［摘? 要］ 文章以深度學(xué)習(xí)為理念，設(shè)計(jì)等比數(shù)列概念教學(xué)，注重學(xué)生的自主探究、交流表達(dá)、合作討論、動(dòng)手操作，促進(jìn)知識(shí)的深度加工與知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建，重視學(xué)生的主體地位，提高學(xué)生的課堂參與度，從而落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 深度學(xué)習(xí)；等比數(shù)列；概念教學(xué)

等比數(shù)列是“數(shù)列”一章的重要內(nèi)容之一，學(xué)生之前學(xué)過(guò)等差數(shù)列，掌握了研究數(shù)列模型的內(nèi)容和方法. 學(xué)生可以類比等差數(shù)列的研究過(guò)程自主探究等比數(shù)列，但等差數(shù)列對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)等比數(shù)列具有一定的負(fù)遷移作用. 因此，理解等比數(shù)列的概念成了探究的起始點(diǎn). 數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生自有其歷史性和必要性，具有重要的教育價(jià)值. 概念是性質(zhì)和定理等的出發(fā)點(diǎn)和推導(dǎo)依據(jù)，學(xué)生只有明白概念形成的來(lái)龍去脈，理解概念出現(xiàn)的條件，使用時(shí)才能有的放矢，才會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光去看待、發(fā)現(xiàn)、提出問(wèn)題，從而提高思維水平和創(chuàng)造能力.

教學(xué)設(shè)計(jì)思想

1. 設(shè)計(jì)理念

深度學(xué)習(xí)，是信息化時(shí)代對(duì)人類學(xué)習(xí)的必然要求，是學(xué)習(xí)者能動(dòng)地參與教學(xué)的總稱［1］，是學(xué)習(xí)者在記憶、理解的基礎(chǔ)上積極主動(dòng)的批判性學(xué)習(xí)，能對(duì)知識(shí)進(jìn)行批判理解、主動(dòng)聯(lián)系、整合信息、完善結(jié)構(gòu)、遷移應(yīng)用等. 深度學(xué)習(xí)以“學(xué)”為中心，讓學(xué)生在知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的最近發(fā)展區(qū)去理解、分析已有知識(shí)，對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行深度加工，通過(guò)探究、合作和評(píng)價(jià)獲得新知識(shí)［2］.

深度學(xué)習(xí)是相對(duì)于淺層學(xué)習(xí)而言的. 深度學(xué)習(xí)的三個(gè)具體特征表現(xiàn)在：

第一，從整體視角了解知識(shí)結(jié)構(gòu)，從信息整合的角度達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的真正理解，包括學(xué)生的發(fā)散思維、研究判斷、學(xué)習(xí)反思等認(rèn)知活動(dòng). 相對(duì)而言，淺層學(xué)習(xí)只是無(wú)聯(lián)系、碎片化地接受知識(shí)，數(shù)學(xué)概念也僵化在機(jī)械背誦或暫時(shí)記憶的層面.

第二，對(duì)知識(shí)進(jìn)行多元構(gòu)建，并強(qiáng)調(diào)遷移運(yùn)用. 深度學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)框架的構(gòu)建，促進(jìn)學(xué)生探尋知識(shí)背后的思想方法，從而幫助學(xué)生觸摸數(shù)學(xué)的本質(zhì). 相反，淺層學(xué)習(xí)忽視知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建，一味運(yùn)用“套路”解題.

第三，重視數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系，在真實(shí)情境中挖掘材料、深度加工，培養(yǎng)學(xué)生終身學(xué)習(xí)的習(xí)慣. 深度學(xué)習(xí)區(qū)別于淺層學(xué)習(xí)的一個(gè)重要特征在于深度學(xué)習(xí)是學(xué)生主動(dòng)接受和思考的過(guò)程，而淺層學(xué)習(xí)是學(xué)生被動(dòng)接受和思考的過(guò)程［3］.

