袁薇　楊族橋

［摘? 要］ 文章基于PME視角，針對(duì)如何提升學(xué)生的知識(shí)遷移能力，從理論基礎(chǔ)、學(xué)習(xí)心理、非智力因素、認(rèn)知結(jié)構(gòu)四方面對(duì)房貸問(wèn)題的教學(xué)進(jìn)行了研究，提出了進(jìn)一步提高學(xué)生知識(shí)遷移能力的策略，以期對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)有一定的幫助.

［關(guān)鍵詞］ PME；知識(shí)遷移能力；房貸模型；策略研究

知識(shí)遷移能力指的是在不同的知識(shí)間構(gòu)建起一種聯(lián)系，將一種解題思想遷移到另一個(gè)知識(shí)點(diǎn). 在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，知識(shí)遷移是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的普遍現(xiàn)狀，也是新知識(shí)形成的必由之路［1］. 當(dāng)前背景下許多問(wèn)題都有著類似的解題思路，因此通過(guò)提高學(xué)生的知識(shí)遷移能力，可以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)與思維方式，從而更好地掌握數(shù)學(xué)知識(shí). 本文從數(shù)學(xué)教育心理學(xué)（Psychology of Mathematics Education，簡(jiǎn)記為PME）的視角出發(fā)，結(jié)合一個(gè)實(shí)例來(lái)透析提高學(xué)生知識(shí)遷移能力的策略.

PME的內(nèi)涵與價(jià)值

PME即數(shù)學(xué)教育心理學(xué)，它以教育學(xué)、心理學(xué)相關(guān)理論為基礎(chǔ)，從學(xué)生的角度出發(fā)，專門研究學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的心理變化規(guī)律、教師如何利用學(xué)生的心理特征有效進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)［2］. 當(dāng)前教育改革背景下，PME理論研究主要包括以下四個(gè)方面：（1）理論基礎(chǔ)研究，從行為主義視角過(guò)渡到認(rèn)知主義視角，從學(xué)生的外部行為研究轉(zhuǎn)向其內(nèi)在心理研究；（2）學(xué)習(xí)心理研究，研究學(xué)生在學(xué)習(xí)中遇到障礙的原因、心理變化；（3）非智力因素研究，研究學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)、價(jià)值觀等對(duì)其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響；（4）認(rèn)知結(jié)構(gòu)研究. 這些研究與知識(shí)遷移能力都有著密不可分的聯(lián)系. 大家知道數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S和科學(xué)的方法，相對(duì)于語(yǔ)言類學(xué)科，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難度更大，因此更應(yīng)該研究學(xué)生的心理，讓學(xué)生從心里去接受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，進(jìn)而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)與創(chuàng)新能力.

知識(shí)遷移能力的重要性

知識(shí)遷移是落實(shí)核心素養(yǎng)的重要途徑，知識(shí)遷移能力就是學(xué)習(xí)者在解決問(wèn)題時(shí)利用已有知識(shí)獲得新知識(shí)的能力，知識(shí)遷移能力在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)能力中發(fā)揮著舉足輕重的作用［3］. 隨著新課標(biāo)的發(fā)布，作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)也被重視. 數(shù)學(xué)建模就是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法去解決數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，而培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的關(guān)鍵在于讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中建立一個(gè)個(gè)模型去解決一系列類似的問(wèn)題，與知識(shí)遷移能力有著眾多的共同之處. 具體而言，就是利用知識(shí)遷移，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，促進(jìn)不同情境中的問(wèn)題得以解決. 由此發(fā)現(xiàn)，知識(shí)遷移能力本質(zhì)上就是數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的一部分，因而培養(yǎng)好學(xué)生的知識(shí)遷移能力對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展具有重要作用［4］.

PME視角下提高知識(shí)遷移能力的策略

近些年社會(huì)的快速發(fā)展使得房?jī)r(jià)不斷上漲，購(gòu)房成了很多人甚至家庭的困擾，而貸款購(gòu)房是解決這一困擾的主要方法之一. 大家知道，還房貸一般有兩種方法——等額本息法、等額本金法. 其中等額本息法是指將應(yīng)該歸還銀行的本金與利息總額平攤到每個(gè)還款月，在利率不變的情況下，每個(gè)月的還款數(shù)額不變. 而房貸問(wèn)題與等比數(shù)列知識(shí)息息相關(guān)，對(duì)該問(wèn)題的研究，不僅有助于學(xué)生鞏固課堂知識(shí)，而且能讓學(xué)生在建模的過(guò)程中，運(yùn)用相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)、方法解決該問(wèn)題，使得學(xué)生在感受“數(shù)學(xué)服務(wù)于生活”的同時(shí)，促進(jìn)知識(shí)遷移. 下面從三個(gè)角度詳細(xì)闡述.

