吳文濤 張毅

【摘要】數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要形式，TPACK模式能夠帶領(lǐng)學(xué)生從教學(xué)技術(shù)的角度對數(shù)學(xué)建模進行認識.為了保障學(xué)生對TPACK模式的接受效果，教師需要從數(shù)學(xué)建?；顒拥姆桨冈O(shè)計出發(fā)，融合數(shù)學(xué)學(xué)科特點為學(xué)生帶來更為全面的教學(xué)體驗.在此基礎(chǔ)上，教師需要結(jié)合高中課程內(nèi)容，以保障TPACK模式能夠切實有效地發(fā)揮出教學(xué)優(yōu)勢，以此推動數(shù)學(xué)建模的實踐應(yīng)用，使之能夠形成良性的教學(xué)體系，融入教師的日常教學(xué)活動中來.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；建模；TPACK模式；實踐應(yīng)用

【基金項目】本文系馬鞍山市教育科學(xué)規(guī)劃2022年度立項課題“基于高中數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)TPACK模式的實踐研究”（課題編號MJG22041）的研究成果.

在TPACK理論中，強調(diào)技術(shù)知識、教學(xué)知識以及內(nèi)容知識三者之間的作用關(guān)系與三者之間的有機整合，并且強調(diào)這種有機整合是教師對學(xué)生開展有效教學(xué)的根本與基礎(chǔ).從實際來看，TPACK模式注重教學(xué)技術(shù)與學(xué)科特點的有機融合，這與當下的教學(xué)基礎(chǔ)設(shè)施的建設(shè)與信息化教學(xué)技術(shù)的進步相契合.在過去的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)建模通常會采用建立具體實物模型的方式進行，因此教學(xué)過程會受到教學(xué)場地與教學(xué)時間的限制，不能跟隨教師的教學(xué)進程進行靈活應(yīng)用.教師可以從TPACK模式的出發(fā)，采用教學(xué)技術(shù)進行數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建，使教學(xué)模式能夠在數(shù)學(xué)知識展示與實施方式上進行突破，進而實現(xiàn)高中數(shù)學(xué)教學(xué)模式的整體優(yōu)化.

一、高中數(shù)學(xué)中TPACK理論對數(shù)學(xué)建模教學(xué)的影響

在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建在于將抽象的數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)換為具體的模型案例，使學(xué)生可以通過模型中的數(shù)學(xué)語言進行學(xué)習(xí).但對于學(xué)生來說，他們還需要經(jīng)過教師的教學(xué)展示才能對數(shù)學(xué)模型進行有效認識，單薄的展示方式則會制約數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用效果，這正是TPACK理論的方向所在.在TPACK理論下，教師不僅可以通過教學(xué)技術(shù)進行數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建，還可以通過多元化的教學(xué)方式對數(shù)學(xué)模型進行展示，使數(shù)學(xué)語言表達更為簡便，進而促進學(xué)生對數(shù)學(xué)模型的理解.

二、高中數(shù)學(xué)對于TPACK理論與數(shù)學(xué)建模的融合應(yīng)用

高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)是以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向開展的綜合性教學(xué)，對于數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用也是為了促進整體的教學(xué)進程.因此，TPACK理論與數(shù)學(xué)建模的融合應(yīng)用服務(wù)于學(xué)生對數(shù)學(xué)教學(xué)過程的參與.這不僅體現(xiàn)在TPACK理論對數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建方向上，也體現(xiàn)在TPACK理論下數(shù)學(xué)模型的設(shè)計原則上，而不是簡單地將TPACK理論在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用理解為在數(shù)學(xué)模型中堆砌各類教學(xué)技術(shù).

（一）TPACK理論對于數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建方向

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，TPACK理論對于數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建方向需要教師能夠從宏觀的角度進行認識.這就需要教師將數(shù)學(xué)建?？醋鲾?shù)學(xué)教學(xué)過程中的有機組成部分，使數(shù)學(xué)建模能夠根據(jù)學(xué)生的認知需求實現(xiàn)靈活應(yīng)用，使之成為教師進行數(shù)學(xué)教學(xué)的常用工具，進而引申出從TPACK理論的角度對數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建方向進行明確，即采用教學(xué)技術(shù)的形式使數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建與高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程深度融合，并由此形成以教學(xué)技術(shù)支持數(shù)學(xué)建模為表皮，以促進學(xué)生掌握知識為內(nèi)核的教學(xué)形式.

