梅玉華

摘? 要：

教學(xué)《角的初步認(rèn)識(shí)》一課，分析“角”的知識(shí)內(nèi)涵，明確靜態(tài)和動(dòng)態(tài)兩種定義。根據(jù)范希爾的幾何思維水平層次理論，解析學(xué)生的思維層次，明確教學(xué)思路：靜態(tài)定義內(nèi)涵的體驗(yàn)可以充分利用學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知，引導(dǎo)學(xué)生通過看、指、畫、想和交流互動(dòng)進(jìn)行體驗(yàn)；動(dòng)態(tài)定義內(nèi)涵的體驗(yàn)對(duì)于二年級(jí)學(xué)生而言比較難，要引導(dǎo)他們細(xì)致操作，經(jīng)歷“角有大小—角可以比較大小—角的大小相等—角有大有小”的思維進(jìn)階過程。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；知識(shí)內(nèi)涵；思維層次；《角的初步認(rèn)識(shí)》

角是最基本的幾何圖形之一，也是進(jìn)一步認(rèn)識(shí)其他幾何圖形的重要基礎(chǔ)。二年級(jí)學(xué)生已經(jīng)初步認(rèn)識(shí)了長(zhǎng)方形、正方形和三角形，也有一些關(guān)于“角”的已有認(rèn)知（前概念），但這些前概念是模糊的、不完整的，甚至是錯(cuò)誤的。教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級(jí)下冊(cè)《角的初步認(rèn)識(shí)》一課時(shí)，筆者基于對(duì)知識(shí)內(nèi)涵和學(xué)生思維層次的分析，明確了靜態(tài)與動(dòng)態(tài)兩種視角，并據(jù)此得到教學(xué)思路。

一、教前思考

（一）分析知識(shí)內(nèi)涵，明確兩種視角

歐幾里得定義角為在平面中兩條不平行直線的相對(duì)斜度（位置關(guān)系）?？ú妓拐J(rèn)為角是兩條相交直線之間的空間（呈現(xiàn)方式）。為了從不同視角表達(dá)角的性質(zhì)，幾何學(xué)對(duì)角的定義有兩種：具有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形（靜態(tài)定義）；一條射線繞著它的端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形（動(dòng)態(tài)定義）。角的符號(hào)“∠”是靜態(tài)的呈現(xiàn)，“? ”是產(chǎn)生角過程的描述，正確、全面體驗(yàn)角的內(nèi)涵需要學(xué)生經(jīng)歷動(dòng)靜兩相宜的過程，從而真正理解符號(hào)“”?！啊稀北磉_(dá)其所夾的平面部分是什么？在學(xué)生眼中有兩種認(rèn)識(shí)，扇形（）和三角形（）。不論是扇形還是三角形，都會(huì)影響學(xué)生對(duì)角大小內(nèi)涵的判斷。認(rèn)識(shí)角有大小是促進(jìn)學(xué)生體驗(yàn)角內(nèi)涵的重要支點(diǎn)。

教師應(yīng)在角的靜態(tài)認(rèn)識(shí)之后，通過“轉(zhuǎn)動(dòng)”讓學(xué)生感知角有大小，引導(dǎo)學(xué)生感悟角不是

扇形、三角形，而是一種旋轉(zhuǎn)的弧度，同時(shí)利用旋轉(zhuǎn)超越“角是尖尖的”生活經(jīng)驗(yàn)，形成數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)。

（二）解析思維層次，明確教學(xué)思路

根據(jù)范希爾的幾何思維水平層次理論，二年級(jí)的學(xué)生對(duì)角的認(rèn)知理解應(yīng)處在以下幾個(gè)層次：視覺層次，能通過整體輪廓辨認(rèn)角（生活中的角）、會(huì)仿畫（描）角或畫角；分析層次，能分析角的組成要素及特征（一個(gè)頂點(diǎn)、兩條直邊），利用某一性質(zhì)進(jìn)行角的分類（角的大?。?；非形式化的演繹層次，能了解建構(gòu)角的要素，能進(jìn)一步探求角的內(nèi)在屬性及其包含關(guān)系（角與射線、直線、線段、多邊形的關(guān)系）。

