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        聚焦問(wèn)題結(jié)構(gòu) 揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)

        2022-12-23 15:03:07林潔容
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志(初中版) 2022年6期
        關(guān)鍵詞:變式教學(xué)習(xí)題課初中數(shù)學(xué)

        【摘 要】 數(shù)學(xué)習(xí)題課是數(shù)學(xué)教學(xué)中不可或缺的環(huán)節(jié),是對(duì)概念或定理法則等知識(shí)的鞏固和深化.在數(shù)學(xué)習(xí)題課中重視開(kāi)展變式教學(xué),有助于促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考和對(duì)學(xué)習(xí)的遷移,形成完善的知識(shí)與方法體系.研究以一道數(shù)學(xué)中考題為例,以變式教學(xué)理論為指導(dǎo)開(kāi)展初中數(shù)學(xué)習(xí)題課教學(xué),探討變式的過(guò)程和策略.【關(guān)鍵詞】 變式教學(xué);初中數(shù)學(xué);習(xí)題課

        2021年7月13日,第14屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)在上海舉行,華東師范大學(xué)顧泠沅教授受邀作主題為《45年:一項(xiàng)數(shù)學(xué)教改實(shí)驗(yàn)》的大會(huì)報(bào)告,向國(guó)際同行介紹了基于“青浦實(shí)驗(yàn)”的數(shù)學(xué)教育變式理論.所謂變式是指教師在教學(xué)中有目的有計(jì)劃地變換材料的形式,對(duì)命題進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化,在變換過(guò)程中探究不變的規(guī)律和性質(zhì),從而掌握數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性.顧泠沅教授及其研究團(tuán)隊(duì)將變式教學(xué)分為概念性變式和過(guò)程性變式兩類(lèi)[1-4],其中過(guò)程性變式主要聚焦于數(shù)學(xué)活動(dòng)和問(wèn)題解決的有層次地推進(jìn),從而構(gòu)建起聯(lián)系緊密有邏輯的數(shù)學(xué)知識(shí)體系.

        文[4]提出了數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的思路,指出基本路徑與策略是從一般到特殊、化未知為已知、化繁為簡(jiǎn),通過(guò)一步步的化歸變式不斷向已知的、熟悉的問(wèn)題靠攏;在深入解決某個(gè)問(wèn)題后可通過(guò)特殊到一般、類(lèi)比聯(lián)想等方式變換問(wèn)題,對(duì)問(wèn)題進(jìn)行拓展延伸,而要解決新的問(wèn)題又回到了前面所說(shuō)的化歸思想,如圖1.

        運(yùn)用變式教學(xué)理論,教師可以更好地開(kāi)展習(xí)題課的有效教學(xué),并啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題展開(kāi)探究討論,在解決問(wèn)題的過(guò)程中“學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考”.下面以一道中考題為例,探討如何運(yùn)用變式教學(xué)理論指導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)題課教學(xué),并將師生的教學(xué)活動(dòng)與教師的教研活動(dòng)有機(jī)融為一體.

        1 試題呈現(xiàn)

        問(wèn)題1 (2021年廣東中考第10題)如圖2,設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A,B為拋物線y=x2上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且OA⊥OB.連接點(diǎn)A,B,過(guò)O作OC⊥AB于點(diǎn)C,則點(diǎn)C到y(tǒng)軸距離的最大值為(? ).

        A.12? B.22? C.32? D.1

        2 問(wèn)題解析

        2.1 題意與價(jià)值分析

        本題是一道根據(jù)動(dòng)點(diǎn)求最值的動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題,在直角坐標(biāo)系下將二次函數(shù)、相似三角形、圓等知識(shí)點(diǎn)緊密結(jié)合在一起,體現(xiàn)了學(xué)科內(nèi)知識(shí)間的聯(lián)系,是比較綜合的題目,考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力.

