沈秋雨

（蘇州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 蘇州 215006）

中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)難點在于“舉一反三”，該學(xué)科具有“高度抽象性、結(jié)論確定性與應(yīng)用廣泛性的特點”。然而對于中學(xué)生來說，正是因為數(shù)學(xué)知識或定理的抽象性，所以一些規(guī)律性的已知條件通常都會在題干中以隱藏的形式體現(xiàn)，這顯然給中學(xué)生解題帶來了極大的困擾。部分學(xué)生在解題過程中發(fā)現(xiàn)，即使書本上的公式定理都已經(jīng)一字不差地背誦下來了，但在具體的實踐中還是難以做到活學(xué)活用，不懂得怎么將已知條件轉(zhuǎn)化為一種方便直觀理解的形式，這主要是因為學(xué)生的函數(shù)思維培養(yǎng)比較薄弱。對于中學(xué)生來說，應(yīng)用函數(shù)思維是對所給問題深度觀察、分解、剖析的關(guān)鍵，當傳統(tǒng)代數(shù)法無法解決數(shù)學(xué)難題時，利用“構(gòu)造函數(shù)”規(guī)定思想來提取已知條件或許是一條可行的解題捷徑。

1 研究背景

1.1 函數(shù)思維理念分析

函數(shù)思維是由函數(shù)問題引申出來的一種數(shù)學(xué)思想，近代函數(shù)定義認為，函數(shù)是建立在集合與映射的觀點上，對某個給定數(shù)集A中所有元素施加的一個客觀規(guī)律性法則，這個法則在數(shù)學(xué)上記作f（x）。那么任何一個函數(shù)都有如下三個特征，定義域，函數(shù)自變量x的取值范圍一定，只有x被A包含時函數(shù)才具有意義，所以定數(shù)集合A的取值范圍是明確的；值域，f（x）可以看做是x在特定規(guī)則下的映射值，那么如果元素x的定值范圍明確，f（x）的映射值范圍也應(yīng)是明確的，若另一個定數(shù)集合D中任意元素y在數(shù)值上都與f（x）的輸出結(jié)果相同，那么f（x）=y時，D就是f（x）的函數(shù)值域。定義域與值域可以用來解釋或判斷同屬于數(shù)集A中任意元素在數(shù)值區(qū)間上的屬性特點；對應(yīng)法則，指f（x）的數(shù)量變化關(guān)系，f（x）視為x元素經(jīng)過一系列規(guī)則轉(zhuǎn)化后的唯一映射值，因此若是可以理清f（x）具體所指代的數(shù)值處理規(guī)則，就可以直接推導(dǎo)出特定條件下自變量x的定值或f（x）的輸出值[1]。

在經(jīng)過前人的經(jīng)驗實踐與總結(jié)后得出這樣的結(jié)論，函數(shù)思維的性質(zhì)就是利用函數(shù)描述幾個變量之間映射關(guān)聯(lián)的性質(zhì)，將待解決的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為“已知+未知+規(guī)定法則”的形式，根據(jù)數(shù)學(xué)問題給出的既定規(guī)律，人為地構(gòu)建一種客觀函數(shù)關(guān)系，使題目中的無限的變量被約束在函數(shù)規(guī)律內(nèi)，再去解決具體數(shù)學(xué)問題的一種思維策略。在具體的解題過程中，合理利用函數(shù)的解析式、定義域與值域的取值性質(zhì)來挖掘題目隱藏的已知條件，是函數(shù)思維應(yīng)用的關(guān)鍵所在，建立在充分、全面、深入地了解觀察問題的基礎(chǔ)上，利用數(shù)學(xué)問題中已知條件與未知變量之間的映射關(guān)系來構(gòu)造出函數(shù)的原型，就可以用來描述題干的關(guān)鍵線索或者直接輸出我們想解得的問題答案。

1.2 函數(shù)思維的特點

函數(shù)思維從性質(zhì)上來看，它是數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)中邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)應(yīng)用與數(shù)據(jù)分析交叉形成的產(chǎn)物，是數(shù)學(xué)以“客觀唯物論”為辯證基礎(chǔ)的集中體現(xiàn)。函數(shù)思維在解題過程中應(yīng)用，自然需要中學(xué)生不斷從多個動態(tài)角度來理解數(shù)學(xué)的知識定理，在對已知條件的梳理與轉(zhuǎn)化過程中找到利于答案輸出的解題方法。而函數(shù)思維的培養(yǎng)過程中，中學(xué)生鉆研數(shù)學(xué)的能力與獨立解決數(shù)學(xué)問題的能力都會得到綜合提升，久而久之就會形成一種靈敏的數(shù)學(xué)直覺與數(shù)學(xué)經(jīng)驗，使更加復(fù)雜多變的數(shù)學(xué)問題的解密變得游刃有余、得心應(yīng)手了。在中學(xué)階段的數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用函數(shù)思維，主要是它如下兩個方面特點的體現(xiàn)：

