解學(xué)情

新課標(biāo)明確提出，學(xué)生才是課堂的主人，任何教學(xué)活動的開展應(yīng)基于“以生為本”的理念實(shí)施. 本節(jié)課，筆者從自身認(rèn)知水平出發(fā)，覺得講授錯位相減法是一項(xiàng)非常簡單的教學(xué)任務(wù)，理所當(dāng)然地認(rèn)為學(xué)生能快速理解并掌握——認(rèn)為學(xué)生接觸本節(jié)課內(nèi)容前復(fù)習(xí)過等比數(shù)列前n項(xiàng)和的公式推導(dǎo)過程，對錯位相減法有一定的知識基礎(chǔ). 基于以上判斷，出現(xiàn)了問題缺乏針對性，預(yù)設(shè)不合理的教學(xué)情況.

本節(jié)課的講授對象為普通文科學(xué)生，雖然班風(fēng)正，學(xué)習(xí)氛圍好，但學(xué)生的數(shù)學(xué)思維仍不夠深入，即使之前接觸過“錯位相減法求和”相關(guān)知識，但時間一久就遺忘了，尤其是細(xì)節(jié)方面幾乎遺忘殆盡. 又由于筆者課前沒有利用一定的手段（如學(xué)前問卷調(diào)查等）對學(xué)生的實(shí)際情況進(jìn)行摸排，只是從自身的角度出發(fā)判斷學(xué)生處于怎樣的認(rèn)知水平，導(dǎo)致所提出的問題顯然高于學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平.

因此筆者認(rèn)為，在教學(xué)設(shè)計前，教師應(yīng)從根本上了解學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平——有時教師認(rèn)為非常簡單的知識，在學(xué)生那里有可能因?yàn)闀r隔已久而感到陌生. 在教學(xué)設(shè)計時，教師尤其要注意，隨著教齡的增加，與教材的距離越來越近，甚至爛熟于心，容易提出離學(xué)生實(shí)際認(rèn)知水平越來越遠(yuǎn)的問題.

陶行知先生認(rèn)為，教什么？怎么教？需要考慮“人”的問題，針對不同的人，教的內(nèi)容、方法、分量、次序都不同. 每節(jié)課的教學(xué)設(shè)計，應(yīng)從學(xué)情出發(fā)，只有將“以人為本”“因材施教”“以學(xué)定教”等理念落到實(shí)處，才能設(shè)計出與學(xué)生認(rèn)知與思維相匹配的教學(xué)活動.

2. 例題教學(xué)，應(yīng)變式拓展

例題教學(xué)在數(shù)學(xué)課堂中的應(yīng)用較為廣泛，它能激活學(xué)生思維，讓學(xué)生將所學(xué)習(xí)的內(nèi)容靈活地應(yīng)用到實(shí)踐中. 本節(jié)課中除了錯位相減法外，還涉及“分組求和”“倒序相加”等數(shù)列求和法，筆者對這幾種方法的復(fù)習(xí)用力均勻，并沒有突出重點(diǎn)，也沒有意識到錯位相減法是難點(diǎn)，更沒有在課堂上檢查學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，只是帶領(lǐng)學(xué)生粗淺地探索了一般性問題，導(dǎo)致學(xué)生理解不透徹的現(xiàn)象出現(xiàn)了.

由此也可以看出，筆者對本節(jié)課的教學(xué)定位不準(zhǔn)確，師生之間缺乏有效溝通，無法摸清課堂教學(xué)真正的成效. 數(shù)學(xué)教學(xué)切忌“就題論題”，這樣浮光掠影的教學(xué)方式，學(xué)生難以從根本上掌握知識本質(zhì)，更難以建構(gòu)完整的認(rèn)知體系. 變式的應(yīng)用，不僅能強(qiáng)化學(xué)生對知識的理解，還能激活學(xué)生思維，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識，對推動學(xué)生核心素養(yǎng)的形成具有不可估量的作用.

