［摘? 要］ 將思維導(dǎo)圖應(yīng)用在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中，能讓知識變得更具層次性、邏輯性與整體性. 文章從“基礎(chǔ)知識梳理，建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)”“解題思路梳理，形成解法體系”“輔助變式訓(xùn)練，優(yōu)化問題串鏈”三方面例談思維導(dǎo)圖的實(shí)際應(yīng)用，并從“注重‘以生為本”“難度循序漸進(jìn)”“過程因人制宜”“點(diǎn)評足履實(shí)地”四方面談一些思考.

［關(guān)鍵詞］ 思維導(dǎo)圖；復(fù)習(xí)教學(xué)；變式

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（簡稱“新課標(biāo)”）提出：數(shù)學(xué)課堂上，教師應(yīng)盡可能地利用一切教學(xué)手段激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，以啟發(fā)學(xué)生的思維，促進(jìn)創(chuàng)造性意識的形成. 常規(guī)按部就班的復(fù)習(xí)教學(xué)模式，常因缺乏提煉與總結(jié)，使得學(xué)生對知識的認(rèn)識處于點(diǎn)線狀，難以讓學(xué)生真正意義上建構(gòu)完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu). 而思維導(dǎo)圖的應(yīng)用則讓課堂顯得更具層次性、邏輯性與整體性.

思維導(dǎo)圖的應(yīng)用

思維導(dǎo)圖是東尼·博贊根據(jù)人類大腦工作原理而創(chuàng)造出來的一種能有效啟發(fā)人類思維、鍛煉人類智力的思維工具. 它作為具有統(tǒng)籌功能的思維工具，不僅能激發(fā)學(xué)生思維的深刻性，還能可視化學(xué)生的學(xué)習(xí)思路與認(rèn)知線路. 將思維導(dǎo)圖應(yīng)用到高三復(fù)習(xí)教學(xué)中，能起到優(yōu)化學(xué)生的思維、激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識、提升學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)等作用.

1. 基礎(chǔ)知識梳理，建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)

高三復(fù)習(xí)，不再是幫助學(xué)生尋找、鞏固各個(gè)章節(jié)現(xiàn)有的結(jié)構(gòu)，而是帶領(lǐng)學(xué)生自主總結(jié)、梳理之前接觸過的知識、技能、規(guī)律與解題技巧等，鼓勵(lì)學(xué)生在自己原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，理解性地加工并構(gòu)建出具有個(gè)體色彩的知識結(jié)構(gòu)圖.

案例1 “立體幾何”的復(fù)習(xí).

立體幾何涉及的知識面廣、量大且雜. 在復(fù)習(xí)時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生以空間幾何體作為核心知識，從簡單幾何體與點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系兩個(gè)角度進(jìn)行分類. 其中，點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系存在垂直與平行兩個(gè)模塊；簡單幾何體存在分類、畫法、表面積與體積三個(gè)模塊. 只要引導(dǎo)學(xué)生在大腦中建構(gòu)出這個(gè)“知識樹”的主干，那么立體幾何的思維導(dǎo)圖就基本形成.

學(xué)生在整理知識時(shí)，可將各個(gè)知識納入該主干網(wǎng)絡(luò)，迅速檢索相匹配的知識線路，達(dá)到觸類旁通的境界. 這種知識梳理方式不僅能促進(jìn)學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)腦，還能讓學(xué)生從整體上把握知識結(jié)構(gòu)與知識之間的聯(lián)系，最終建構(gòu)成清晰、完整的立體幾何概念網(wǎng)絡(luò)圖（見圖1）.

隨著立體幾何思維導(dǎo)圖的誕生，學(xué)生對零碎的知識有了一個(gè)系統(tǒng)完整的認(rèn)識，在后續(xù)解題時(shí)就能用辯證的眼光去分析與處理. 由此可見，思維導(dǎo)圖具有梳理知識、完善體系的重要作用.

2. 解題思路梳理，形成解法體系

例題教學(xué)在高三復(fù)習(xí)中占有重要地位，它能有效幫助學(xué)生理解并應(yīng)用所學(xué)知識進(jìn)行解題，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展. 講題、解題是高三復(fù)習(xí)教學(xué)亙古不變的主題. 正如愛因斯坦所認(rèn)為的：若將結(jié)論直接呈現(xiàn)在學(xué)習(xí)者面前，則學(xué)習(xí)者無法體會探索與發(fā)現(xiàn)的樂趣，更無法感知數(shù)學(xué)思想方法的形成過程，難以清楚地理解實(shí)際情況.

鑒于此，在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)注重結(jié)論與知識形成過程的關(guān)系，帶領(lǐng)學(xué)生借助思維導(dǎo)圖可視化的特點(diǎn)，充分理解知識建構(gòu)與問題解決的過程. 同時(shí)，將一些難以形容的虛擬信息轉(zhuǎn)化成清晰的導(dǎo)圖形式，為學(xué)生思考提供依據(jù)與方向，學(xué)生根據(jù)豐富可視的導(dǎo)圖展開分析、聯(lián)想，獲得解決問題的方案.

