孫仕賢

［摘要］ 問題是數(shù)學課堂的核心要素，課堂主線是一堂數(shù)學課的方向引領(lǐng)，將課堂問題結(jié)合課堂主線進行串聯(lián)，形成的問題串對學生數(shù)學學習有很大的幫助。本文以“三次函數(shù)圖像與性質(zhì)探究”課堂教學為例，基于問題串探究教學案例，通過教后反思，結(jié)合案例分析，提出設置怎樣的問題串可以拉動課堂主線的相關(guān)策略。

［關(guān)鍵詞］ 問題串；三次函數(shù)；課堂主線；數(shù)學實驗

問題串是指教師在教學過程中根據(jù)教學內(nèi)容和教學目標精心設計出的一系列與本節(jié)課邏輯相關(guān)的層次性問題。問題串有利于營造和諧互動的課堂氛圍，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力，突破教學的重點、難點。在高中數(shù)學教學中，讓學生從簡單的特例入手，再不斷地改變已知條件設置問題，提高思維難度，這種螺旋上升式的問題串教學能極大地推動學生思維水平的發(fā)展。

如何設置問題串是讓一堂數(shù)學課具有靈魂的關(guān)鍵。問題串的設置應圍繞一個主線進行，每一個問題都不能獨立存在，而應由一根繩子一般的主線所串聯(lián)起來，脫離了主線串聯(lián)的問題串很難有效地達到預期的課堂效果。本文中，筆者以一節(jié)公開課“三次函數(shù)的圖像與性質(zhì)探究”為例，研究問題串教學拉動數(shù)學課主線的積極影響，并給出了運用問題串來拉動課堂主線的策略。

一、三次函數(shù)問題串探究教學意義

三次函數(shù)是高中數(shù)學重要的一類函數(shù)，很多典型的綜合大題都是以三次函數(shù)為載體而展開的。同時，三次函數(shù)的導函數(shù)是一個二次函數(shù)，學生可以利用學過的二次函數(shù)相關(guān)經(jīng)驗，類比研究三次函數(shù)的圖像與性質(zhì)。

因為涉及函數(shù)圖像研究，所以有效地在課堂體現(xiàn)數(shù)學抽象、邏輯推理、直觀想象的數(shù)學核心素養(yǎng)是本節(jié)課的重中之重。學生對用導函數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)并不陌生，但確定準確、可行的函數(shù)圖像研究方向，學生還有一定的困難。其次，能否將抽象的數(shù)學代數(shù)式和直觀的函數(shù)圖像關(guān)聯(lián)與對應起來，這反映出一種很重要的數(shù)學思維能力——數(shù)形結(jié)合，而這也是本節(jié)課的研究主題之一。此外，對于三次函數(shù)的圖像分類方式，從圖像的直觀呈現(xiàn)到最后的確定代數(shù)上的分類標準，其間的過程讓學生深刻感受到了分類討論思想的重要性，如何尋找分類的標準，也是學生需要掌握的一項重要能力。

因此，本節(jié)課為了達到訓練學生數(shù)學思維和核心素養(yǎng)的目標，通過設置探究活動和設計問題串的形式，將三次函數(shù)的圖像與性質(zhì)探究過程經(jīng)過一系列的小組探究活動、小組問題討論、學生數(shù)學實驗、學生課堂總結(jié)展示等方式，用問題串將各項活動串聯(lián)起來，讓學生由表及里、從具體到抽象、從復雜到簡化地在課堂上完成了三次函數(shù)的圖像與性質(zhì)探究。這樣的問題串教學模式，將整節(jié)課連成片，學生學習層次逐漸遞進，主線清晰，課堂上學生互動頻繁，課堂效果尚佳。下面筆者截取課堂中部分問題串的實錄進行展示，并對設計內(nèi)容進行分析和探究。