2. 設(shè)計(jì)背景

由于教學(xué)觀念、教學(xué)進(jìn)度和現(xiàn)實(shí)因素，傳統(tǒng)教學(xué)模式往往忽略概念教學(xué)中的引入和理解探究環(huán)節(jié)，將時(shí)間和精力更多地放在解題環(huán)節(jié). 導(dǎo)致的結(jié)果是大部分學(xué)生對(duì)于定義、公式、定理的記憶效率低下，在實(shí)際解題時(shí)不知從何下手.

首先，高中數(shù)學(xué)具有高度抽象、符號(hào)化的特點(diǎn)，所以學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的真正掌握存在困難. 其次，傳統(tǒng)的教學(xué)模式直接下定義，導(dǎo)致學(xué)生無(wú)法準(zhǔn)確理解概念，只能在一知半解的情況下去解題，無(wú)法真正發(fā)展數(shù)學(xué)思維.

因此，恰當(dāng)合理地引入概念，幫助學(xué)生更好地發(fā)散思維、理解概念，使學(xué)生明確概念的本質(zhì)，是數(shù)學(xué)概念教學(xué)的重點(diǎn)，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有重要作用.

教學(xué)目標(biāo)

教學(xué)目標(biāo)是教學(xué)活動(dòng)的出發(fā)點(diǎn)，是通過(guò)教學(xué)期望達(dá)到的結(jié)果. 為了促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，教學(xué)目標(biāo)的設(shè)計(jì)應(yīng)以知識(shí)點(diǎn)為載體，將知識(shí)、技能、過(guò)程、方法等目標(biāo)通過(guò)具體行為落實(shí)到學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)中［4］.

（1）在數(shù)量關(guān)系的視角下發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，并用數(shù)列進(jìn)行刻畫(huà)，提高數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模能力.

（2）依據(jù)等差數(shù)列的研究?jī)?nèi)容和方法，經(jīng)歷聯(lián)想、類比等過(guò)程，探索等比數(shù)列概念的形成，并注意兩者的區(qū)別.

（3）在舉例中辨析等比數(shù)列的概念，建立等比數(shù)列的概念結(jié)構(gòu).

（4）運(yùn)用定義判斷或證明等比數(shù)列，體會(huì)符號(hào)語(yǔ)言的重要性，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng).

（5）經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象和自主探究的過(guò)程，提高探究能力，領(lǐng)悟類比、從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法.

教材分析

1. 知識(shí)結(jié)構(gòu)

本課內(nèi)容是蘇教版選擇性必修第一冊(cè)第4章“數(shù)列”的4.3節(jié)“等比數(shù)列”的第一課時(shí)“等比數(shù)列的概念”.

等比數(shù)列在現(xiàn)實(shí)生活中有廣泛應(yīng)用，是用來(lái)刻畫(huà)一類離散現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型. 教材在內(nèi)容設(shè)計(jì)上也是從實(shí)際情境出發(fā)，類比等差數(shù)列引出等比數(shù)列的定義，通過(guò)舉例、運(yùn)算、證明等活動(dòng)探究等比數(shù)列的特點(diǎn)和證明方法，讓學(xué)生體會(huì)等比數(shù)列學(xué)習(xí)的合理性和必要性，理解等比數(shù)列的概念，并能學(xué)以致用.

2. 教學(xué)重難點(diǎn)分析

教學(xué)重點(diǎn)：等比數(shù)列的定義，從中推導(dǎo)出等比數(shù)列的特征.

教學(xué)難點(diǎn)：應(yīng)用等比數(shù)列的定義證明等比數(shù)列，證明過(guò)程中強(qiáng)調(diào)等比數(shù)列每一項(xiàng)不為0.

教學(xué)過(guò)程

1. 知識(shí)回顧，溫故知新

教師：在開(kāi)始新課前我們先來(lái)回顧一下之前所學(xué)的等差數(shù)列.

問(wèn)題1：等差數(shù)列是怎樣定義的？

問(wèn)題2：等差數(shù)列用符號(hào)語(yǔ)言是如何表示的？

問(wèn)題3：我們是怎樣判斷或證明等差數(shù)列的？

根據(jù)學(xué)生的回答，構(gòu)建關(guān)于等差數(shù)列概念的思維導(dǎo)圖，如圖1所示.