一是化無限為有限的特點，許多數(shù)學(xué)問題給出的已知條件中，某些變量的取值似乎是可以無限變換的，這也是代數(shù)法解題的局限性所在，當代數(shù)關(guān)系不足以描述“無限變化”的變量時，我們就需要用一個短小且有限長度的函數(shù)公式來為它們施加一個規(guī)定法則[2]。這樣不管題目中的變量條件如何取值，在數(shù)值輸出中總要滿足特定規(guī)則下的元素性質(zhì)，用函數(shù)思維解決無限變量的數(shù)學(xué)問題，其目的在于最大程度壓縮或優(yōu)化問題的復(fù)雜程度，始終控制已知或未知的變量條件保持基本的映射關(guān)系，就可以用“有限”規(guī)則來描述“無限”的變量條件了。

二是躍遷轉(zhuǎn)化的特點，函數(shù)思維雖然是從函數(shù)問題中引申出來的數(shù)學(xué)策略，但并不意味著它僅能解決函數(shù)問題。在“已知+未知+固定法則”的解題模板框架下，任何包含未知求解的數(shù)學(xué)型問題，都可以用函數(shù)思維來轉(zhuǎn)化解答。例如中學(xué)的方程式求解、不等式運算以及數(shù)列的規(guī)律推導(dǎo)等，只要用一個構(gòu)造函數(shù)來為其中變量或未知量賦予一個固定的取值范圍，那么就可以用數(shù)與數(shù)的關(guān)系來描述數(shù)學(xué)問題中的抽象變化關(guān)系。所以函數(shù)思維的躍遷轉(zhuǎn)化特點，就是指可以用函數(shù)思維來解答非函數(shù)問題[3]。

2 函數(shù)思維在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用分析

2.1 在方程上的應(yīng)用

函數(shù)與方程是數(shù)學(xué)學(xué)科的兩個不同研究范疇，方程是一組含有未知量的等式，它是表示兩個不同數(shù)學(xué)式之間數(shù)值相等的關(guān)系，方程式問題中使等式成立的條件就是未知數(shù)滿足某一個或多個定值，而推導(dǎo)出方程式未知數(shù)具體值的過程，就叫做方程式求解。函數(shù)與方程問題的聯(lián)系體現(xiàn)在它們的表達形式上，若有一個方程寫作y=0，那么它的解在f（x）=0的圖像與x軸的交點坐標上，而這樣函數(shù)y=f（x）也可以被視為二元一次方程f（x）-y=0的形式來進行解答。所以在方程問題上應(yīng)用函數(shù)思維，關(guān)鍵就在于將方程式整個或某一部分來用函數(shù)關(guān)系式f（x）的方式來替代，先將方程式進行簡化處理，然后再具體分析其中f（x）的變化規(guī)律?？偟膩碚f，在中學(xué)方程問題上應(yīng)用函數(shù)思想，就是將形式較為復(fù)雜或者計算量比較大的方程式兩邊分別構(gòu)造為兩個固定規(guī)則相同的函數(shù)，再利用它們在同一個函數(shù)圖像上的性質(zhì)來判斷取值關(guān)系。

2.2 在不等式上的應(yīng)用

不等式是指用“〉”“〈”“≥”“≤”或“≠”連接的兩個數(shù)學(xué)式，在中學(xué)階段的數(shù)學(xué)問題中，不等式左右兩邊成分的討論范疇均為實數(shù)，其中字母也代表實數(shù)。不等式也有它的定義域，左右兩邊均存在例如m與n等未知數(shù)的，若想要讓不等式成立必須在取值上滿足某些條件，而m所屬數(shù)集A與n所屬數(shù)集B就叫做不等式的公共定義域。不等式與函數(shù)的關(guān)聯(lián)在于它們定義域與解集的共性特征上，例如有這樣一個函數(shù)f（x），它的輸出值y恒定大于0的情況下，x的取值范圍正是不等式f（x）〉0中x的解集，若畫出f（x）的函數(shù)圖像，那么所有在x軸上方的點橫坐標都為不等式f（x）〉0的解集[4]。所以在不等式問題上應(yīng)用函數(shù)思維，可以將函數(shù)增減區(qū)間性質(zhì)判斷不等式成分的輔助手段，為不等式關(guān)系證明或推導(dǎo)提供更多的已知信息。在不等式問題中應(yīng)用函數(shù)思維，關(guān)鍵點就在于根據(jù)不等式的代數(shù)形式來構(gòu)建函數(shù)規(guī)則，再利用構(gòu)建函數(shù)的單調(diào)增減性質(zhì)或者值域特點，對不等式成分進行分析。

