華南師大附中汕尾學(xué)校 (516600) 潘 宇

人教A版新教材以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，對高中數(shù)學(xué)知識進(jìn)行了串聯(lián)、整合與重構(gòu)，形成了新的主題單元，使得“大單元”“大概念”“大主題”教學(xué)的觀念深入人心，成為近期的研究熱點，大單元教學(xué)設(shè)計主要是從數(shù)學(xué)知識主線、學(xué)生認(rèn)知規(guī)律、教學(xué)組織原則等方面，將教材中具有某種關(guān)聯(lián)性的內(nèi)容進(jìn)行分析、重組、整合而形成相對完整的數(shù)學(xué)大單元進(jìn)行教學(xué)設(shè)計的一種思想，這就要求我們老師要有全局觀，具備“大觀念”，無論是對待知識的歸納，還是解題思想的總結(jié)，都要以“大觀念”統(tǒng)籌兼顧，幫助學(xué)生形成更加豐富的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)和思想方法構(gòu)架.

在高三的二輪復(fù)習(xí)備考過程中，由于學(xué)生之前已經(jīng)經(jīng)歷過各個單元的知識系統(tǒng)歸納，接下來需要對所學(xué)知識進(jìn)行二次加工，在提升解題思維方面狠下功夫.所以我們老師需要找到合適的機會，引導(dǎo)學(xué)生回到整體，將相關(guān)聯(lián)的知識、方法進(jìn)行歸類、整合、“組塊”，以“大觀念”引領(lǐng)二輪復(fù)習(xí)，幫助學(xué)生形成豐富的知識網(wǎng)絡(luò)和解題方法體系，爭取為學(xué)生核心素養(yǎng)的提升添磚加瓦.本文筆者以“恒成立問題的求解策略”為例，展開說明.

一、借助思維導(dǎo)圖，“大方向”總結(jié)解題經(jīng)驗

對于“恒成立問題”，學(xué)生在高一、高二以及高三一輪復(fù)習(xí)中，經(jīng)常接觸，但學(xué)生難以避免的會以“碎片化”的形式就題論題，由于學(xué)生之前所學(xué)的知識與方法有限，導(dǎo)致很多老師會分專題展開教學(xué)，如依次開展“分離參數(shù)”、“虛設(shè)零點”、“必要性探路”等專題帶領(lǐng)學(xué)生逐個擊破難點.但到了二輪復(fù)習(xí)階段，筆者認(rèn)為我們教師要有全局意識，以“大觀念”統(tǒng)籌講過的各種思想方法，才能幫助學(xué)生形成完整的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，所以筆者總結(jié)了如下的思維導(dǎo)圖：

二、全分離，再求最值

分離參數(shù)是處理恒成立問題最為直接好想的方法，學(xué)生也普遍喜歡使用這種快捷的方法，但是分離后的函數(shù)是否容易處理，能否求出最值，還得具體情況具體分析.筆者將全分離后的解題方向總結(jié)如下：

例1 若4lnx-ax-a+8≤0恒成立，則a的范圍為.

例2 若xex-lnx-1≥ax恒成立，則a的范圍為.

總結(jié)：由于g′(x)的零點存在卻無法解出，所以采取“虛設(shè)零點”.化簡式子x02ex0+ lnx0= 0的過程中，構(gòu)造了常見的同構(gòu)函數(shù)F(x)=xex.可以發(fā)現(xiàn)“虛設(shè)零點”和“同構(gòu)”往往相伴而行.

例3 若(1-a)x≤eax-lnx恒成立，則a的范圍為.

總結(jié)：將不等式變成左右“同構(gòu)”的形式，再構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性得到內(nèi)層式子的大小關(guān)系，是一種方便快捷的解法.

三、半分離，再數(shù)形結(jié)合

在全分離得到a≥g(x)后，g(x)不一定容易求導(dǎo)，導(dǎo)后也未必能夠求出最值，有時甚至要動用超綱的洛必達(dá)法則去求端點極限.這時可以考慮“半分離”，具體思路如下.

例4 若ex-lnx-1-kx≥0恒成立，則k的范圍為.

圖1

解法1：(分離出直線)由條件得ex-lnx≥kx+1，設(shè)直線y=kx+1與h(x)=ex-lnx相切于點(x0,y0)，則

總結(jié)：分離出直線這種操作，在做選填題的時候，往往可以四兩撥千斤，但用于解答題是不太恰當(dāng)，由于格式不嚴(yán)謹(jǐn)會被扣分，這一點需要跟學(xué)生解釋，不過我們可以用此方法來預(yù)判結(jié)果.

圖2

總結(jié)：將原條件分離成兩個不同的函數(shù)分布在不等號的兩邊，若兩個函數(shù)的極值點相同，圖形又表現(xiàn)出m(x)min≥n(x)max的特征，則可以考慮嘗試“凹凸反轉(zhuǎn)”去解題.

四、不分離，直接分類討論，分段取舍

如若“全分離”、 “半分離”過后，函數(shù)無特殊規(guī)律，難以處理，則可以考慮直接對原函數(shù)進(jìn)行分類討論，經(jīng)常使用“端點效應(yīng)”或者“必要性探路”預(yù)判答案，再逐段進(jìn)行討論.思路框架如下.

例5 若f(x)=ex-ax2-x-1≥0在x≥0時恒成立，求a的范圍.

總結(jié)：以上解題思路叫做“端點效應(yīng)”，解題線索梳理為f″(x)≥0?f′(x)遞增?f′(x)≥f′(0)=0?f(x)遞增?f(x)≥f(0)=0.

用同樣的思路與方法，可以解決例6，讀者可以自行嘗試，詳細(xì)解答略.

五、系統(tǒng)總結(jié)，靈活使用

“恒成立”問題是一個極其龐大的專題，題型多樣，解題方法也是豐富多彩，但是沒有一種方法可以解決所有問題，所以我們老師還要以“大觀念”為引領(lǐng)，幫助學(xué)生學(xué)會識別、學(xué)會轉(zhuǎn)化，更重要的是學(xué)會遇到困難的時候進(jìn)行迂回探索，不斷化新為舊，找到解題突破口.作為高中數(shù)學(xué)老師，我們更要有“大觀念”，對“恒成立”這個專題所涉及到的方方面面要了如指掌，在教授學(xué)生的時候才能高屋建瓴，才能找到不同的教學(xué)策略，面對不同的學(xué)生，給與適合他們的精準(zhǔn)指導(dǎo).