二、課堂問題串設計分析

（一）復習回顧，舊問題引入新知

函數(shù)本不是學生陌生的內(nèi)容，研究具體函數(shù)的基本思路學生也已具備，但在高二下學期這個節(jié)點，考慮到本節(jié)內(nèi)容和高一函數(shù)知識的縱向聯(lián)系，通過設置問題串，利用合適的數(shù)學問題情境有助于學生回顧研究三次函數(shù)所需的預備知識，這樣有利于課堂活動的開展及后續(xù)問題串的設置。課堂問題串如下：

問題一：在初中，我們已經(jīng)學習了二次函數(shù)，下面老師想請大家來一同回顧下，對于一般的二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0，b，c∈R）中，系數(shù)變化對函數(shù)圖像有什么影響？

問題二：對于三次函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d（a≠0，b，c，d∈R），其定義域為R，它的函數(shù)圖像是什么樣的呢？

通過回顧二次函數(shù)相關(guān)知識，學生體悟到函數(shù)解析式中系數(shù)對圖像的影響，同時也為下面開展一般的三次函數(shù)圖像與性質(zhì)探究打下知識基礎。課堂上，學生對二次函數(shù)的性質(zhì)掌握得很熟練，但當新的問題出現(xiàn)時，對于如何進一步探究表現(xiàn)出手足無措的情況。課堂上的這一狀況讓筆者更加堅定本節(jié)課對學生函數(shù)過往知識復習是有必要的。這樣的課堂問題串讓學生產(chǎn)生了知識需求感，從而奠定了這節(jié)課探究新知的基調(diào)。

（二）數(shù)學實驗，主問題探究新知

數(shù)學課堂往往充滿了思維的碰撞，但數(shù)學的抽象性是學生學習數(shù)學知識的核心困難。為了讓數(shù)學課堂更具趣味性，便于學生直觀理解相應的數(shù)學概念，本節(jié)課采用了現(xiàn)代科技手段，開展數(shù)學實驗的方式，利用問題串進行實驗探究，啟發(fā)與引導學生開展三次函數(shù)的探究學習。為了讓學生有明確的探究方向，筆者在數(shù)學實驗環(huán)節(jié)設置了如下的問題串：

問題一：請同學們打開平板，在Geogebra圖形計算器上輸入三次函數(shù)表達式y(tǒng)=ax3+bx2+cx+d（a≠0，b，c，d∈R），拖動數(shù)軸改變a、b、c、d的取值，觀察三次函數(shù)圖像的動態(tài)變化，并思考：根據(jù)你的觀察，當a、b、c、d變化時，圖像會有哪些可能的情況？

問題二：我們想知道各系數(shù)對三次函數(shù)圖像的影響，其實就是研究各系數(shù)對函數(shù)單調(diào)性的影響，你會選擇什么知識作為你研究一個新函數(shù)圖像與性質(zhì)的工具？

問題三：請大家嘗試繪制三次函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d（a≠0，b，c，d∈R）的導函數(shù)y'=3ax3+2bx+c圖像，你會畫出哪些情況呢？

（學生活動后，學生代表展示成果）

問題四：你畫出這些圖形的分類標準是什么？

問題五：現(xiàn)在你能根據(jù)導函數(shù)的分類情況，畫出對應原函數(shù)的圖像嗎？

問題六：那我們可以得到什么樣的探究結(jié)論？

（學生活動，根據(jù)導函數(shù)圖像繪制原函數(shù)圖像，總結(jié)結(jié)論，填寫總結(jié)表格并展示）

第二部分的問題串設計是本節(jié)課新知探究的重點，為了讓學生直觀感受到系數(shù)改變對圖像的影響，筆者結(jié)合GGB圖形計算器設置探究問題串，引導學生觀察圖像，得出大致的圖像規(guī)律。