2.3 在數(shù)列上的應(yīng)用

數(shù)列與方程和不等式不同，它本身就是數(shù)學(xué)函數(shù)問題中的一個分支，但它的表達形式與一般函數(shù)表達式有所差異，數(shù)列與一般函數(shù)表達式的特殊點在于它的定義域與值域上，它可被看做是定義域為正整數(shù)集的函數(shù)式，這樣有序列的數(shù)字在函數(shù)圖像上表現(xiàn)為彼此分割離散的點坐標。數(shù)列中的子項必須是實數(shù)或負數(shù)，假如有數(shù)列{an}，它的定義域為函數(shù)f（x）的正整數(shù)解集，那么f（x）輸出值y與x的關(guān)系，就可以視為數(shù)列{an}的通項公式。因此函數(shù)思維在數(shù)列問題中應(yīng)用，需要學(xué)生透徹理解二者之間的關(guān)聯(lián)，即f（x）的輸出值y，可以視為數(shù)列中第x項的ax的數(shù)值。

在中學(xué)學(xué)習(xí)階段，數(shù)列的最值問題是最常見到的題型，此類問題主要是考查學(xué)生對數(shù)列通項公式以及數(shù)列定義域、值域等知識點的掌握理解程度。而解決此類數(shù)列最值問題，最便捷的方法就是構(gòu)建其函數(shù)與數(shù)列之間的邏輯關(guān)聯(lián)，從函數(shù)在不同定義域區(qū)間的增減單調(diào)性上來進行子項作差，從而得到問題所求的最大值子項或最小值子項結(jié)果。

3 函數(shù)思維在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用案例分析

3.1 方程問題中應(yīng)用函數(shù)思想的實例

我們以下列一組例題的解法來說明方程式問題中的函數(shù)思維體現(xiàn)：已知 m，n兩個未知數(shù)，滿足方程m3-3m2+5m=1；n3-3n2+5n=5的關(guān)系，求m+n的值。

根據(jù)題干來看，學(xué)生可能會認為最優(yōu)解法是利用代數(shù)法分別解出兩個方程的未知數(shù)解，接著再將兩個方程式的解相加得到問題答案。但在實際操作中會發(fā)現(xiàn)單獨解任何一個方程都存在計算上的障礙，問題中的一元三次方程不易在不借助任何計算設(shè)備輔助的情況下直接手算得出結(jié)果。所以不妨在該題中應(yīng)用函數(shù)思維來優(yōu)化兩個方程式的表達形式，首先將方程式按照如下方法變形：

已知m3-3m2+5m=1，那么則有m3-3m2+5m-1=0[5]。再將其進行因式分解得到新的方程式，（m-1）3+2（m-1）+2=0；同理已知n3-3n2+5n=5，n3-3n2+5n-5=0，因式分解得到（1-n）3+2（1-n）+2=0。我們會發(fā)現(xiàn)經(jīng)過因式分解后得到的兩個變形方程左右兩邊的成分形式已經(jīng)完全相同了，所以可以構(gòu)造一個函數(shù) f（x），使 f（x）=x3+2x+2，那么方程式 1就可以寫作f（m-1）=0，方程式2就可以寫作f（1-n）=0。由于兩個方程式的輸出值完全相等，有f（m-1）=f（1-n）的關(guān)系。此時只需要分析構(gòu)造函數(shù)f（x）=y，當y輸出值一定時x是否存在多個解，就可以判斷m-1與1-n之間是否存在數(shù)值相等的關(guān)系了。而根據(jù)y=x3+2x+2的性質(zhì)來看，它在定義域x∈R上為單調(diào)遞增函數(shù)，因此兩個自變量不可能同時輸出同一個y值。所以m-1與1-n一定為同一個數(shù)值，最后將m-1=1-n方程式的未知數(shù)與已知數(shù)分別變號調(diào)換到等號的同一側(cè)，得到m+n=1+1=2。

