［摘? 要］ 文章以“立體幾何初步”的教學(xué)為例，淺談基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)微型探究的教學(xué)設(shè)計(jì)與思考.

［關(guān)鍵詞］ 核心素養(yǎng)；微型探究；教學(xué)設(shè)計(jì)

核心素養(yǎng)是未來數(shù)學(xué)教育改革的關(guān)鍵和數(shù)學(xué)課程改革的核心，在教育不斷改革并迅速發(fā)展的今天，提升學(xué)生的核心素養(yǎng)無疑是極其重要的［1］. 然而，迫于高考?jí)毫?，仍有不少教師還是熱衷于傳統(tǒng)的教學(xué)方式，過分重視專業(yè)知識(shí)的傳授和學(xué)生解題能力的訓(xùn)練，而忽視概念、定理等重要數(shù)學(xué)知識(shí)的過程性教學(xué)，不能很好地引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)本質(zhì)與數(shù)學(xué)思想方法，導(dǎo)致學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)匱乏.

微型探究是指教師根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況、教材特征以及具體教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)，針對(duì)某節(jié)課的重難點(diǎn)、關(guān)鍵點(diǎn)或該節(jié)課某個(gè)知識(shí)的疑點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)而選擇一個(gè)合適的角度，通過創(chuàng)設(shè)有效情境，使學(xué)生能在短時(shí)間內(nèi)快速達(dá)成教學(xué)目標(biāo)的探究活動(dòng). 微型探究作為一種優(yōu)化數(shù)學(xué)探究的方式，具有“短”（教學(xué)內(nèi)容耗時(shí)較短）“小”（針對(duì)特定知識(shí)點(diǎn)，切口?。熬保ň膭?chuàng)設(shè)問題情境）“悍”（形式靈活，有的放矢）等優(yōu)點(diǎn). 微型探究基于人本理念，尊重學(xué)生，理解教材，將一節(jié)課中某些關(guān)鍵性知識(shí)通過探究完成傳授，而其他內(nèi)容則輔以教師講授，使探究式與講授式兩種重要的教學(xué)方式相輔相成、互為補(bǔ)充、和諧共存，極大地增強(qiáng)課堂活力，優(yōu)化數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，不僅兼顧傳統(tǒng)教學(xué)的優(yōu)勢(shì)，而且充分發(fā)揮探究教學(xué)的作用，促進(jìn)學(xué)生知識(shí)、能力以及數(shù)學(xué)素養(yǎng)共同發(fā)展.

下面，筆者以“立體幾何初步”的教學(xué)為例，淺談如何對(duì)數(shù)學(xué)概念、定理等知識(shí)開展微型探究.

精心設(shè)計(jì)概念微型探究，感受概念自然形成的過程，發(fā)展直觀想象、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)

“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的”. 在概念教學(xué)中，有的教師為了趕進(jìn)度，往往照本宣科，直接敘述教材上的定義，然后就是大量練習(xí). 這種以解題教學(xué)代替概念教學(xué)的行為，沒有讓學(xué)生親身經(jīng)歷概念形成的過程，學(xué)生對(duì)概念的理解停留在一知半解的層面上. 概念教學(xué)要講清楚概念的來龍去脈，通過微型探究，分析透徹概念的本質(zhì)與內(nèi)涵，使學(xué)生積極參與自我探索、自我發(fā)現(xiàn)的反思建構(gòu)活動(dòng)，充分經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、抽象概括等思維活動(dòng)，獲得良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

案例1 棱柱的結(jié)構(gòu)特征.

（1）直觀感知，抽象概括.

問題1 觀察圖1中的①②③④，它們各自有什么特點(diǎn)？又有什么共同特點(diǎn)？

設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生觀察圖片或?qū)嵨锬Ｐ?，在充分分析這些棱柱各自的特點(diǎn)以及共同特點(diǎn)后，歸納出棱柱的結(jié)構(gòu)特征及其概念.

（2）變式探究，深化理解.

問題2 一個(gè)長(zhǎng)方體ABCD－A′B′C′D′（如圖2所示）被截去一部分，其中 EH∥A′D′，那么截去的幾何體是否為棱柱？剩下的幾何體呢？

設(shè)計(jì)意圖 通過改變棱柱的放置位置，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注棱柱的概念，深化學(xué)生對(duì)棱柱概念的理解，培養(yǎng)學(xué)生用概念思考問題的習(xí)慣.

