田龍

【摘要】文章闡述了《義務教育數學課程標準（2022年版）》與學生創(chuàng)新思維培養(yǎng)的內在關聯，分析了初中數學教學應該重點培養(yǎng)學生形成的三種創(chuàng)新思維，分別是“轉向發(fā)散”思維、“原型啟發(fā)”思維和“聯想嘗試”思維.在此基礎上，文章提出了四種具體的學生創(chuàng)新思維培養(yǎng)方式，即遴選“答案唯一、解題方法多種”的題目，引導學生深度思考；向學生滲透“大膽創(chuàng)新、言之成理”的思維理念，避免陷入思維定式；在數學題目求解過程中運用思維導圖、程序框圖，分步驟延伸思維創(chuàng)新；建立“錯題回顧、創(chuàng)新思考”的學習機制，促進學生形成正確數學學習方法；以供參考.

【關鍵詞】初中數學；創(chuàng)新思維；培養(yǎng)

引 言

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）的核心理念是“人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發(fā)展”.相較于《義務教育數學課程標準（2011年版）》，新課標提出了九個數學核心素養(yǎng)，其中的“數據觀念”“推理能力”“模型觀念”“空間觀念”“應用意識”等均蘊含著相同的信息———注重培養(yǎng)學生的邏輯思維能力，使學生能夠靈活、正確地利用所學的基礎數學知識解決實際問題.在實際教學中，初中數學教師必須明確，思維能力的培養(yǎng)實際上可分兩個階段進行，其一，打牢基礎；其二，合理創(chuàng)新.總體來說，思維的創(chuàng)新不是天馬行空般的無根據想象，而是建立在嚴謹邏輯基礎上的靈活總結.明確此點，初中數學教師的教學水平會大幅度提升.

一、新課標下初中數學培養(yǎng)學生三種創(chuàng)新思維

（一）“轉向發(fā)散”思維

在新課標下，初中數學教學應該培養(yǎng)學生形成的創(chuàng)新思維中，“轉向發(fā)散”思維最具實用價值.一些學生在求解數學問題的過程中，經常陷入思維定式，一旦通過常規(guī)方法（即給出已知條件，按照公式、定理求解其他未知項）無法有效求解問題答案時，他們很難產生其他解題思路.這種表現實際上便是“思維單一”的具象呈現.面對這種情況，教師應該幫助學生轉換思考方式，嘗試其他的解題思路，即“將思維沿著其他方向發(fā)散”.其中的道理類似于：眾所周知，在生活中，紅酒必須密封儲存，一旦滲入空氣，紅酒內部組分便會發(fā)生變化，口感會大幅度下降.因此，密封紅酒的方法是使用橡木塞封堵瓶口.常規(guī)的紅酒開瓶方法是將專用的螺旋開瓶器“擰入”橡木塞，待達到一定深度后，向外用力拉拽開瓶器，進而將橡木塞從瓶口處帶出，此時便可將紅酒從瓶中向外倒出.但有些橡木塞制作工藝較差，或是由于開瓶器擰入方向出現偏差，導致橡木塞的完整性被破壞，無法完整地從瓶口向外拔出.初中學生遇到某些難以求解的數學問題時，恰似“開紅酒時遇到橡木塞從中間斷裂，難以倒出紅酒”的情形.在常規(guī)解決方法無法奏效的情況下，只有轉變思考方向，另辟蹊徑，才能求解出問題答案.可轉變的思路是：其一，既然已經無法向外拔出橡木塞，那么不如將橡木塞向內“捅掉”.原因在于，橡木塞“卡”在瓶頸處是導致紅酒無法倒出的根本原因，那么只要使橡木塞“不再卡住瓶頸”，問題便可得到解決.其二，在“向外拔出橡木塞”“向內捅掉橡木塞”都行不通的情況下，通過特定方式將瓶口連帶瓶頸全部敲掉也是一種解決問題的思維方式，只不過這顯得“過于特殊”而已.總體而言，初中數學教師基于這種“轉向發(fā)散”思維培養(yǎng)學生的思考方式，可以避免學生陷入思維定式，進而在求解數學問題時更加靈活、多變，產生出其不意的效果.