1. 立足課本知識(shí)，形成建模經(jīng)驗(yàn)

在學(xué)習(xí)方面，學(xué)生已經(jīng)接觸了等差數(shù)列、函數(shù)等相關(guān)知識(shí)，而等比數(shù)列與等差數(shù)列在學(xué)習(xí)上是有很大相似之處的，并且等比數(shù)列是一個(gè)特殊的函數(shù)，通過(guò)之前知識(shí)的學(xué)習(xí)，學(xué)生的思維能力有所提高，但在抽象概括、語(yǔ)言表達(dá)等方面的能力有待加強(qiáng). 雖說(shuō)這些知識(shí)點(diǎn)相互聯(lián)系，但倘若不結(jié)合學(xué)生的心理，一味地進(jìn)行同化教學(xué)，學(xué)生不可能很好地理解等比數(shù)列相關(guān)知識(shí)的本質(zhì)，造成知識(shí)結(jié)構(gòu)的不完整性，當(dāng)遇到較為復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，學(xué)生便束手無(wú)策. 因此可以適當(dāng)引入生活情境，對(duì)于這類情境，學(xué)生較為熟悉，可以大大降低讀不懂題意、語(yǔ)言轉(zhuǎn)換困難等情況發(fā)生. 這樣不僅不會(huì)挫敗學(xué)生的自信心，而且能給學(xué)生一定的心理支持，更有利于學(xué)生進(jìn)一步思考、探索解決數(shù)列相關(guān)問(wèn)題的思想和方法，為之后知識(shí)遷移能力的提高奠定良好的基礎(chǔ).

人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修二（2019年版）第四章第三節(jié)“等比數(shù)列”中，在概念引入環(huán)節(jié)提及銀行存款以及復(fù)利的問(wèn)題，教學(xué)中教師要立足課本例題提問(wèn)：

分析 在高中數(shù)學(xué)建模課堂中，教師要多讓學(xué)生自己去動(dòng)手實(shí)踐，而最直接的實(shí)踐便是解決教材中的相關(guān)應(yīng)用題.教材是基礎(chǔ)，高中數(shù)學(xué)教師首先自身要重視教材的使用，其次要加強(qiáng)學(xué)生對(duì)教材的關(guān)注，有效利用教材中的應(yīng)用題，引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)踐中發(fā)展數(shù)學(xué)建模思維、能力，不斷提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng). 但高中數(shù)學(xué)教材中應(yīng)用題的數(shù)據(jù)都經(jīng)過(guò)一定處理，過(guò)于理想化，且難度一般，不能很好地在解決這些應(yīng)用題的同時(shí)有效提高學(xué)生的知識(shí)遷移能力. 因此，需要教師對(duì)教材中的例習(xí)題進(jìn)行改革創(chuàng)新，從生活中找出實(shí)例，然后引導(dǎo)學(xué)生分析解答.

在解決購(gòu)房貸款問(wèn)題前，本文立足課本，用課本例題引入等比數(shù)列，把新情境與舊知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，有助于學(xué)生將生活中對(duì)“利息”及“復(fù)利”的認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)式子，培養(yǎng)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型的意識(shí)，讓學(xué)生了解到等比數(shù)列與貸款問(wèn)題之間的聯(lián)系，這樣學(xué)生更容易識(shí)別貸款問(wèn)題模型，不僅是對(duì)等比數(shù)列、指數(shù)函數(shù)等知識(shí)的延伸應(yīng)用，而且為新情境中模型的建立提供了框架. 同時(shí)，大多數(shù)學(xué)建模內(nèi)容都是源于生活的，房貸問(wèn)題與實(shí)際生活的聯(lián)系較為緊密，在模型解決的過(guò)程中，學(xué)生能夠有效感受到該模型的現(xiàn)實(shí)價(jià)值以及存在的意義.

2. 用數(shù)學(xué)眼光分析，提供認(rèn)知腳支架

從知識(shí)表征形式來(lái)看，等比數(shù)列相關(guān)知識(shí)屬于陳述性知識(shí)，但在問(wèn)題解決中，這些理論知識(shí)是問(wèn)題解決的基礎(chǔ)，這時(shí)它屬于程序性知識(shí). 在教學(xué)中，教師要緊密關(guān)注學(xué)生的元認(rèn)知能力，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)生活情境中的問(wèn)題進(jìn)行觀察、分析、思考，為學(xué)生提供認(rèn)知腳支架，使學(xué)生了解下一步要做什么、困難是什么、要用到什么方法等，引導(dǎo)學(xué)生將情境中的數(shù)學(xué)問(wèn)題與所學(xué)知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò). 在這個(gè)過(guò)程中還可以有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，開(kāi)闊學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，進(jìn)而提高學(xué)生的知識(shí)遷移能力.

3. 提升數(shù)學(xué)審美，調(diào)動(dòng)學(xué)生興趣

結(jié)論

現(xiàn)代教育愈來(lái)愈注重學(xué)生的心理發(fā)展，而數(shù)學(xué)建模是對(duì)操作者要求較高的課程，更應(yīng)該與心理學(xué)相結(jié)合，PME理論正好體現(xiàn)到這一點(diǎn). 本文以房貸模型為例，結(jié)合PME理論，對(duì)于如何提高學(xué)生知識(shí)遷移能力提出了相關(guān)策略. 但依舊存在著不足之處：高中數(shù)學(xué)內(nèi)容較多，本文只是以等比數(shù)列知識(shí)為切入點(diǎn)，對(duì)于學(xué)生的心理研究還不夠細(xì)致，在今后的學(xué)習(xí)中，筆者會(huì)對(duì)以上存在的問(wèn)題進(jìn)行反思、改善.

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