案例2 若△ABC是一個(gè)等腰三角形，已知AB=AC，線段BD為腰AC的中線，BD=3，則△ABC的最大面積是多少？

本題是一道經(jīng)典例題，題干簡潔明了，但涉及的知識點(diǎn)與數(shù)學(xué)思想?yún)s很豐富. 本題可以從“數(shù)”與“形”兩個(gè)角度進(jìn)行分析解決，如從“形”的角度構(gòu)造阿波羅尼斯圓或直角三角形；從“數(shù)”的角度聯(lián)系二次函數(shù)、角表示邊以及基本不等式等知識.

解題方法很多，學(xué)生在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，難以從整體出發(fā)全面掌握并選取最優(yōu)解題方法. 若將每種解題方法羅列到一起，用思維導(dǎo)圖進(jìn)行展示則清晰明了，各種解題方法的優(yōu)勢也一目了然.

3. 輔助變式訓(xùn)練，優(yōu)化問題串鏈

高三復(fù)習(xí)內(nèi)容多、題量大，“題海戰(zhàn)術(shù)”百害而無一利，那么用什么樣的方法能讓最少的問題全面覆蓋學(xué)生的知識與技能呢？實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，精選典型例題，通過問題串鏈的方式進(jìn)行變式訓(xùn)練是完善學(xué)生認(rèn)知體系、提煉數(shù)學(xué)思想方法的基本載體.

摒棄“就題論題”的教學(xué)方式，對經(jīng)典例題進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊辍⒆兓?、挖掘等，能最大限度地提升每一個(gè)問題的教學(xué)價(jià)值與意義，實(shí)現(xiàn)知識的融會貫通. 最常見的是變式教學(xué)，它可將一些靜態(tài)問題延伸為動(dòng)態(tài)內(nèi)容，但知識本質(zhì)與核心思想并不會因?yàn)閱栴}的變化而發(fā)生改變. 一般情況下，復(fù)習(xí)課型會將變式教學(xué)滲透其中，讓學(xué)生萬變不離其宗提煉數(shù)學(xué)思想方法，感悟知識本質(zhì).

變式教學(xué)一般從小題熱身開始，通過經(jīng)典例題來拓展變式，學(xué)生的思維經(jīng)歷由淺入深的變化過程. 將思維導(dǎo)圖應(yīng)用在變式過程中，不僅能幫助學(xué)生鏈接各個(gè)知識點(diǎn)，還能促使學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)知識點(diǎn)間的聯(lián)系，形成相應(yīng)的解題技巧，發(fā)展邏輯推理能力.

案例3 如圖2所示，若F是拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，過點(diǎn)K（－1，0）的直線l和拋物線C：y2=4x相交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)恰好為D. 證明：點(diǎn)F必然是直線BD上的一點(diǎn).

具體證明過程如下：

為幫助學(xué)生厘清本題條件與結(jié)論之間的關(guān)系，在解決本題的基礎(chǔ)上，進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)與點(diǎn)撥，鼓勵(lì)學(xué)生將解析所獲得的條件與結(jié)論用思維導(dǎo)圖的方式整理出來（見圖3），并根據(jù)變式設(shè)計(jì)原理，從不同的條件與結(jié)論出發(fā)，為變式訓(xùn)練的開展提供明確的設(shè)計(jì)思路.

（1）問題的變式.

變式1 條件“點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)恰好為D”（第三條件）與結(jié)論互換.

已知F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，過點(diǎn)K（－1，0）的直線l與拋物線C相交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)B，F(xiàn)的連線與拋物線C相交于點(diǎn)D. 證明：AD與x軸是垂直的關(guān)系.

變式2 條件“過點(diǎn)K（－1，0）的直線l與拋物線C相交于點(diǎn)A，B”（第二條件）與結(jié)論互換.

已知F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，直線l過點(diǎn)F，且與拋物線C相交于點(diǎn)B，D，過點(diǎn)D作x軸的垂線與拋物線C相交于點(diǎn)A. 證明：直線AB必過定點(diǎn)K（－1，0）.

（2）問題的推廣.

變式3 已知F是拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)，，0的直線l與拋物線C相交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)恰好為D. 證明：點(diǎn)F，0是直線BD上的一點(diǎn).

變式4 條件“點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)恰好為D”（第三條件）和結(jié)論互換.

已知F是拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)，，0的直線l與拋物線C相交于點(diǎn)A，B，若BF與拋物線相交于點(diǎn)D. 證明：AD與x軸為垂直的關(guān)系.

變式5 條件“過點(diǎn)K－，0的直線l與拋物線C相交于點(diǎn)A，B”（第二條件）與結(jié)論互換.

已知F是拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l與拋物線C相交于點(diǎn)B，D，過點(diǎn)D作x軸的垂線與拋物線C相交于點(diǎn)A. 證明：直線AB必過定點(diǎn)K－，0.

變式6 更換焦點(diǎn)F為一般點(diǎn)（a，0）（a>0）.