（二）TPACK視野下的數(shù)學(xué)建模設(shè)計原則

數(shù)學(xué)建模是教師對學(xué)生進行知識傳遞的工具，其本身就是對高中數(shù)學(xué)教材中不易直接理解的知識的加工.因此，TPACK視野下的數(shù)學(xué)建模設(shè)計原則是提高學(xué)生對數(shù)學(xué)模型的學(xué)習(xí)效率，使數(shù)學(xué)建模通過教學(xué)技術(shù)的優(yōu)化更加符合高中學(xué)生的認知習(xí)慣.在此基礎(chǔ)上，進行數(shù)學(xué)建模的設(shè)計時，教師需要有針對性地選取合適的教學(xué)技術(shù)，使所用教學(xué)技術(shù)的優(yōu)勢得到發(fā)揮.如利用信息技術(shù)進行數(shù)學(xué)建模的優(yōu)勢在于知識承載力高、靈活性強，利用物理技術(shù)進行數(shù)學(xué)建模的優(yōu)勢在于邏輯性強、直觀性強.

三、結(jié)合高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容，TPACK理論下的數(shù)學(xué)建模

對于TPACK理論下的數(shù)學(xué)建模來說，有效地結(jié)合高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容并根據(jù)相關(guān)知識特點設(shè)計合適的數(shù)學(xué)模型，是在TPACK理論下進行教學(xué)技術(shù)應(yīng)用的重點.因此，準確地把握高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容，設(shè)計出針對學(xué)生認知需求的數(shù)學(xué)模型，構(gòu)成了數(shù)學(xué)教學(xué)的核心環(huán)節(jié).在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要考慮到學(xué)生之間的學(xué)科核心素養(yǎng)差異以及關(guān)注學(xué)生學(xué)業(yè)狀況的動態(tài)變化，實現(xiàn)對數(shù)學(xué)模型構(gòu)建的動態(tài)調(diào)整，使數(shù)學(xué)模型的設(shè)計內(nèi)容與方式跟隨學(xué)生的變化去適應(yīng)，而不是學(xué)生去適應(yīng)TPACK教學(xué)模式.

（一）在函數(shù)教學(xué)中的實踐應(yīng)用

函數(shù)教學(xué)是高中數(shù)學(xué)的重要構(gòu)成，不僅僅是因為函數(shù)是高考數(shù)學(xué)的重要考點，是聯(lián)系多個數(shù)學(xué)知識點的重要橋梁，更是因為函數(shù)自身的數(shù)學(xué)魅力，它是學(xué)生認識數(shù)學(xué)學(xué)科的有效途徑.在TPACK理論下，數(shù)學(xué)建模不應(yīng)該只服務(wù)于單一函數(shù)知識，而應(yīng)該帶領(lǐng)學(xué)生通過函數(shù)的視角進行關(guān)聯(lián)性認知，這也是在函數(shù)教學(xué)中引入數(shù)學(xué)建模的重要原因.函數(shù)本身與TPACK模式的契合為教師開展相關(guān)主題的數(shù)學(xué)建模提供了便利的條件，使函數(shù)教學(xué)活動為學(xué)生帶來了更加豐富的參與體驗.

例如，高中數(shù)學(xué)教師在開展指數(shù)函數(shù)教學(xué)時，為了引導(dǎo)學(xué)生探究指數(shù)函數(shù)的數(shù)學(xué)特點，幫助學(xué)生更好地認知函數(shù)公式與函數(shù)圖像的關(guān)系，可以從TPACK模式出發(fā)進行數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建.數(shù)學(xué)教師設(shè)計數(shù)學(xué)模型時可以采用“GGB”數(shù)學(xué)學(xué)科工具進行模型構(gòu)建.學(xué)生在進行指數(shù)函數(shù)的數(shù)學(xué)建模時，可采用圖像模型對比的方式進行學(xué)習(xí).數(shù)學(xué)模型對比可以是“y=ax（a>1）的圖像模型”“y=logax（a>1）的圖像模型”“y=xn（n>0）的圖像模型”，一系列模型對比的展示，可引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，進而幫助學(xué)生完成指數(shù)函數(shù)的數(shù)學(xué)解析，梳理關(guān)聯(lián)函數(shù)的知識網(wǎng)絡(luò).

（二）在圓錐曲線教學(xué)中的實踐應(yīng)用

TPACK教學(xué)模式的一個重要目的就是促進學(xué)生對知識的理解，提高學(xué)習(xí)效率.在高中數(shù)學(xué)的圓錐曲線教學(xué)中，數(shù)學(xué)建模的知識解析能夠立體地展示圓錐曲線的特點，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)概念、知識點的理解.因此，數(shù)學(xué)建模在圓錐曲線中的設(shè)計與應(yīng)用研究也是非常有必要的.TPACK理論下的數(shù)學(xué)建模，一方面可以有效激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識和技能的興趣，另一方面可以實現(xiàn)師生間教學(xué)互動與知識遷移，同時能培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力，為高中階段數(shù)學(xué)教學(xué)提供新方向，實現(xiàn)從學(xué)生自身出發(fā)的知識理解方式的應(yīng)用.