        動(dòng)點(diǎn)A,B的運(yùn)動(dòng),帶動(dòng)圖形的形狀和數(shù)量關(guān)系變化,點(diǎn)C到y(tǒng)軸距離隨著A,B的運(yùn)動(dòng)而變化.但所給條件動(dòng)靜結(jié)合,動(dòng)中有靜,如∠AOB為定角90°.這里還隱含著直線AB與y軸的交點(diǎn)為一定點(diǎn)的重要條件,可以聯(lián)想到點(diǎn)C是在以線段OD為直徑的圓周上.回到圖2和所給條件,也可以聯(lián)系到證明相似三角形中常見(jiàn)的基本圖形——“一線三垂”圖(圖3),直線EF上對(duì)應(yīng)有三個(gè)直角,顯然△AEO∽△OFB.2.2 相關(guān)題目

        如果審題和分析題意后,學(xué)生還不能找到解決問(wèn)題的方法,可以引導(dǎo)學(xué)生思考是否可以將問(wèn)題變得更特殊、更簡(jiǎn)單一些,將之轉(zhuǎn)化為一個(gè)比較熟悉的可以解決的問(wèn)題.

        如果將題目中的條件“拋物線”換成“圓”,其余條件和所求不變,得到如下題目.

        問(wèn)題2 如圖4,以點(diǎn)P(0,a)為圓心(a>0),a為半徑的圓上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A,B,且OA⊥OB.連接點(diǎn)A,B,過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)C,則點(diǎn)C到y(tǒng)軸距離的最大值為多少?

        簡(jiǎn)析 因?yàn)椤螦OB為直角,所以弦AB為圓P的直徑,從而必過(guò)圓心P.由OC⊥CP可知點(diǎn)C必在以O(shè)P為直徑的圓上.故點(diǎn)C到y(tǒng)軸距離的最大值為12OP=12a.

        此題解答的關(guān)鍵在于,由弦AB所對(duì)圓周角為直角,推出AB必過(guò)y軸上的定點(diǎn)(即圓心P).因此自然會(huì)思考:?jiǎn)栴}1中直線AB與y軸的交點(diǎn)D是定點(diǎn)嗎?如果是,則用類(lèi)似問(wèn)題2的方法立即可知,問(wèn)題1中點(diǎn)C到y(tǒng)軸距離的最大值為12OD.下面沿著這個(gè)思路嘗試解決問(wèn)題1.2.3 問(wèn)題解析

        如圖5,作AE⊥x軸于 點(diǎn)E,BF⊥x軸于點(diǎn)F,AH⊥BF于H,設(shè)AH交y軸于點(diǎn)G.設(shè)A(x1,x21),B(x2,x22),D(0,d).

        解法1 由△AGD∽△AHB得AGAH=DGBH,即

        -x1x2-x1=d-x21x22-x21,整理得d=-x1x2.

        由△AEO∽△OFB得AEOF=EOFB,即

        x21x2=-x1x22.

        整理得x1x2=-1.所以d=-x1x2=1.即AB交y軸于定點(diǎn)D(0,1).由∠DCO=90°知,點(diǎn)C在以DO為直徑的圓上運(yùn)動(dòng),故點(diǎn)C到y(tǒng)軸距離的最大值是12DO=12.

        解法2 因?yàn)橹本€AB交y軸于點(diǎn)D(0,d),可設(shè)直線解析式為y=kx+d.聯(lián)立直線和拋物線的解析式,消去y得到x2-kx-d=0.由韋達(dá)定理得x1x2=-d.

        由勾股定理,在Rt△AOB中,

        AB2=OA2+OB2

        =(AE2+OE2)+(OF2+BF2)

        =(x21+x41)+(x22+x42).

        在Rt△AHB中,

        AB2=AH2+BH2

        =(x2-x1)2+(x22-x21)2

        =x21-2x1x2+x22+x42-2x21x22+x41.

        比較以上兩式得2x21x22=-2x1x2,故x1x2=-1.以下同解法1.