問題3 觀察長(zhǎng)方體ABCD－A′B′C′D′，共有多少對(duì)平行的平面？其中能作為棱柱底面的有幾對(duì)？

問題4 圖3所示的是一螺桿模型，觀察它的頭部有多少對(duì)平行的平面？其中能作為棱柱底面的有幾對(duì)？

設(shè)計(jì)意圖 問題3、問題4借助變式探究，結(jié)合具體空間圖形明確棱柱底面、側(cè)面的結(jié)構(gòu)特征，深化學(xué)生對(duì)棱柱概念的理解.

問題5 有人認(rèn)為，如果某一個(gè)幾何體有兩個(gè)面互相平行，其他各面都是平行四邊形，那么這個(gè)幾何體一定是棱柱. 這對(duì)嗎？請(qǐng)你舉例說明.

設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生嘗試構(gòu)造反例（若有困難，可以引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手制作模型，如圖4所示），通過概念辨析，進(jìn)一步深化學(xué)生對(duì)棱柱概念的理解.

上述關(guān)于棱柱概念的微型探究，先引導(dǎo)學(xué)生充分觀察圖片或?qū)嵨锬Ｐ?，然后通過問題驅(qū)動(dòng)探究，使學(xué)生在直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、抽象概括、反思建構(gòu)等思維過程中，形成對(duì)棱柱深刻的體驗(yàn)與感悟并內(nèi)化為知識(shí)結(jié)構(gòu)，最終遷移、升華成創(chuàng)新思維，對(duì)棱柱的理解也由感性上升到理性，提升直觀想象與數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng).

精心設(shè)計(jì)定理微型探究，挖掘定理產(chǎn)生的背景與歷程，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)

定理也是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容. “立體幾何初步”的定理教學(xué)的基本途徑是，讓學(xué)生充分觀察空間圖形和動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，經(jīng)過直觀感知、操作探索，最后歸納概括出相應(yīng)定理，并應(yīng)用定理去證明關(guān)于空間基本圖形位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題. 在定理教學(xué)中進(jìn)行微型探究，教師可以通過創(chuàng)設(shè)生活情境或借助實(shí)物模型，引導(dǎo)學(xué)生開展自主探索活動(dòng)，使學(xué)生了解定理產(chǎn)生的背景，經(jīng)歷定理自然形成的過程，并體會(huì)蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

案例2 直線與平面垂直的判定定理.

（1）創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)觀察.

問題1 某校要安裝一根8米長(zhǎng)的旗桿，如圖5所示，可以先從旗桿的頂端引兩條10米長(zhǎng)的繩子，再拉緊繩子，使繩子的下端剛好落在地面上兩點(diǎn)（與旗桿底端不在同一直線上）. 若這兩點(diǎn)與旗桿底端的距離都為6米，就知道旗桿和地面垂直，為什么？（繼續(xù)投影如跨欄、掛物架等生活中的示例圖片）

（2）折紙實(shí)驗(yàn)，形成猜想.

折紙實(shí)驗(yàn)：學(xué)生拿出一張事先準(zhǔn)備好的三角形紙片，過頂點(diǎn)A將紙片翻折，如圖6所示，形成一條折痕AD，然后將翻折后的紙片豎立在水平桌面上（保持BD，DC與桌面緊密接觸）.

問題2 ①折痕AD是否與桌面垂直？②要如何進(jìn)行翻折，才能使得折痕AD與桌面所在的平面α垂直？

問題3 ①紙片翻折前后，雖然紙片的形狀發(fā)生了變化，但保持不變的是什么？（考慮線與線的位置關(guān)系）②將紙片繞直線AD（點(diǎn)D始終在桌面上）轉(zhuǎn)動(dòng)，若直線CD，BD不在桌面所在的平面α內(nèi)，則直線AD與桌面所在的平面α垂直嗎？（引導(dǎo)學(xué)生明確：若直線AD與平面α垂直，則直線CD，BD都必須在平面α內(nèi).）

設(shè)計(jì)意圖 在定理關(guān)鍵點(diǎn)處設(shè)計(jì)有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)結(jié)果的問題串，使學(xué)生通過構(gòu)造反例、實(shí)驗(yàn)操作，理解直線與平面垂直的判定定理成立的條件（注意突出關(guān)鍵句：平面內(nèi)的兩條相交直線）.