設(shè)計(jì)意圖 弗賴登塔爾認(rèn)為，數(shù)學(xué)是充滿聯(lián)系的，不要教孤立的片段，應(yīng)該教聯(lián)系的材料. 在復(fù)習(xí)的過(guò)程中，回顧等差數(shù)列的研究?jī)?nèi)容和研究方法，促進(jìn)學(xué)生用聯(lián)系等差數(shù)列的觀點(diǎn)去觀察和思考問(wèn)題，通過(guò)思維導(dǎo)圖全面回顧、梳理總結(jié)，為學(xué)習(xí)和理解等比數(shù)列的概念提供知識(shí)準(zhǔn)備.

2. 創(chuàng)設(shè)情境，抽象特征

活動(dòng)1：讓每一位學(xué)生都用一張A4紙不斷對(duì)折，在對(duì)折的過(guò)程中觀察并思考，哪些量發(fā)生了變化？有怎樣的變化規(guī)律？以四人為一組，交流討論其發(fā)現(xiàn).

學(xué)生發(fā)現(xiàn)：紙的厚度在增加，每對(duì)折一次厚度變?yōu)橹暗?倍；紙的面積在減少，每對(duì)折一次面積變?yōu)橹暗?

筆者播放視頻，讓學(xué)生了解一張紙對(duì)折50次的厚度，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

思考1：視頻中的折紙厚度問(wèn)題即折紙層數(shù)問(wèn)題，你能從中得到怎樣的數(shù)列？

問(wèn)題4：請(qǐng)大家寫(xiě)一寫(xiě)折紙層數(shù)所構(gòu)成的數(shù)列.

問(wèn)題5：將A4紙的面積視為“1”，請(qǐng)大家寫(xiě)一寫(xiě)折紙面積所構(gòu)成的數(shù)列.

設(shè)計(jì)意圖 深度學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)學(xué)生為主體，以學(xué)為中心，因此應(yīng)更多地安排學(xué)生參與課堂教學(xué)活動(dòng). 利用折紙活動(dòng)，讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作，發(fā)現(xiàn)與提出問(wèn)題、分析與解決問(wèn)題，充分給予學(xué)生自主探究、合作討論，完成學(xué)習(xí)任務(wù)的機(jī)會(huì).

學(xué)生通過(guò)自主探究、合作討論，得到了兩個(gè)數(shù)列：1，2，4，8，16，32，…；1，….

思考2：與等差數(shù)列相比，你們所得的這兩個(gè)數(shù)列有什么共同的特征？

學(xué)生：從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比是一個(gè)常數(shù)，第一個(gè)數(shù)列的比值是2，第二個(gè)數(shù)列的比值是.

教師：具備這樣特征的數(shù)列，稱它為等比數(shù)列.

設(shè)計(jì)意圖 類比可以幫助學(xué)生充分發(fā)散思維，利用已有的等差數(shù)列的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，自然地引出新概念——等比數(shù)列，讓學(xué)生親歷探究發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，體會(huì)類比的作用，從而潛移默化地滲透學(xué)法指導(dǎo)，為等比數(shù)列的研究學(xué)習(xí)提供導(dǎo)向作用.

3. 形成概念，探究新知

探究1：類比等差數(shù)列的定義，給出等比數(shù)列的定義.

筆者根據(jù)學(xué)生回答，對(duì)等比數(shù)列的定義進(jìn)行規(guī)范表述：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示.

問(wèn)題6：對(duì)于等比數(shù)列，要使后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比值有意義，對(duì)等比數(shù)列中的項(xiàng)有何限制？公比q要滿足怎樣的條件？

學(xué)生：等比數(shù)列的每一項(xiàng)都不為0，公比q也不為0.

探究2：等比數(shù)列的定義用符號(hào)語(yǔ)言表示.

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)討論探究，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性. 學(xué)生類比等差數(shù)列的定義，嘗試得出等比數(shù)列的定義，在思考的過(guò)程中使新概念成為學(xué)生邏輯推理后自然生成的結(jié)果，從而突破了本節(jié)課的難點(diǎn). 因此，在概念的引入和辨析過(guò)程中，要重視學(xué)生的主體地位，給予學(xué)生足夠的思考時(shí)間和表達(dá)機(jī)會(huì).

