李剛　楊軍

［摘? 要］ 文章以“二面角”的相關知識為例，探討基于深度學習的高中數(shù)學概念的教學策略，促進概念的理解性學習.

［關鍵詞］ 高中數(shù)學；概念教學；深度學習；教學策略；二面角

問題提出

隨著信息化時代的發(fā)展，為落實立德樹人這個根本任務，培養(yǎng)現(xiàn)代社會需要的人才，教育勢必會在學習方式及教學方式上發(fā)生變革. 《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》明確提出，要發(fā)展學生的核心素養(yǎng)，使學生具有科學文化素養(yǎng)和終身學習能力，具有自主發(fā)展能力和溝通合作能力. 而深度學習的提出，被認為是促進學生核心素養(yǎng)養(yǎng)成和全面發(fā)展的重要途徑之一［1］. 數(shù)學作為思維的科學，結合學科特性，教師需要引導學生從知識符號的學習轉向學科本質和學科思想方法的理解與掌握，幫助學生實現(xiàn)“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”的跨越，這不僅符合深度學習的內在需求，也是對數(shù)學教育的更高要求.

什么是深度學習

深度學習的概念源于對人工智能的研究，對于學生而言，深度學習是一種基于理解的學習［2］.

首先，數(shù)學深度學習圍繞數(shù)學核心問題展開，把學習置于有意義且真實的問題情境中，并且引領學生經歷數(shù)學核心問題的探究過程，走向數(shù)學意義的深刻理解，優(yōu)化數(shù)學認知結構，提升數(shù)學核心素養(yǎng).

其次，數(shù)學深度學習重視學生的學習過程，在整個過程中，教師為學生創(chuàng)設深度探究的情境，開發(fā)具有挑戰(zhàn)性的學習主題，帶領學生全身心參與，體驗成功、獲得發(fā)展，最終實現(xiàn)有意義的學習.

最后，數(shù)學深度學習注重挖掘知識背后的意義來培養(yǎng)學生的數(shù)學思維，幫助學生把握知識的本質，幫助學生學會學習.

二面角的深度教學探究

深度學習的主要目的是通過對核心知識的理解與掌握，培養(yǎng)學生的高階思維和關鍵能力，實現(xiàn)有意義的學習. 因此，二面角的深度教學需要分析二面角這個知識點中所蘊含的高階思維和關鍵能力是什么，從而確定深度學習的目標.

二面角是人教A版《普通高中教科書·數(shù)學（必修第二冊）》第八章“立體幾何初步”第六節(jié)的知識內容，其包括“二面角的定義”“二面角的平面角”等知識點. 二面角是高中空間立體幾何的基礎知識，重點研究空間角的關系，從結構上來說是從線面關系到面面關系的過渡，在本章起著承前啟后的作用. 本節(jié)內容蘊含了豐富的轉化思想，有關二面角的大多數(shù)問題可以空間問題平面化進行解決，并且可以總結出“空間化平面—幾何化代數(shù)—解決代數(shù)問題—分析結果完成幾何問題”的空間幾何基本思想.

因此，深度學習下的二面角概念教學，不僅需要培養(yǎng)學生的思維能力和空間想象能力，而且需要深挖知識點的整體架構，并幫助學生建立知識脈絡，通過對二面角的不斷探究，給學生提供解決二面角問題的一般思路.

確定深度教學環(huán)節(jié)，設置教學目標

根據對深度學習的分析論述，筆者比較贊同鄭毓信教授對深度教學環(huán)節(jié)的觀點：一般地，深度教學包括四個教學環(huán)節(jié)，（1）從學生已有的知識出發(fā)，聯(lián)系學生的生活經驗，做到知識的縱向遷移；（2）學科知識是深度教學的載體，通過問題的引領方式，使學生主動思維，推動知識的深度理解；（3）設置充分交流與互動環(huán)節(jié)，調動學生學習的積極性，激活學生對問題的思考，聯(lián)系新舊知識，實現(xiàn)有意義的學習；（4）總結學習過程，幫助學生學會學習，使深度學習真正發(fā)生.

因此，深度學習下的二面角概念教學，應從學生已有的經驗出發(fā)，即聯(lián)系角的相關知識，利用知識的發(fā)生發(fā)展過程創(chuàng)設真實的情境，通過問題引導學生層層深入，生成知識點，用具有挑戰(zhàn)性的問題，促使學生思考“為什么產生二面角”“為什么這樣定義”“二面角的價值是什么”，由此實現(xiàn)二面角的深度學習.