（3）抽象概括，形成定理.

問題4 ①將圖6的折紙模型抽象成圖7①所示的圖形，那么直線l與平面α垂直的條件是什么？②將圖7①中的兩條相交直線m，n的位置改成圖7②所示的位置，仍滿足l與m，n垂直，則直線l還與平面α垂直嗎？根據(jù)以上分析，請(qǐng)你敘述直線與平面垂直的判定定理，并結(jié)合圖7用符號(hào)表示.

設(shè)計(jì)意圖 鼓勵(lì)學(xué)生嘗試用文字、圖形、符號(hào)三種數(shù)學(xué)語言表述直線與平面垂直的判定定理，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)語言交流能力，發(fā)展其數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

（4）反思建構(gòu)，深化理解.

問題5 直線與平面垂直的判定定理與直線與平面互相垂直的定義相比較，具有什么優(yōu)越性？

設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生感悟判定定理“將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題”“將線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直”“將無限轉(zhuǎn)化為有限”的數(shù)學(xué)思想.

問題6 請(qǐng)大家回答問題1中的安裝旗桿的原理. 為什么必須保持兩條繩子的下端在地面上的兩點(diǎn)與旗桿的底端不共線？

設(shè)計(jì)意圖 回扣情境，用學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)解釋實(shí)際生活中的現(xiàn)象，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，深化學(xué)生對(duì)直線與平面垂直的判定定理的理解.

上述微型探究，引入了生活情境、折紙活動(dòng)、問題串，學(xué)生經(jīng)過觀察發(fā)現(xiàn)、歸納猜想、分析綜合、抽象概括等思維活動(dòng)，完成由感性認(rèn)識(shí)上升為理性認(rèn)識(shí)的思維抽象過程，有效發(fā)展了直觀想象與數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng). 根據(jù)史寧中教授的研究，數(shù)學(xué)抽象按程度不同可分為三個(gè)階段：簡(jiǎn)約階段、符號(hào)階段、普適階段. 本案例先將復(fù)雜的線面垂直判定問題簡(jiǎn)潔化，抓住問題的本質(zhì)特征，以實(shí)際生活例子和有趣的折紙活動(dòng)，啟發(fā)學(xué)生直觀感知并形成猜想，完成簡(jiǎn)約階段的抽象過程；接著對(duì)折紙活動(dòng)得到的認(rèn)識(shí)進(jìn)行反思，依托逐步深入的問題系列，創(chuàng)設(shè)有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)結(jié)果的探究氛圍，使學(xué)生不斷純化結(jié)論，形成判定定理，完成符號(hào)階段的抽象過程；最后回扣情境，用線面垂直的判定定理解釋旗桿安裝的原理，完成普適階段的抽象過程.

在概念、定理等知識(shí)應(yīng)用過程中精心設(shè)計(jì)微型探究，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，發(fā)展邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)概念和定理有著豐富的內(nèi)涵與外延，其形成和應(yīng)用是一個(gè)循序漸進(jìn)、逐步深化的過程. 因此，在經(jīng)歷概念、定理的形成過程后，還要進(jìn)行有針對(duì)性的實(shí)際應(yīng)用以及適當(dāng)拓展才能進(jìn)一步深化學(xué)生對(duì)它們的理解. 在概念、定理等知識(shí)的應(yīng)用過程中精心設(shè)計(jì)微型探究，深入挖掘數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生在應(yīng)用概念、定理解決問題的過程中進(jìn)行反思與再建構(gòu)，可促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，進(jìn)一步完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

案例3 空間角的計(jì)算.

（1）回歸概念，把握本質(zhì).

問題1 請(qǐng)同學(xué)們回顧并辨析兩條異面直線所成的角、直線和平面所成的角以及二面角的概念，敘述這三種角的計(jì)算方法.

設(shè)計(jì)意圖 對(duì)空間角的概念進(jìn)行回顧并辨析，弄清疑點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)，厘清計(jì)算思路.

（2）遷移應(yīng)用，深化理解.

問題2 在正方體ABCD-A′B′C′D′中，①求下列異面直線所成的角的大?。篊D′和BC′；AC和B′D. ②求下列直線和平面所成的角的大小：D′C和平面BCC′B′；D′C和平面A′B′CD. ③求下列二面角的余弦值：二面角A′-BC-D；二面角A′－BD－A.