        兩種解法的關(guān)鍵都在于求出點(diǎn)D的坐標(biāo),判定其為定點(diǎn)(即不隨A,B的運(yùn)動(dòng)而變化).其中解法1中兩次運(yùn)用相似三角形,更側(cè)重于幾何直觀,而解法2運(yùn)用勾股定理和韋達(dá)定理,更強(qiáng)調(diào)代數(shù)推理.2.4 方法遷移

        得到問(wèn)題1的解答后,能在別的題目中運(yùn)用這個(gè)結(jié)果或者方法嗎?可以看到以下這道題也可以運(yùn)用這個(gè)方法完成.

        問(wèn)題3 (2014年四川宜賓市中考第24題)已知拋物線y=x2+bx+c的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為M(0,-1),與x軸交于A,B兩點(diǎn).(圖略)

        (1)求拋物線的解析式;

        (2)判斷△MAB的形狀,并說(shuō)明理由;

        (3)過(guò)原點(diǎn)的任意直線(不與y軸重合)交拋物線于C,D兩點(diǎn),連接MC,MD,試判斷MC,MD是否垂直,并說(shuō)明理由.

        3 變式與拓展

        3.1 條件一般化

        將問(wèn)題1中的條件一般化,可得如下變式題.

        問(wèn)題4 設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A,B為拋物線y=ax2上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且OA⊥OB.連接點(diǎn)A,B,過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)C,則點(diǎn)C到y(tǒng)軸距離的最大值為.

        簡(jiǎn)析 如圖5,作AE⊥x軸,BF⊥x軸,AH⊥BF交y軸于點(diǎn)G.設(shè)A(x1,ax21),B(x2,ax22),D(0,d).顯然x1≠x2.

        由△AGD∽△AHB可得AGAH=DGBH,即

        -x1x2-x1=d-ax21ax22-ax21.

        化簡(jiǎn)得d=-ax1x2.

        由△AEO∽△OFB得

        AEOF=EOFB,即ax21x2=-x1ax22.

        化簡(jiǎn)得a2x1x2=-1.故d=-ax1x2=1a.

        因此,點(diǎn)D(0,1a)為定點(diǎn).又因?yàn)椤螪CO=90°,所以點(diǎn)C在以DO為直徑的圓上運(yùn)動(dòng),從而點(diǎn)C到y(tǒng)軸距離的最大值是12DO=12a.

        運(yùn)用圖象的平移,可以設(shè)計(jì)如下變式.

        問(wèn)題5 設(shè)拋物線y=x2-1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),點(diǎn)C為拋物線的頂點(diǎn)且CA⊥CB.請(qǐng)用含x1的代數(shù)式表示x2,并證明直線AB必經(jīng)過(guò)一定點(diǎn).

        問(wèn)題6 設(shè)拋物線y=x2-2x+1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),點(diǎn)C為拋物線的頂點(diǎn)且CA⊥CB.請(qǐng)用含x1的代數(shù)式表示x2,并證明直線AB必經(jīng)過(guò)一定點(diǎn).3.2 獲得一般性結(jié)論

        在解決問(wèn)題1和問(wèn)題4的過(guò)程中可以得到如下基本結(jié)論.

        性質(zhì)1 如圖2,設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)為拋物線y=ax2上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn).則以下三個(gè)條件等價(jià),即若其中一個(gè)條件成立則另外兩個(gè)條件也成立.

        (1)(定角)OA⊥OB.

        (2)(定點(diǎn))直線AB交y軸于定點(diǎn)D(0,1a),即直線AB的方程為y=kx+1a,其中斜率k隨點(diǎn)A,B的運(yùn)動(dòng)而變化.

        (3)(定積)A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)乘積x1x2為定值-1a2.