例如，高中數(shù)學(xué)教師在開展橢圓相關(guān)的教學(xué)時，可以在這堂課中做出數(shù)學(xué)建模展示，首先講解雙曲線的概念、特點以及標準方程，通過這些內(nèi)容使學(xué)生對雙曲線有一個初步的認識和了解；然后講解雙曲線的標準方程中的“a，b，焦點”等構(gòu)成要素，在TPACK模式中可以利用動態(tài)的雙曲線模型進行演示，幫助學(xué)生進行理解.例如，教師利用幾何畫板構(gòu)建雙曲線模型，通過調(diào)整方程中“a”“b”的值改變雙曲線圖形，使學(xué)生從圖形出發(fā)對雙曲線的數(shù)學(xué)意義進行理解.這樣的數(shù)學(xué)建模不僅能夠使學(xué)生掌握相關(guān)內(nèi)容，還能降低知識的理解門檻.

（三）在空間向量教學(xué)中的實踐應(yīng)用

在開展空間向量相關(guān)的數(shù)學(xué)建模時，教師需要對空間向量的模型展示方式進行分析.基于空間向量自身的特殊性，教師一方面需要認識到空間向量相較于其他的平面圖形有明顯的空間特性，會促使學(xué)生發(fā)揮一定的想象力，另一方面需要認識到空間向量自身往往是結(jié)合其他類型的知識點綜合出現(xiàn)的.教師在此基礎(chǔ)上思考什么樣的TPACK模式才能體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的空間性，進而設(shè)計出具有空間向量知識特點的數(shù)學(xué)模型，有針對性地引導(dǎo)學(xué)生按照正確的方式去學(xué)習(xí)空間向量內(nèi)容.

例如，在開展空間向量相關(guān)的教學(xué)時，幫助學(xué)生對空間向量的數(shù)學(xué)概念進行認識并不困難，困難的是以空間向量為方法進行解析幾何的處理.教師在進行相關(guān)的數(shù)學(xué)建模時可以融合高考題目中常見的立體幾何進行設(shè)計，如三棱柱、三棱錐、四棱錐等，同時從TPACK模式的角度對教學(xué)技術(shù)進行引入.教師可以采用3D模擬的方式進行空間向量的數(shù)學(xué)建模，在數(shù)學(xué)建模中除了進行空間直角坐標系的解析之外，重要的是各類輔助向量的引用.數(shù)學(xué)建?？梢园l(fā)揮出3D模型的技術(shù)優(yōu)勢，通過旋轉(zhuǎn)視角、拉伸視野等方式為學(xué)生更為直觀地展示空間向量的數(shù)學(xué)應(yīng)用.

（四）在概率教學(xué)中的實踐應(yīng)用

概率知識是數(shù)學(xué)學(xué)科的重要研究內(nèi)容，通過TPACK模式的應(yīng)用，教師可以將教學(xué)技術(shù)融入具體的模型解析過程中，讓學(xué)生通過模型的展示完成對概率知識的掌握.在概率模型中，隨著直觀導(dǎo)向教學(xué)思路的提出，TPACK模式的重要性得到了進一步體現(xiàn)，學(xué)生需要通過概率模型的構(gòu)建轉(zhuǎn)化抽象的數(shù)學(xué)概念.而為了進行有效的TPACK融合，教師需要從概率模型的概率演示、概率統(tǒng)計和概率分析等方面入手進行分析，盡可能地發(fā)揮教學(xué)技術(shù)的實用價值，提升學(xué)生建模的興趣.

例如，高中數(shù)學(xué)教師在開展概率相關(guān)的教學(xué)時，根據(jù)本課內(nèi)容的需要讓學(xué)生對概率的數(shù)學(xué)意義進行理解，這就需要學(xué)生能夠?qū)Ω怕蕯?shù)學(xué)模型的分析轉(zhuǎn)化為對抽象概念的分析.在TPACK模式的教學(xué)視野中，教師需要實現(xiàn)數(shù)學(xué)模型簡便易操作的要求.例如，教師可以采用高爾頓釘板的數(shù)學(xué)模型進行概率的演示，并通過視頻模擬的形式設(shè)計.為此教師可以通過多次演示的方式為學(xué)生解析概率的數(shù)學(xué)原理，而不采用實物建模的形式.之后，教師引導(dǎo)學(xué)生按照數(shù)學(xué)建模的設(shè)計要求進行概率分析，對不同小球下落的分布狀況進行驗證，并詳細記錄演示數(shù)據(jù)，學(xué)生由此對概率進行認識.