導向深度學習的數(shù)學教學目標要求在思維維度上指向高階思維，內容維度上聚焦學科本質，方法維度上強化問題解決，評價維度上凸顯實踐創(chuàng)新. 所以本節(jié)課的教學目標設置如下：

（1）類比角的概念，探究生成二面角相關知識點，通過對二面角的平面角定義的再探究，對二面角進行深度思考；通過總結，正確認識二面角在立體幾何中的地位，幫助學生達到知識縱向和橫向的建構.

（2）從有意義的情境出發(fā)，讓學生積極參與到課堂學習中來，通過對二面角的逐步探究，培養(yǎng)學生解決一般問題的能力，然后通過問題的解決，鍛煉學生運用類比、化歸等數(shù)學思想方法的能力，最后通過本節(jié)課的教學，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力，促進學生深度學習，落實核心素養(yǎng).

教學過程設計

1.創(chuàng)設符合學生認知特點的問題情境，引入二面角概念

引導語：在前面一節(jié)課，我們學習了直線與平面的關系，那么本節(jié)課自然而然就要學習平面與平面的關系. 本節(jié)課，請同學通過折紙，看看能有什么發(fā)現(xiàn).

問題1：對折一張紙，再把紙從重合展開至水平（如圖1所示）. 在此過程中，同學們觀察紙的形狀發(fā)生了什么變化？觀察翻紙產生的圖形，同學們能聯(lián)想到二維平面的什么圖形？

教師引導：對于這樣一個開放性問題，學生可能摸不著頭腦. 本節(jié)課開始旨在用紙的張口引出角的概念，因此教師可以指著紙的張口有引導性地把學生的思緒集中到本節(jié)課的知識內容上來.

設計意圖 溫故知新，通過具體的生活情境引導學生關注本節(jié)課的知識內容. 在紙的翻折過程中，最直觀的就是紙的張口發(fā)生了變化，因此可對紙的張口大小變化這一生活經驗進行提煉，引導性地提問：“當紙沒有閉合時，同學們從不同角度觀察，能發(fā)現(xiàn)什么嗎？”當有學生提出從側面看像一個角時，教師就要抓住這個閃光的想法加以引導，把紙的“張口”這一非數(shù)學語言轉化成數(shù)學語言，通過具體情境帶領學生逐步深入本節(jié)課知識點的學習.

小組討論：觀察紙的張口所形成的“角”，同學們能發(fā)現(xiàn)它與普通的角有什么不同嗎？

小結：類比平面角概念，發(fā)現(xiàn)平面角與二面角的不同之處. 第一，平面角是由兩條射線及其一個交點組成的，而二面角是由兩個平面及其一條公共直線組成的；第二，直線上的一點可以將這條直線分割成兩條射線，而平面則被一條直線分割成兩個半平面. 通過以上類比，可以得到二面角的定義：

定義1：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角（如圖2所示），這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面.棱為AB，面分別為α，β的二面角記作二面角α－AB－β. 有時為了方便，也可在α，β內（棱以外的半平面部分）分別取點P，Q，將這個二面角記作二面角P－AB－Q. 如果棱記作l，那么這個二面角還可以記作二面角α－l－β或二面角P－l－Q.

設計意圖 通過對本節(jié)課學習的“角”與之前學習的角進行異同類比，促使新舊知識發(fā)生了鏈接，從而得到二面角的定義，幫助學生對本節(jié)課知識建立了結構性認識，并且感悟到幾何知識從一維到二維、從平面到空間的整體性和連貫性.

2. 搭建遞進式思維過程，引入二面角的平面角概念

問題2：知道了二面角的存在，那么當紙閉合時，二面角的大小是多少度？把對折的紙打開至垂直和水平時，二面角的大小又分別是多少度？

追問：同學們能指出0°，90°，180°的角在哪里嗎？

教師引導學生思考：觀察圖1對折的紙，當紙重合時，從側面（左視圖）看，發(fā)現(xiàn)其像0°的角（垂直和水平類似）. 因此通過觀察我們找到，0°，90°，180°的角好像就在“折紙的橫截面”上.同學們想象一下，如果把“橫截面”所形成的角當作二面角來測量大小的話，那么這個“橫截面”所形成的“角”與所在平面、棱有什么位置關系呢？

設計意圖 認識往往是逐步明朗與不斷深入的過程，教師通過折紙的張口引入二面角，結合一般探究思路，持續(xù)引導學生對核心問題的明朗化與再聚焦，即怎么找出二面角的大小，所謂不憤不啟，不悱不發(fā)，從而促進學生深入思考.

通過思考與發(fā)現(xiàn)，得到了二面角的平面角的定義：

定義2：在二面角α－l－β（如圖3所示）的棱l上任取一點O，以O為垂足，在半平面α和β內分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構成的∠AOB叫做二面角的平面角.