        簡(jiǎn)析 由問(wèn)題4的解答可知,如果(1)成立,則(2)(3)成立.設(shè)(2)成立,聯(lián)立直線和拋物線的方程消去y得ax2-kx-1a=0,則A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿(mǎn)足上述一元二次方程,再由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1x2=-1a2,即(3)成立.設(shè)(3)成立,則

        AB2=(x2-x1)2+(ax22-ax21)2

        =x21+2a2+x22+a2x41-2a2+a2x42

        =(x21+a2x41)+(x22+a2x42)

        =OA2+OB2.

        因此由勾股定理的逆定理得(1)成立.這就證明了(1)(2)(3)三個(gè)條件等價(jià).

        由性質(zhì)1“定點(diǎn)”與“定角”的關(guān)系,立即可得出下面的性質(zhì)2.

        性質(zhì)2 如圖2,設(shè)點(diǎn)A,B為拋物線y=ax2上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接AB交y軸于點(diǎn)D(0,b).則

        (1)當(dāng)b=1a時(shí),∠AOB是直角;

        (2)當(dāng)0

        (3)當(dāng)b>1a時(shí),∠AOB是銳角.

        有了性質(zhì)1和性質(zhì)2這樣的一般性結(jié)論,教師就可以根據(jù)學(xué)生的基礎(chǔ)和教學(xué)目標(biāo)靈活地對(duì)問(wèn)題進(jìn)行變式延伸,從而一步步地由點(diǎn)到面構(gòu)建知識(shí)與方法體系.3.3 應(yīng)用性質(zhì)

        近年各地中考數(shù)學(xué)常常出現(xiàn)與性質(zhì)1相關(guān)的動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題,其考查的內(nèi)容和思想方法本質(zhì)上沒(méi)有太大改變,主要體現(xiàn)在圖形或條件上的局部變化,可以通過(guò)轉(zhuǎn)化與化歸、特殊與一般等方式將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為性質(zhì)1的情形.

        問(wèn)題7 (2022年南寧市中考第26題)如圖2,在平面直角坐標(biāo)系中,A,B是拋物線y=ax2(a>0)上兩個(gè)不同的點(diǎn),其中A在第二象限,B在第一象限.

        (1)當(dāng)直線AB與x軸平行,∠AOB=90°,且AB=2時(shí),求拋物線的解析式和A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的乘積.

        (2)在(1)所求得的拋物線上,當(dāng)直線AB與x軸不平行,∠AOB仍為90°時(shí),A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的乘積是否為常數(shù)?如果是,請(qǐng)給予證明;如果不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

        簡(jiǎn)析 運(yùn)用性質(zhì)1由“定角”推出“定積”.

        問(wèn)題8 (2015年蘭州市中考第28題)已知二次函數(shù)y=ax2的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,1).

        (1)求該二次函數(shù)的解析式;

        (2)一次函數(shù)y=mx+4的圖象與二次函數(shù)y=ax2的圖象交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn).

        ①當(dāng)m=32時(shí),求證:△AOB為直角三角形.

        ②試判斷當(dāng)m≠32時(shí),△AOB的形狀,并證明.

        (3)根據(jù)第(2)問(wèn),說(shuō)出一條你能得到的結(jié)論(不要求證明).

        簡(jiǎn)析 第(2)問(wèn)可運(yùn)用性質(zhì)1由“定點(diǎn)”推出“定角”.第(3)問(wèn)答案不唯一,可結(jié)合性質(zhì)1和性質(zhì)2給出.

        4 教學(xué)建議

        《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》[5]指出,數(shù)學(xué)教學(xué)要關(guān)注數(shù)學(xué)的本質(zhì)、關(guān)注通性通法,這意味著初中數(shù)學(xué)命題將愈加重視對(duì)思維過(guò)程和探究過(guò)程的考查.變式教學(xué)有助于促進(jìn)數(shù)學(xué)習(xí)題課的高效教學(xué),提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維進(jìn)而提高對(duì)學(xué)習(xí)的遷移能力.