四、探索信息技術(shù)，助力數(shù)學(xué)教學(xué)

首先，從TPACK模式的角度出發(fā)，在數(shù)學(xué)建模中引入信息技術(shù)基于當下學(xué)生對于以信息技術(shù)為主導(dǎo)的互聯(lián)網(wǎng)的熟悉，這使學(xué)生可以容易地接受TPACK模式的數(shù)學(xué)建模，無論是對線上學(xué)習(xí)方式的應(yīng)用還是對各類電子設(shè)備的使用，高中學(xué)生都有自身優(yōu)勢.其次，學(xué)生作為高中數(shù)學(xué)的直接教學(xué)對象，需要發(fā)揮出教學(xué)的主體作用.信息技術(shù)的應(yīng)用可以為學(xué)生提供更加自主的選擇，使學(xué)生能夠根據(jù)自身對數(shù)學(xué)模型的認識參與教學(xué)過程，從而提高高中數(shù)學(xué)教學(xué)的整體效率.

例如，高中數(shù)學(xué)教師在對數(shù)學(xué)建模進行使用時，幾何圖形、電子表格等是數(shù)學(xué)模型構(gòu)建過程中必不可少的數(shù)學(xué)元素，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過幾何視角對信息技術(shù)中關(guān)于圖畫繪制方面的功能進行認識.教師可以引入相應(yīng)的信息技術(shù)，幫助學(xué)生在TPACK模式中完成對數(shù)學(xué)建模內(nèi)容的學(xué)習(xí).教師可以選擇幾何繪圖軟件，將其作為數(shù)學(xué)建模的設(shè)計途徑，為學(xué)生進行模型繪制的實時演示.在數(shù)學(xué)建模過程中，教師還可以將幾何繪圖軟件交給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生認識軟件的操作，使學(xué)生能夠在具體的圖形繪制、表格制作中自由發(fā)揮，進而加深學(xué)生對數(shù)學(xué)模型的理解.

五、形成教學(xué)體系，融入日常活動

數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)下的TPACK模式的實踐應(yīng)用，對于高中數(shù)學(xué)教學(xué)來說需要的不是教師的一時興起，而教師是能夠?qū)PACK模式與數(shù)學(xué)建模聯(lián)系起來，形成屬于自己的教學(xué)體系，并將其融入對學(xué)生的日常教學(xué)活動中.從學(xué)生發(fā)展的角度出發(fā)，教學(xué)體系的形成對于學(xué)生來說不僅意味著獲取知識方式的增加，還意味著學(xué)科觀念的塑造，是獨具魅力的.這都不是教師進行一次兩次的教學(xué)實踐能夠達成的目標，都需要教師在長期的教學(xué)過程中進行教學(xué)體系化的建設(shè).

例如，高中數(shù)學(xué)教師從建立教學(xué)體系的角度對數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)下的TPACK模式的實踐應(yīng)用進行解析，可以從兩個方面出發(fā)，分別是數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用形式與學(xué)生的認知方式.其中數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用形式，主要是指數(shù)學(xué)模型的在日常教學(xué)中的應(yīng)用方式，如采用教師演示學(xué)生聽講的方式還是設(shè)置模型學(xué)生自主探究的方式，其核心在于有效地將學(xué)生組織起來并使之參與到數(shù)學(xué)模型學(xué)習(xí)中.學(xué)生的認知方式主要是指學(xué)生自身在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中表現(xiàn)出來的認知能力的變化，如教師在教學(xué)過程中不難發(fā)現(xiàn)學(xué)生天然地對抽象知識內(nèi)容表現(xiàn)出明顯的排斥，更喜歡直接且具體的知識形式.

綜上所述，基于高中數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)下TPACK模式的實踐研究，是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成.為了滿足數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的要求，教師需要圍繞TPACK理論對自己的教學(xué)方式進行分析，以此在數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建與展示過程中有效地應(yīng)用教學(xué)技術(shù).

【參考文獻】

[1]于文字，胡典順.TPACK視角下數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的模型構(gòu)建和實現(xiàn)路徑探究[J].天津師范大學(xué)學(xué)報（基礎(chǔ)教育版），2019，20（2）：11-16.

[2]向坤.高中數(shù)學(xué)教師TPACK現(xiàn)狀調(diào)查與影響因素分析[D].南京：南京師范大學(xué)，2014.

[3]劉先會.高中數(shù)學(xué)教師TPACK現(xiàn)狀研究[D].武漢：華中師范大學(xué)，2017.

[4]劉谷月.TPACK視角下高中教師空間幾何體教學(xué)的調(diào)查研究[D].哈爾濱：哈爾濱師范大學(xué)，2019.

[5]胡海.信息技術(shù)環(huán)境下高中階段數(shù)學(xué)建模六步教學(xué)模式的構(gòu)建與實踐[D].武漢：華中師范大學(xué)，2008.