本節(jié)課的例題教學(xué)環(huán)節(jié)，在原題的基礎(chǔ)上，教師可以設(shè)計如下變式：

以上變式可以在教師課前結(jié)合學(xué)情就預(yù)設(shè)好，也可以在課堂中結(jié)合實(shí)際教學(xué)情況動態(tài)生成，亦可從學(xué)生解題的過程中收集而來. 不論是哪種獲取方式，都能有效啟發(fā)學(xué)生思維，提高教學(xué)效果. 當(dāng)然，例題教學(xué)還可以應(yīng)用小組合作交流與匯報展示的方式進(jìn)行.

3. 教學(xué)方法，應(yīng)深析本質(zhì)

課堂教學(xué)只有揭露出知識的本質(zhì)與內(nèi)涵，才能幫助學(xué)生建構(gòu)完整的知識體系. 本節(jié)課，在學(xué)生的作業(yè)出現(xiàn)較多錯誤的情況下，筆者特別訪談了部分學(xué)生，發(fā)現(xiàn)他們對錯位相減法的本質(zhì)并不理解，只是依葫蘆畫瓢，模仿課堂例題去解題，對于“為什么這么做”“這么解題究竟對不對”并沒有考慮過. 追根溯源，在于筆者的教學(xué)方法過于老套，沒有引導(dǎo)學(xué)生探究錯位相減法的本質(zhì).

數(shù)學(xué)教學(xué)不僅是知識教學(xué)，更是方法教學(xué)，教師不僅要教會學(xué)生解題，還要引導(dǎo)學(xué)生知道這么解題的原因是什么. 機(jī)械記憶與套用模式只能在大腦中留下短暫的印跡，難以長久保持，只有弄清問題的本質(zhì)，才能以不變應(yīng)萬變.

那么，錯位相減法求和的本質(zhì)究竟是什么呢？所謂錯位相減法求和，即先在等式的等號兩邊同時乘公比（或公比的倒數(shù)），使新等式與原等式存在大量同類項(xiàng)，兩式相減后得到的式子有許多有規(guī)律的項(xiàng)，由此再利用等比數(shù)列求和公式求和. 值得注意的是，想要發(fā)現(xiàn)這些有規(guī)律的項(xiàng)，需要將兩個式子的同類項(xiàng)列在同一列上，便于相減時發(fā)現(xiàn)其中的特點(diǎn)，如“差是什么”“有多少項(xiàng)（常為n或n－1項(xiàng)）”.

如果將“求和”的本質(zhì)理解為減少項(xiàng)數(shù)或化簡，那么轉(zhuǎn)化化歸就是錯位相減法求和，即將“非等比數(shù)列求和”轉(zhuǎn)化成“等比數(shù)列求和”來解決，也就是揭露等比數(shù)列與非等比數(shù)列的內(nèi)在聯(lián)系. 學(xué)生一旦明確錯位相減法求和的本質(zhì)與操作程序，解題的思維起點(diǎn)就高了，出錯誤的概率必然減少，教學(xué)成效也會顯著提高.

總之，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)不能因?yàn)閷W(xué)生有一定基礎(chǔ)就加快節(jié)奏，想要提高教學(xué)成效，必須立足學(xué)情與教學(xué)內(nèi)容的特征，放緩教學(xué)節(jié)奏、注重細(xì)節(jié)、學(xué)會寬容、等待學(xué)生，讓每個水平層次的學(xué)生都擁有暴露思維的機(jī)會，在充足的空間與時間內(nèi)進(jìn)行思考. 同時，作為一線數(shù)學(xué)教師應(yīng)不斷審視自身的教學(xué)行為，與時俱進(jìn)地更新教學(xué)理念，秉持教育公平，不斷提升自身的業(yè)務(wù)水平，讓每個學(xué)生都能在教學(xué)中獲得不同程度的發(fā)展.