已知過點(diǎn)K（－a，0）（a>0）的直線l與拋物線C：y2=2px（p>0）相交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為D. 證明：點(diǎn)Q（a，0）必然位于直線BD上.

（3）問題的遷移.

變式7 將問題背景換為橢圓.

變式8 將問題背景換為雙曲線.

在思維導(dǎo)圖的幫助下，本題的變式拓展條理清晰，難度由淺入深，知識基本上全面覆蓋. 學(xué)生通過一道例題的研究，就能全面、深刻地理解這一類知識. 這種教學(xué)方式與新課標(biāo)所倡導(dǎo)的“減負(fù)增效”“以生為本”等理念相契合.

幾點(diǎn)思考

1. 注重“以生為本”

新課標(biāo)提出：教師應(yīng)為學(xué)生提供充足的時(shí)間與空間，讓學(xué)生親歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證與推理等活動(dòng)過程，充分感知學(xué)習(xí)是活潑、主動(dòng)且富有個(gè)性的動(dòng)態(tài)過程. 由此可見，讓學(xué)生動(dòng)起來是教學(xué)的核心，但光“動(dòng)”還不夠，教師還要制造一些機(jī)會給學(xué)生帶來心理、智力與認(rèn)知上的挑戰(zhàn)，只有真正地“震撼”到學(xué)生的內(nèi)心，才能從真正意義上打造出“活而不亂”“動(dòng)靜結(jié)合”的課堂.

將思維導(dǎo)圖應(yīng)用到復(fù)習(xí)教學(xué)中，要注意不能急于求成，而要給予學(xué)生充足的時(shí)間與空間，讓學(xué)生自主探索、繪制、總結(jié)，若將思維導(dǎo)圖模式化，就會嚴(yán)重束縛學(xué)生的思維，無法將思維導(dǎo)圖的作用落到實(shí)處.

2. 難度循序漸進(jìn)

復(fù)習(xí)課型一般具備容量大、時(shí)間緊等特點(diǎn)，思維導(dǎo)圖可幫助學(xué)生在短時(shí)間內(nèi)認(rèn)識更多的知識，構(gòu)建完整的知識結(jié)構(gòu)，因此將思維導(dǎo)圖應(yīng)用到復(fù)習(xí)課堂上是不錯(cuò)的選擇. 在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生的基礎(chǔ)水平差異、接受能力差異等，在課程安排上應(yīng)遵循循序漸進(jìn)、由淺入深，難度呈階梯狀上升的原則，讓學(xué)生經(jīng)歷思維逐層遞進(jìn)的過程，從而繪制出完整的思維導(dǎo)圖，并建構(gòu)完整的知識結(jié)構(gòu).

3. 過程因人制宜

新課標(biāo)一再強(qiáng)調(diào)：要為學(xué)生營造獨(dú)立思考、自主探究、合作交流的學(xué)習(xí)環(huán)境，以增強(qiáng)學(xué)生的實(shí)踐與創(chuàng)造力. 在這種理念的驅(qū)使下，改變教師“一言堂”的現(xiàn)狀勢在必行. 在應(yīng)用思維導(dǎo)圖進(jìn)行教學(xué)時(shí)，教師可綜合了解學(xué)生的認(rèn)知水平、家庭背景、興趣愛好、心理素質(zhì)與學(xué)習(xí)能力等，為建立“組間同質(zhì)，組內(nèi)異質(zhì)”的學(xué)習(xí)小組奠定基礎(chǔ). 良好的合作小組能有效地將碎片化知識增構(gòu)建成結(jié)構(gòu)清晰的圖式，因人制宜的過程使得每一個(gè)學(xué)生都獲得發(fā)展的機(jī)會.

4. 點(diǎn)評腳踏實(shí)地

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)評價(jià)不僅要注重學(xué)生對基礎(chǔ)知識與技能的掌握，還要注重?cái)?shù)學(xué)核心素養(yǎng)形成與發(fā)展的情況；課程評價(jià)不僅要注重教學(xué)成效，還要注重學(xué)習(xí)過程. 在課堂中，師生圍繞思維導(dǎo)圖積極互動(dòng)與交流，并對導(dǎo)圖內(nèi)容進(jìn)行點(diǎn)評，點(diǎn)評方式多樣化，如生生互評、教師點(diǎn)評等. 點(diǎn)評時(shí)要注意引導(dǎo)學(xué)生耐心傾聽與思考，充分了解設(shè)計(jì)者的真實(shí)想法，從中獲得啟示. 當(dāng)然，教師應(yīng)多角度鼓勵(lì)與肯定學(xué)生的成果，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)信心.

總之，思維導(dǎo)圖作為一種脈絡(luò)清晰、指向明確的信息處理工具，能讓知識變得更具層次性、邏輯性與整體性，繪圖過程不僅能陶冶學(xué)生的情操，還能有效促進(jìn)學(xué)生形成與發(fā)展獨(dú)立思考能力和數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

作者簡介：孫卿卿（1986—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.