學(xué)生對(duì)角的實(shí)際認(rèn)識(shí)處于怎樣的水平呢？角靜態(tài)定義內(nèi)涵的調(diào)研分析表明：畫角的過程顯示學(xué)生知道角的邊是直的；但辨認(rèn)生活中的角與數(shù)學(xué)上的角時(shí)，大部分學(xué)生會(huì)遭遇困難，特別是牛角與“”；幾乎所有學(xué)生都認(rèn)為角是尖尖的，但也認(rèn)可鐘面上形成的鈍角是角。

角動(dòng)態(tài)定義內(nèi)涵的調(diào)研分析表明：學(xué)生都知道角有大小，知道旋轉(zhuǎn)能改變角的大??；當(dāng)所畫邊

長(zhǎng)度相同時(shí)，學(xué)生都能比較角的大小；當(dāng)角的大小相等但所畫邊長(zhǎng)度不相等時(shí)，幾乎所有學(xué)生都不能正確地比較大小，都認(rèn)為角邊的長(zhǎng)短影響角的大小；當(dāng)不同大小的角有一邊重疊時(shí)，學(xué)生對(duì)角的大小判斷呈現(xiàn)較大的差異。

這些現(xiàn)象說明學(xué)生對(duì)角有一定的認(rèn)識(shí)，但基本是感性認(rèn)識(shí)，很少有反思過的理性認(rèn)識(shí)。由此，得到如下教學(xué)思路：靜態(tài)定義內(nèi)涵的體驗(yàn)可以充分利用學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知，引導(dǎo)學(xué)生通過看、指、畫、想和交流互動(dòng)進(jìn)行；動(dòng)態(tài)定義內(nèi)涵的體驗(yàn)對(duì)于二年級(jí)學(xué)生而言比較難，要引導(dǎo)他們細(xì)致操作、經(jīng)歷“角有大小—角可以比較大小—角的大小相等—角有大有小”的思維進(jìn)階過程。

二、教學(xué)過程

學(xué)習(xí)活動(dòng)是實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)、體驗(yàn)教學(xué)內(nèi)容的路徑，也是學(xué)生積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的載體。本課教學(xué)，從學(xué)生熟悉的情境入手，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“觀察、分類、描角（操作體驗(yàn)）—想象、畫角、做角（數(shù)學(xué)表達(dá)）—轉(zhuǎn)角、比角（深化認(rèn)識(shí)）—回顧、反思、提煉（反思提升）”的學(xué)習(xí)過程，豐富學(xué)生的體驗(yàn)，深化學(xué)生的理解。

（一）操作體驗(yàn)角的靜態(tài)定義

教師呈現(xiàn)幼兒園美術(shù)主題情境圖：手工（剪紙）、畫畫（在紙扇上畫牛）、設(shè)計(jì)（滑滑梯、連廊布置）等。通過“為什么叫五角星”引出角。

引出角后，教師引導(dǎo)學(xué)生指出找到的角（現(xiàn)實(shí)情境與主題圖情境），通過交流對(duì)比（或分類）聚焦邊是直的角，引導(dǎo)學(xué)生描角，進(jìn)行第一次抽象，明確數(shù)學(xué)上的角。

抽象角的形狀之后，教師帶領(lǐng)學(xué)生觀察角、（閉眼）想象角，并比一比不同的角有什么相同與不同之處，引導(dǎo)學(xué)生描述角的形狀，進(jìn)行第二次抽象，明晰角的組成。

明晰角的組成之后，教師布置畫角和判斷角的活動(dòng)，進(jìn)一步豐富學(xué)生對(duì)角靜態(tài)定義內(nèi)涵的體驗(yàn)。

（二）操作體驗(yàn)角的動(dòng)態(tài)定義

教師提供材料（塑料扣、吸管、圓片等），引導(dǎo)學(xué)生自己創(chuàng)造一個(gè)角，指一指角的頂點(diǎn)、兩條邊，比一比創(chuàng)造的角有什么相同與不同，從而引出“角有大小”。

在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生操作，從兩個(gè)層次（角本身有大小、兩個(gè)角相比有大有?。w驗(yàn)角的大小內(nèi)涵：