3.2 不等式問題中應(yīng)用函數(shù)思想的實例

用如下例題來說明函數(shù)思維在不等式問題中的應(yīng)用：有三個常數(shù) a、b、c，滿足{a、b、c}∈R 的關(guān)系，試證明由 a、b、c構(gòu)成的不等式“”恒成立。

該不等式問題比較棘手的地方在于不明確a、b、c三者之間數(shù)值的大小關(guān)系，因此難以判斷“a+b+c”的值是否大于或小于a、b、c當中任意個體。且由于|a|恒大于0，但若a〈0還需要考慮到|a|=-a的問題，所以無法直接通過比較分母或分子的大小來判斷不等式兩邊的關(guān)系。那么解決該問題，就需要將不等式中的某些特定成分進行函數(shù)化轉(zhuǎn)變。首先我們構(gòu)造一個新的函數(shù)為，那么從函數(shù)實際意義成立的角度來判斷，定義域為x≠1，那么從函數(shù)圖像的性質(zhì)來看，若當輸入值滿足x∈[0，+∞]的關(guān)系時，若x2〉x1，由于函數(shù)在該區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)，所以總有輸出值 y2〉y1。而原不等式中，一定有 a≤|a|、b≤|b|、c≤|c|的數(shù)值關(guān)系，所以a、b、c三者之和一定小于|a|+|b|+|c|。那么根據(jù)我們構(gòu)造函數(shù)f（x）的規(guī)則，原不等式等號左右兩邊的成分就可以被轉(zhuǎn)化為如下形式：

3.3 數(shù)列問題中應(yīng)用函數(shù)思想的實例

以如下例題來說明函數(shù)思維在中學(xué)數(shù)列問題中的應(yīng)用：有一個數(shù)列的表達形式為“”，試求出該數(shù)列通項的最大值。

該問題中的難點在于無法通過手算來將 x=1、x=2、x=3...x=n等數(shù)值逐一帶入到數(shù)列通項公式中求得數(shù)值結(jié)果，且在這樣一系列的實數(shù)串子項中，最大值的數(shù)項位置也難以明確。因此我們需要利用數(shù)列與函數(shù)之間的表達關(guān)聯(lián)，構(gòu)建一個與數(shù)列通項公式規(guī)則相同的函數(shù)表達式，將數(shù)列子項之間數(shù)值大小的問題，遷移引申到函數(shù)在[1,+∞]區(qū)間中極值討論問題。將函數(shù)式解析為的形式，那么將f（x）=0作為推導(dǎo)條件，可以輕易地分析出f（x）在[1,+∞]區(qū)間里有一個唯一穩(wěn)定點k，此時x=k。因此雖然無法根據(jù)已知條件繪制得知f（x）函數(shù)的圖像情況，但可以得出如下結(jié)論，當x〉k時，f（x）的輸出結(jié)果恒小于0，而當x〈k時，f（x）的輸出結(jié)果恒大于0，也就是說在函數(shù)f（x）中存在一個最大值條件，此時。將k的值回代入，不用計算其結(jié)果就可以知道其數(shù)值介于2與3之間，因此我們只要對比數(shù)列中a2與a3之間在數(shù)值上的大小關(guān)系，較大的那個就是該數(shù)列的最大項，經(jīng)過計算可知大于，所以該數(shù)列的最大項數(shù)值為a3，具體數(shù)值為。

4 結(jié)論

綜上所述，中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)難點在于書中的公式定理的靈活應(yīng)用，學(xué)生當接觸到與課本表達形式完全不同的試題時，難以與已學(xué)過的知識脈絡(luò)產(chǎn)生關(guān)聯(lián)。尤其是在未知數(shù)求解過程比較繁雜的應(yīng)用題中，傳統(tǒng)代數(shù)法的解題思路由于難以化解或計算對應(yīng)數(shù)值，容易導(dǎo)致學(xué)生思維陷入囹圄。因此需要在日常教學(xué)中注重學(xué)生函數(shù)思維的培養(yǎng)，只有這樣學(xué)生才能夠從多個角度去觀察分析問題，找到潛在的數(shù)值關(guān)系規(guī)律。在解決數(shù)學(xué)問題的過程中應(yīng)用函數(shù)思維，就是利用函數(shù)建模的方法來為無限的變化形式未知量定義一個固定的規(guī)則，實現(xiàn)復(fù)雜數(shù)學(xué)式的“化繁為簡、化整為零”，利用構(gòu)建函數(shù)的某種規(guī)則表達形式、定義域、值域以及區(qū)間單調(diào)性、增減性等特點來輔助解題，找到便捷、易于理解的全新解題思路。