（二）“原型啟發(fā)”思維

筆者在長年從事初中數學一線教學的過程中發(fā)現一個現象，有一類學生的邏輯思維敏銳程度相對較低，具體體現在：對于某些公式、定理并不存在較大的理解難度，但如果教師進行“常規(guī)描述”時，他們就很難理解.如果教師轉換一種講解方式，以現實生活中的事物作為載體，進而總結出數學邏輯關系時，這類學生就能夠輕松理解且自主“逆向推導”，實現對“常規(guī)描述”的理解.比如，在學習“平面內線與線的關系”等知識時，有關“第三條線平行判斷”的常規(guī)描述是在同一個平面內，如果兩條直線均與第三條直線平行，那么這兩條直線也平行.對于思維敏銳程度較高的學生來說，這一推論并不難理解.原因在于，思維敏銳程度較高的學生對構成“平行”關系的核心條件具有根深蒂固的理解和記憶———在同一平面中，如果兩條直線始終沒有交點，那么這兩條直線便具有平行關系.直線的特點是可以“無限延長”，在無窮盡的長度內都沒有任何交點，那么兩條直線便永遠無法交匯，這樣的關系便是平行關系.基于這個道理代入思考“第三條線平行關系”時，思維敏銳程度較高的學生便可較為輕松地完成理解.但對于思維敏銳程度較低的學生來說，由于理解與判定“兩條直線平行”關系時基礎不牢，難以做到思維延伸，其在學習新知識時便會產生吃力感.針對這種情況，教師可以啟發(fā)學生思考“原型事物”.比如，教室都設有窗戶，窗戶的上下邊框、中間框便具有平行關系.教師需要引導學生將“第三條線平行關系”轉化為“窗戶框平行定理”.當事物基于視覺系統(tǒng)映入學生腦海時，學生的理解難度會降低，思維會得到啟發(fā)，這是一種能夠提高學生學習效果的有效方式.

（三）“聯想嘗試”思維

創(chuàng)新思維是一個相對性的概念，“相對”是指思維的發(fā)散方向———朝著“未知”發(fā)散固然屬于創(chuàng)新，朝著“已知”開展“回顧性發(fā)散”同樣屬于創(chuàng)新.比如，在求解幾何問題時，從“基于已知幾何關系求解幾何圖形面積”的常規(guī)求解方法向“轉化已知條件，進而將需要求解的問題轉化成其他問題，降低求解難度”的方向轉化，是一種創(chuàng)新思路，這需要建立在學生對基礎知識有充分了解的基礎上.除此之外，在教學進展至一定階段時，教師還應該帶領學生站在較高的思維視域，重新回顧基礎知識，加深對基礎知識的理解，這有可能使學生“靈光乍現”，解決困擾其多時的問題.筆者將這種創(chuàng)新思維方式總結為“聯想嘗試”思維.教師將這種思維方式適當滲透在初中數學教學中，能夠從根本層面解決很多難以量化的問題.比如，一些學生在學習方程式有關知識時感到十分吃力，根本原因在于其思考問題、解決問題的思路依然停留在小學階段的“直來直往”框架中，主觀地對“已知條件”“未知條件”設置邊界.在思維無法成功“轉彎”的情況下，教學便難以推進.筆者認為，方程的本質是“不考慮條件是否已知，從邏輯轉化關系角度著手，以表達式的方式模擬出相關條件之間的邏輯關系”.基于這種思維方式，教師將已知條件（具體數值）、未知條件（以x，y等表示）全部納入一個或多個等量轉化關系式之中，進而將以字母表示的未知條件求解而出，便可得到問題的答案.在這種思維的影響下，問題的求解過程不再“固定化”，而是更加“靈活化”，這會使學生的思維視域得到提升，對學生的成長大有益處.

二、新課標下初中數學培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維的有效方式

（一）遴選“答案唯一、解題方法多種”的題目，引導學生深度思考

上文提到，創(chuàng)新必須建立在一定基礎條件之上，漫無目的地創(chuàng)新屬于“瞎想”，其能夠取得的效果十分有限.不僅如此，對于很多初中學生而言，由于對基礎知識掌握得不夠牢固，在運用方面缺乏靈活性，其數學成績始終無法更進一步（主要表現為遇到中等難度以下的問題時，均具有明確的解題思路，通過分析題設條件與問題之間的邏輯關系，代入公式，計算后可成功求解；遇到較高難度問題時，常規(guī)解題思路受限，難以想到其他方法，導致問題無法成功求解）.針對這類問題，初中數學教師需要開展專題培訓，精心挑選一些答案具有唯一性，但解題方法、解題思路不止一種的題目，引導學生掌握多種“倒紅酒”的方法.比如，現有兩個連續(xù)正奇數，乘積是323，求這兩個數的具體值.解題思路是“根據已知條件的關系，將一個條件設置成‘以另一個條件表達的方式，代入求解”.比如，兩個連續(xù)的正奇數之間的差值必定是2，那么設置較小的奇數為x，較大的奇數便是（x+2），表達式便是x（x+2）=323，轉化為一元二次方程后代入公式計算，可求出兩個奇數分別是17，19.基于這種思路的另一種解題方式為設x為一個正整數（對應條件正奇數），那么基于x表示兩個連續(xù)的正奇數，可以表示為2x-1和2x+1，表達式為（2x-1）（2x+1）=323，將等式簡化后得到4x2-1=323，進一步簡化后得到x2=81，求解出x的具體值為9，之后代入2x-1和2x+1，即可得到兩個連續(xù)正奇數的值為17和19.上述題型的解題思路十分明確，但在具體設置未知項的過程中可以靈活多變.在教學過程中，教師可以引導學生進行多種嘗試，之后自主總結每一種解題方法中可能遇到的問題，這對發(fā)散、創(chuàng)新學生思維能夠發(fā)揮積極作用.