師? 老師也用兩個(gè)塑料扣做了一個(gè)角，（出示兩邊重疊的活動(dòng)角）你能讓大家一眼看出它是一個(gè)角嗎？

（學(xué)生回答，教師同步轉(zhuǎn)動(dòng)教具。）

師? 生活中有這樣的現(xiàn)象嗎？

生? 時(shí)鐘。

師? （出示鐘面）鐘面上藏著的三個(gè)角中，哪個(gè)角最大？哪個(gè)角最小？

（學(xué)生回答。）

師? 請(qǐng)同學(xué)們拿出剛剛做的活動(dòng)角，把角的兩邊重疊在一起，然后先將這個(gè)角變大，再將這個(gè)角變小。

（學(xué)生操作。）

師? 角的大小跟什么有關(guān)呢？

生? 角的大小跟轉(zhuǎn)動(dòng)有關(guān)。

生? 角的大小跟張口的大小有關(guān)。

師? 同桌兩人比一比各自制作的角的大小，再想辦法把兩個(gè)角變成一樣大。

（學(xué)生操作。）

師? 可以發(fā)現(xiàn)，同學(xué)們把角變成一樣大的方法基本相同：角的頂點(diǎn)對(duì)齊，其中一邊也對(duì)齊，看另外一條邊。

（指名學(xué)生拿著制作的角上臺(tái)）他的角和老師的角比，誰(shuí)的角大，大的部分在哪兒？

（學(xué)生回答。）

師? 所以，大的部分也是——

生? 一個(gè)角。

師? 如果將一個(gè)角變得很小很小，這個(gè)角長(zhǎng)什么樣？

（學(xué)生先思考后操作再交流。）

師? 如果很大呢？

生? 接近平角。

師? 還是尖尖的嗎？

生? 不是。

師? 所以，“尖尖的”不是角的特征，一個(gè)頂點(diǎn)和兩條直的邊才是角的特征。請(qǐng)利用圓片的對(duì)折找一找角。

……

三、教后心得

除了動(dòng)靜兩相宜的教學(xué)思路以外，本課教學(xué)還特別重視引導(dǎo)學(xué)生交流與反思。交流與反思要在符合學(xué)生年齡特征的前提下，通過具象的、序列化的活動(dòng)，幫助學(xué)生慢慢積累理性的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，不斷發(fā)展數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

學(xué)習(xí)活動(dòng)中的交流，指向?qū)W生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展、學(xué)習(xí)方法習(xí)得，通過師生互動(dòng)、生生互動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生感悟概念內(nèi)涵、數(shù)學(xué)思想方法、學(xué)習(xí)方法，獲得情感體驗(yàn)與交流評(píng)價(jià)經(jīng)驗(yàn)。例如，在抽象角的特征、體驗(yàn)角的大小內(nèi)涵環(huán)節(jié)，利用“我們找到了這么多數(shù)學(xué)上的角，你們還能想出更多的角嗎？比一比它們有什么相同與不同之處”“既然角有大小，你能想出最小的角長(zhǎng)什么樣嗎？最大的呢”等問題，通過師生互動(dòng)引發(fā)生生互動(dòng)，學(xué)生感悟角的內(nèi)涵，同時(shí)獲得數(shù)學(xué)抽象的路徑與經(jīng)驗(yàn)，在自我觀照中獲得成功體驗(yàn)。

學(xué)習(xí)活動(dòng)后的反思，指向優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu)，感悟、明晰學(xué)習(xí)方法。教師應(yīng)經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生反思學(xué)習(xí)歷程，提煉、表征學(xué)習(xí)方法，保持對(duì)學(xué)習(xí)方法的關(guān)注，養(yǎng)成“方法”意識(shí)。這樣才能把教師的教轉(zhuǎn)化為學(xué)生的學(xué)，實(shí)現(xiàn)“以教促學(xué)”。本課的反思環(huán)節(jié)分為兩個(gè)方面：知識(shí)理解與學(xué)習(xí)方法習(xí)得。在學(xué)生沒有想到方法的現(xiàn)實(shí)背景下，通過“回顧我們的學(xué)習(xí)過程，通過哪些活動(dòng)去認(rèn)識(shí)角”，培養(yǎng)學(xué)生形成從方法視角進(jìn)行反思的習(xí)慣，利用PPT對(duì)活動(dòng)進(jìn)行序列反思，明確觀察比較、操作體驗(yàn)、想象表達(dá)、比較抽象等是學(xué)習(xí)圖形的重要方法。