設(shè)計(jì)意圖 空間角的計(jì)算要遵循“一‘作（利用平行轉(zhuǎn)化或輔助線作出相應(yīng)的角）”“二‘證（根據(jù)空間角的概念，利用立體幾何中的判定定理、性質(zhì)定理證明所作的角即為相應(yīng)空間角的平面角）”“三‘算（利用解三角形的知識(shí)或相關(guān)的平面幾何知識(shí)計(jì)算求解）”的步驟. 通過設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單的三種空間角的計(jì)算問題，進(jìn)一步鞏固學(xué)生對(duì)空間角的認(rèn)識(shí).

（3）拓展訓(xùn)練，深度學(xué)習(xí).

簡(jiǎn)析 如圖9②所示，過A作AF⊥PB交PB于F，連接EF. （一“作”）

由已知可證AE⊥平面PBC，故AE⊥PB. 又AF⊥PB，故PB⊥平面AEF，所以PB⊥EF，故∠AFE是二面角A－PB－C的平面角. （二“證”）

變式題：若H在線段PB上運(yùn)動(dòng)，求AH與平面PBC所成最大角的正弦值. 結(jié)合問題3，有什么發(fā)現(xiàn)？

設(shè)計(jì)意圖 二面角是高中數(shù)學(xué)十大難點(diǎn)概念之一［2］. 除定義法外，還能用“三垂線法”作二面角的平面角求解（有時(shí)更方便，如問題3）. 在解題后通過變式拓展，啟發(fā)學(xué)生深入探索空間角的內(nèi)隱規(guī)律（比如，在二面角的一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線與另一個(gè)平面所成的角，最大等于該二面角的大?。?，把握空間角問題的本質(zhì)，進(jìn)一步感悟求解空間角問題的基本策略，體會(huì)立體幾何動(dòng)點(diǎn)問題的處理方法，熟悉數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)不同板塊知識(shí)的融會(huì)貫通.

上述關(guān)于空間角概念應(yīng)用的微型探究，由易到難，由靜到動(dòng)，層層遞進(jìn)，凸顯概念、定理在解題中的基本作用. 突出本質(zhì)，注重探究，構(gòu)建空間角問題“一‘作”“二‘證”“三‘算”的基本求解策略，通過變式探究，有效訓(xùn)練學(xué)生的基本知識(shí)與基本技能，并適度拓展學(xué)生思維的深度和廣度，在學(xué)生想圖、畫圖及用圖的過程中發(fā)展直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理以及數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

設(shè)計(jì)微型探究教學(xué)時(shí)，教師首先要樹立“為理解而教”的思想，把學(xué)生的理解視為重要關(guān)注點(diǎn)，在概念、定理的教學(xué)過程中自然滲透數(shù)學(xué)思想方法，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)本質(zhì)，適當(dāng)融入數(shù)學(xué)文化，并深入挖掘概念、定理等數(shù)學(xué)知識(shí)的教育價(jià)值，促使學(xué)生深度學(xué)習(xí)的發(fā)生［3］.

基于核心素養(yǎng)的微型探究教學(xué)在理解學(xué)生、理解數(shù)學(xué)、理解教學(xué)的多重視角上開展，為學(xué)生思維能力的發(fā)展?fàn)I造良好互動(dòng)的氛圍. 返璞歸真、凸顯本質(zhì)、以小見大、見微知著，有效突破教學(xué)重難點(diǎn)，解決疑點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn)，使學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)知識(shí)，促進(jìn)學(xué)生能力與素養(yǎng)和諧發(fā)展.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［S］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 阮曉明，王琴. 高中數(shù)學(xué)十大難點(diǎn)概念的調(diào)查研究［J］. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012，22（05）：29-33.

［3］ 李鋒. 注重課堂學(xué)習(xí)評(píng)價(jià) 發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)——以一節(jié)微專題復(fù)習(xí)課的教學(xué)為例［J］.中國數(shù)學(xué)教育，2022（20）：16-20+28.

基金項(xiàng)目：2020年度福建省基礎(chǔ)教育課程教學(xué)研究課題“指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)課堂學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)的實(shí)踐研究”（MJYKT2020-032）.

作者簡(jiǎn)介：李鋒（1974—），本科學(xué)歷，中學(xué)高級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教育與教學(xué)研究工作.