        首先,教師要掌握變式教學(xué)的基本路徑,理解其內(nèi)在的思想精髓.如圖1,變式教學(xué)的核心要義是通過(guò)化歸將未知問(wèn)題逐次簡(jiǎn)約,使之與熟悉的基本問(wèn)題靠攏.或者反過(guò)來(lái),從熟悉的基本問(wèn)題出發(fā),由簡(jiǎn)到繁,變換條件設(shè)置障礙,逐漸指向未知問(wèn)題.在習(xí)題課教學(xué)實(shí)踐中,教師可利用輔助性提問(wèn)幫助學(xué)生完成類(lèi)比和轉(zhuǎn)化(可參考波利亞的“怎樣解題表”[6]),例如,若學(xué)生審題后未找到已知和未知之間的直接聯(lián)系,教師可引導(dǎo)學(xué)生尋找一道以前解過(guò)的相關(guān)題目,利用之前的方法和結(jié)果輔助思考當(dāng)前題目,例如,本文中為解答問(wèn)題1先解答相關(guān)但更簡(jiǎn)單的問(wèn)題2.

        其次,教師要完善自身知識(shí)體系,以扎實(shí)學(xué)識(shí)支撐高水平變式教學(xué).前面的探究中可以發(fā)現(xiàn),為有效開(kāi)展變式教學(xué),教師需要貫通初中數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)甚至高等數(shù)學(xué)的知識(shí)體系結(jié)構(gòu),理解數(shù)學(xué)研究的基本思維方式和重要的數(shù)學(xué)思想方法,掌握初等數(shù)學(xué)命題的一般性結(jié)論,做好初高中銜接知識(shí)的教授.如此才能高屋建瓴,站在更高的立意和視角審視初中數(shù)學(xué)內(nèi)容,在學(xué)生的知識(shí)范疇內(nèi)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行靈活變式和拓展引申,有梯度有層次多角度地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究和思考,逐步形成完善的知識(shí)與思想方法體系.

        最后,需要指出,習(xí)題課變式教學(xué)不可一味追求變化導(dǎo)致走向繁難的機(jī)械訓(xùn)練.文[3]指出,知識(shí)和技能的層次性是動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)活動(dòng)的重要特征.對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題一味求變求難而不注重層次性,將演變?yōu)闄C(jī)械訓(xùn)練,與變式教學(xué)的宗旨背道而馳.習(xí)題課變式教學(xué)不必過(guò)分強(qiáng)調(diào)多做多練,而是要通過(guò)精心的教學(xué)設(shè)計(jì),讓學(xué)生體會(huì)復(fù)雜問(wèn)題與相關(guān)基本問(wèn)題之間的逐層轉(zhuǎn)化,再利用適量的有代表性的題目遞變式地開(kāi)展變式訓(xùn)練,提升學(xué)生分步解決問(wèn)題的能力,形成多層次的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)和系統(tǒng)經(jīng)驗(yàn).

        參考文獻(xiàn)

        [1]顧泠沅.教學(xué)實(shí)驗(yàn)論:青浦實(shí)驗(yàn)的方法學(xué)與教學(xué)原理研究[M].北京:教育科學(xué)出版社,1994:101-125,137-138.

        [2]顧泠沅,黃榮金,F(xiàn)·馬頓.變式教學(xué):促進(jìn)有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的中國(guó)方式[A].范良火,黃毅英,蔡金法,李士鑄.華人如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)[C].南京:江蘇教育出版社,2005:247-273.

        [3]顧非石,顧泠沅.詮釋“中國(guó)學(xué)習(xí)者悖論”的變式教學(xué)研究[J].課程·教材·教法,2016,36(03):86-91.

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        [5]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2022.

        [6][美]G·波利亞.怎樣解題[M].涂泓,馮承天,譯.上海:上??萍冀逃霭嫔?,2018.

        作者簡(jiǎn)介 林潔容(1989—),女,廣東英德人,碩士,中學(xué)一級(jí)教師,惠州市名班主任工作室主持人;主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)和德育研究.

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