練習(xí)1：判斷下列數(shù)列是否為等比數(shù)列.

（2）0，1，2，4，8；

（3）1，1，1，1，1；

（4）1，2，1，2，1.

師生交流判斷結(jié)果：（1）學(xué)生判斷其是首項(xiàng)為1，公比為－的等比數(shù)列，但只根據(jù)定義驗(yàn)證了前三項(xiàng)，在此筆者向?qū)W生強(qiáng)調(diào)定義中的“每一項(xiàng)”，并總結(jié)判斷“是”等比數(shù)列的方法：從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比是同一個(gè)常數(shù).

（2）學(xué)生根據(jù)等比數(shù)列的每一項(xiàng)都不為0，判斷其不是等比數(shù)列. 總結(jié)：等比數(shù)列的特征為每一項(xiàng)都不為0；在判斷或證明等比數(shù)列前，應(yīng)判斷是否有項(xiàng)為0.

（3）學(xué)生判斷其是首項(xiàng)為1，公比為1的等比數(shù)列. 筆者向?qū)W生提問(wèn)：“常數(shù)列是等比數(shù)列”這個(gè)說(shuō)法是否正確？學(xué)生舉出反例數(shù)列：0，0，0，0，0. 筆者引導(dǎo)學(xué)生思考得出結(jié)論：非零常數(shù)列是等比數(shù)列.

活動(dòng)2：根據(jù)不同的公比（公比為正整數(shù)、分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)），你能再舉出一些等比數(shù)列的例子嗎？

學(xué)生通過(guò)舉例發(fā)現(xiàn)，寫(xiě)等比數(shù)列時(shí)需要確定其首項(xiàng)、公比和項(xiàng)數(shù)，這加深了他們對(duì)等比數(shù)列的基本量的理解.

小結(jié)1 （1）等比數(shù)列的特點(diǎn)：①?gòu)牡诙?xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)；②等比數(shù)列的每一項(xiàng)都不為0，公比也不為0；③非零常數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列.

（2）判斷數(shù)列｛an｝是否為等比數(shù)列的常規(guī)方法：判斷（n∈N*）是否為一個(gè)不是0的常數(shù).

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)對(duì)四個(gè)具體數(shù)列的判斷，讓學(xué)生理解等比數(shù)列的特征和判斷方法，深化理解等比數(shù)列的概念；讓學(xué)生體會(huì)概念的重要作用，并通過(guò)舉例理解等比數(shù)列的基本量. 通過(guò)學(xué)生回答展現(xiàn)學(xué)生的思維過(guò)程，筆者在了解學(xué)生學(xué)情的基礎(chǔ)上有針對(duì)性地進(jìn)行點(diǎn)撥和分析，并在學(xué)生得出相關(guān)結(jié)論和方法后，利用追問(wèn)的方式啟發(fā)學(xué)生思考，找到舊知與新知的聯(lián)系，加深學(xué)生對(duì)概念內(nèi)涵的理解. 最后歸納總結(jié)，做好筆記，促進(jìn)學(xué)生構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣.

練習(xí)2：求下列等比數(shù)列中的未知項(xiàng).

（1）a，2，8，其中a=______；

（2）2，m，8，其中m=______；

設(shè)計(jì)意圖 挑戰(zhàn)性問(wèn)題是指對(duì)學(xué)生認(rèn)知具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，這類問(wèn)題往往是自然生成的一般化問(wèn)題或是由逆向思維引發(fā)的問(wèn)題. 設(shè)計(jì)練習(xí)2是為了評(píng)估學(xué)生是否掌握了等比數(shù)列的定義和基本量，由此提高學(xué)生對(duì)等比數(shù)列定義的應(yīng)用水平.