設計意圖 對概念知識的教學，如果采用“告訴式”，學生日后回想概念時，往往是記憶模糊的，究其原因就是學生沒有參與到概念的生成過程中來.類比之前學習角的過程，從角的構成元素到角的大小，通過有引導性的提問，使學生認識到問題2的本質是找到二面角的平面角.教師應給學生一定的思考空間，讓學生自主發(fā)現(xiàn)二面角的平面角，然后再給出定義，加深學生對二面角的平面角定義的理解與記憶.

3. 對二面角的平面角定義的再思考

問題3：根據定義，請大家思考，為什么要用與棱垂直的兩條射線定義二面角的平面角呢？換言之，用與棱不垂直的兩條射線能否定義二面角的平面角呢？

追問：（1）用之前學習的特殊角，如與棱成30°，45°，60°夾角的射線可否定義二面角的平面角呢？

（2）回顧問題2，我們能發(fā)現(xiàn)二面角的取值范圍是多少嗎？

（3）用不與棱垂直的兩條射線定義二面角的平面角會產生什么結果？

設計意圖 對于一般的二面角教學，可能在引出相應概念后就結束了，而深度學習下的二面角教學則在學生掌握了一個新概念后，應繼續(xù)引導學生深入思考這一概念的本質，進一步思考相關概念的合理性，真正弄清為什么這樣定義. 通過一系列追問，由一般到特殊、由淺入深，潛移默化地幫助學生建立解決問題的一般思路.

問題4：我們發(fā)現(xiàn)與棱成60°夾角的射線不能定義二面角的平面角，類比推理出與棱成30°，45°夾角的射線也不行，于是把問題由特殊推廣到一般：與棱成γ角的兩條射線（0°≤γ<90°）是否可以定義二面角的平面角呢？

教師引導：先弄清問題，即在二面角α－l－β中（如圖5所示），在半平面α和β內分別作兩條射線OA，OB，它們與二面角的棱l所成的夾角均為γ（γ≠90°），記新定義的“平面角”為θ′，如果能計算出θ′的取值范圍，那么問題就得以解決.

設計意圖 雖從直觀經驗上驗證了概念的準確性，但仍應促使學生深入思考，對概念做出必要的檢驗，從特殊推廣到一般. 經過從簡到難、循序漸進的教學過程，使學生對二面角的概念有了一個更加清晰、更加深刻的認識.

對二面角深度教學的思考

1. 從表層教學向深度教學轉變

從二面角概念的深度教學來說，教師應打通知識壁壘，啟發(fā)學生積極思考，把腦海中的零散知識條理化，幫助學生建立知識間的縱向聯(lián)系，促進知識間的正遷移，形成按照邏輯順序由簡單到復雜、由低維到高維的結構性認識，把握二面角相關內容，更好地認識二面角與角的內在聯(lián)系，建立關于幾何的整體性認識.

從數(shù)學概念的深度學習來說，應強調學生多思考數(shù)學概念，利用數(shù)學概念解決問題和實現(xiàn)創(chuàng)新，養(yǎng)成數(shù)學素養(yǎng)，實現(xiàn)終身發(fā)展. 因此筆者認為，在深度教學數(shù)學概念前，教師應深度理解課標要求、教材意圖、概念本質、學生現(xiàn)實、教學程式，從而在教學中落實學生的“四基”，提高學生的數(shù)學能力，促進學生深度學習的發(fā)生.

2. 注重概念的理解性學習，促進數(shù)學深度學習，落實課標要求

在深度教學數(shù)學概念中，教師應注重學生對數(shù)學概念的理解性學習，通過深度教學設計，力求將“冰冷死寂”的數(shù)學轉化為“充滿活氣”的數(shù)學. 教師應在理解教材、學生、教法的基礎上，通過真實有效的問題情境，引導學生由淺入深地開展思維探究活動，深挖概念的教育價值，使學生不僅理解概念，還會用概念，并且體會概念中蘊含的豐富的數(shù)學思想. 在及時有效的提問與追問下，不斷激活學生思維，達到舉一反三的課程效果. 深度學習必然引發(fā)學生對數(shù)學更深層次的理解，建構更新認知結構，逐步形成正確的數(shù)學觀，最終養(yǎng)成用數(shù)學去理解實際生活、理解世界萬物的良好素養(yǎng).

參考文獻：

［1］ 鄭毓信. “數(shù)學深度教學”的理論與實踐［J］. 數(shù)學教育學報，2019，28（05）：24-32.

［2］ 劉月霞，郭華. 深度學習：走向核心素養(yǎng)（理論普及讀本）［M］. 北京：科學教育出版社，2018.