（二）向學生滲透“大膽創(chuàng)新、言之成理”的思維理念，避免陷入思維定式

數學學科之所以能夠吸引很多初中學生的注意力，其中一個關鍵原因是數學解題過程充滿趣味性，數字在不經意之間便有可能呈現“游戲性”，進而成為促進學生思考的原動力.比如，學生在計算某些數學題目時，按照公式求解出正確答案之后，有時會突發(fā)奇想———將題設條件中的數值使用一種“非公式且簡單”的方法完成計算之后，得出的答案與正確答案相同.于是有些學生便會向教師詢問這種解題過程是否具有可行性.筆者認為，當出現這種情況時，初中數學教師不能直接給出“可行”或是“不可行”的結論，而是應該以此作為難得的教學機會，鼓勵學生大膽思考，大膽創(chuàng)新，而不是“一遇到題目便希望通過代入公式的方式完成求解”.但需要注意，大膽思考、大膽創(chuàng)新的前提是必須合理，必須呈現嚴謹性和合理性.如果這一條件不成立，那么求解過程可能只是巧合，不具有普適性，無法廣泛運用.

（三）在數學題目求解過程中運用思維導圖、程序框圖，分步驟延伸思維創(chuàng)新

筆者在教學過程中還發(fā)現一個現象，很多初中學生思維雖然敏捷，但由于學習方法存在瑕疵，其思考問題時經常出現“遺漏”.在思考方向出現偏差之后，最終結果與正確答案之間可能南轅北轍.從另一個角度來看，這種現象也可以作為絕佳的創(chuàng)新思維培養(yǎng)契機———既然問題出現在“思維遺漏”方面，那么可以使用思維導圖、程序框圖等方法，將求解問題的思路逐步呈現，并在每一個環(huán)節(jié)的連接之處畫出指引箭頭，這可幫助學生有效避免再度出現“遺漏”的現象.這種方法類似于很多刑偵破案，負責偵破案件的刑偵人員在缺乏頭緒的情況下，會將偵破過程中發(fā)現的所有線索逐一列舉出來，之后逐一尋找（思考）多條線索之間是否存在某種關聯.通過這種方式，刑偵人員可以逐漸理清案件偵破方向.在數學題目求解的過程中，教師可以引導學生嘗試使用這種方法.具體而言：其一，列出需要求解的最終項.其二，將題目中給出的已知條件逐一列出.其三，在最終求解項與已知條件之間畫出連接線，并在連接線附近寫出如果需要通過當前條件求解最終答案還需要哪些輔助條件.其四，如果輔助條件與其他已知條件相同或存在一定關聯，那么在這些條件之間畫出連接線；如果所有已知條件都不是輔助條件，那么應證明輔助條件是“必須首先求解出的未知重要條件”.其五，圍繞如何求解出“未知重要條件”進行思考，再次回顧已知條件，從而逐漸理清解題過程.

（四）建立“錯題回顧、創(chuàng)新思考”的學習機制，促進學生形成正確數學學習方法

學生在學習數學的過程中，不可能一次錯誤都不犯，而且導致解題錯誤的原因多種多樣，有時是因為對基礎知識點的理解和記憶不到位，有時是因為粗心大意，沒有審清題目.總體來看，不同的學生個體在“犯錯”方面均存在很大的差異性，需要一種創(chuàng)新方式加以解決.教師可采用的方式是建立“錯題回顧創(chuàng)新思考”學習機制.具體而言，教師可要求學生準備一個錯題本，在每一次練習、考試后，將錯題、錯誤解題思路、錯誤解題步驟、錯誤答案逐一寫在錯題本上.以此為基礎，學生還應寫出產生錯誤的原因、再次遇到相同題目時應該在哪些方面予以重視，以達到避免犯相同錯誤的目的.教師通過這種創(chuàng)新方式，可以促進學生掌握正確的學習方法，這對學生的成長大有裨益.

結 語

綜上所述，“創(chuàng)新”不是毫無根據、漫無目的地胡思亂想，而是在基礎牢固之上，以“解決問題”為出發(fā)點，對解題過程進行梳理，最終總結出更具靈活性、更不容易出錯的解題方法.初中數學教師應以新課標為參照，在日常教學工作中加強對學生的思維引導，使學生能夠積極發(fā)散思維，朝著正確的方向思考、回顧，最終掌握正確的數學學習方法.當學生真正具備這種優(yōu)質學習能力時，既可以在當下提高數學及其他學科的學習成績，又可以為終身學習、終身成長打下堅實的基礎，最終成為國家發(fā)展建設急需的復合型人才.

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