設(shè)計(jì)意圖 根據(jù)定義法證明等比數(shù)列的兩種形式設(shè)計(jì)練習(xí)題，讓學(xué)生回顧探究過(guò)程，內(nèi)化思想方法；促進(jìn)學(xué)生深度思維，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力；評(píng)估學(xué)生運(yùn)用定義解決問(wèn)題的能力以及邏輯推理的嚴(yán)密性. 最后由筆者點(diǎn)評(píng)學(xué)生的答案并展示規(guī)范的解題過(guò)程，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)推理證明的嚴(yán)謹(jǐn)與科學(xué).

4. 知識(shí)梳理，方法總結(jié)

教師：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你收獲了哪些知識(shí)和方法？

根據(jù)學(xué)生的回答，構(gòu)建關(guān)于等比數(shù)列概念的思維導(dǎo)圖，如圖2所示.

設(shè)計(jì)意圖 課堂總結(jié)利用思維導(dǎo)圖的形式，促進(jìn)學(xué)生及時(shí)梳理歸納本節(jié)課學(xué)習(xí)的知識(shí)內(nèi)容，并與等差數(shù)列的思維導(dǎo)圖形成對(duì)比，發(fā)現(xiàn)相似的研究結(jié)構(gòu)和區(qū)別的內(nèi)容，從而深化類比思想方法. 利用課堂總結(jié)引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)聯(lián)系、整合信息、完善結(jié)構(gòu)、遷移應(yīng)用，從而促進(jìn)學(xué)生高階思維的發(fā)展.

教后反思

首先，本節(jié)課充分體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位，通過(guò)動(dòng)手操作、表達(dá)展示、合作討論等方式提高了學(xué)生的課堂參與度，讓學(xué)生的大腦動(dòng)了起來(lái)，讓課堂活躍了起來(lái). 其次，本節(jié)課與傳統(tǒng)課相比雖然知識(shí)內(nèi)容少了一些，但是通過(guò)自主探究、類比遷移、應(yīng)用鞏固、總結(jié)歸納等環(huán)節(jié)加深了學(xué)生對(duì)等比數(shù)列概念的理解和對(duì)類比思想方法的體會(huì)，為接下來(lái)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、性質(zhì)、前n項(xiàng)和公式等的學(xué)習(xí)打下了基礎(chǔ)，真正達(dá)到了深度學(xué)習(xí)的目的.

通過(guò)教學(xué)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在深度理解等比數(shù)列的概念后，可以自主推導(dǎo)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì). 概念教學(xué)慢一點(diǎn)，讓學(xué)生真正理解概念，之后的學(xué)習(xí)才會(huì)又快又好. 對(duì)于概念教學(xué)，相比于教學(xué)進(jìn)度，我們更應(yīng)該關(guān)注教學(xué)深度，倡導(dǎo)深度學(xué)習(xí)，這樣才能真正提高教學(xué)效率.

結(jié)論

深度學(xué)習(xí)不僅是一種學(xué)習(xí)方式，也是一種教學(xué)理念. 學(xué)習(xí)是學(xué)生在已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，通過(guò)記憶、聯(lián)想、應(yīng)用，與新知識(shí)建立起關(guān)系，從而擴(kuò)大知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，構(gòu)建知識(shí)和思維模型的過(guò)程. 好的教師除了教給學(xué)生知識(shí)和技能外，更重要的是教給學(xué)生研究問(wèn)題的方法和解決問(wèn)題的能力. 概念蘊(yùn)含核心知識(shí)和思想，因此概念具有深層探究的價(jià)值. 總之，深度學(xué)習(xí)下的概念教學(xué)應(yīng)重視學(xué)生的主體地位，重視思維過(guò)程，注重學(xué)生的自主探究、交流表達(dá)、合作討論、動(dòng)手操作，提高學(xué)生的課堂參與度，促進(jìn)知識(shí)的深度加工與知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建，從而落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

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［4］ 柴有茂. 核心素養(yǎng)引領(lǐng)下的“等比數(shù)列”教學(xué)設(shè)計(jì)［J］. 當(dāng)代教育與文化，2018，10（03）：85-88.

作者簡(jiǎn)介：薛蕾（1996—），碩士研究生，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.