在這個環(huán)節(jié)中學生獲得了充足的數(shù)學實驗探究時間，得到的圖像分類也在其他同學的補充下完整呈現(xiàn)。這也和上一個環(huán)節(jié)中的問題設置有關(guān)聯(lián)，學生在產(chǎn)生一探究竟的欲望后，他們對于數(shù)學實驗的探究觀察就會愈發(fā)的細致，因此得出的結(jié)論也會趨于準確。

有了直觀的分類后，對于其背后隱藏的數(shù)學知識，筆者也通過設置問題串的方式，引導學生思考其理論依據(jù)，幫助學生確立研究該數(shù)學問題的工具和方法。在這樣的探究后，學生便較好地掌握了如何研究函數(shù)圖像與性質(zhì)的基本方法和工具，這對以后深入學習函數(shù)、導數(shù)知識起到了重要的鋪墊作用。

在課堂上學生對筆者設置的問題給出了準確回答，從選擇研究工具為導數(shù)，再到探究導函數(shù)圖像和原函數(shù)圖像的對應關(guān)系，他們在對問題的不斷深入中加深了對知識的理解，最終由學生自主探究出相關(guān)結(jié)論，達到筆者設置問題串的目的。

（三）知識拓展，問題串應用新知

檢驗所學內(nèi)容是否掌握的方式無外乎能否有效地應用。三次函數(shù)的學習除了掌握其圖像和系數(shù)關(guān)系，導函數(shù)和原函數(shù)圖像關(guān)系之外，還應注重數(shù)學思想方法的學習。本節(jié)內(nèi)容涉及了分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想方法，體現(xiàn)了數(shù)學抽象、數(shù)學建模、直觀想象等數(shù)學核心素養(yǎng)。因此，筆者設計了有關(guān)三次函數(shù)零點個數(shù)的問題串。

問題一：結(jié)合三次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，請同學們思考三次函數(shù)的零點會有哪些可能的情況？

問題二：以上的零點情況都有哪些約束條件？

學生在三次函數(shù)圖像的分類標準下思考三次函數(shù)零點問題，這對培養(yǎng)分類討論思想大有裨益，也能讓他們明白掌握思想方法比死記硬背結(jié)論更加有效。

課堂上，學生經(jīng)過問題串思考，對于這個拓展探究基本上有了研究方向，很快就通過圖像分類，確定分類標準和分類情況，得出最終結(jié)論。不難發(fā)現(xiàn)，本節(jié)課的問題串設置達到了提升學生研究函數(shù)圖像與性質(zhì)的教學目標。

（四）課堂小結(jié)，新問題提升新知

適當?shù)恼n堂總結(jié)，是對這一節(jié)課的反思與升華，有助于學生構(gòu)建起三次函數(shù)的相關(guān)知識體系，并掌握更有效的方法研究函數(shù)問題。需要注意課堂的總結(jié)并不是簡單的知識回顧，而是在回顧知識的基礎上，讓學生思考這節(jié)課在數(shù)學思想上的收獲和啟發(fā)，思考老師的問題設置幫助自己掌握了哪些方法與技巧。善于課堂總結(jié)與反思，課后整理與思考的學生在數(shù)學學習上必會有很大的自驅(qū)力。

三、設置問題串拉動課堂主線的策略方法

本節(jié)課課堂教學層次由淺入深、由表及里、層次遞進，學生在課堂上目標明確，課堂主線脈絡清晰，不是在簡單的灌輸知識，而是在教學生如何學習數(shù)學。這樣的設計能讓數(shù)學課堂層次清晰，有助于教師結(jié)合課堂主線設置問題串開展數(shù)學教學，這也體現(xiàn)了問題串教學的優(yōu)勢所在。問題串教學體現(xiàn)了構(gòu)建數(shù)學知識、探究數(shù)學問題、形成數(shù)學方法、體現(xiàn)數(shù)學能力、展現(xiàn)數(shù)學文化等多重教育價值。因此，筆者就設置怎樣的問題串以達到拉動課堂主線提出了以下策略與方法。

（一）設置遞進性的問題串

因為學生的數(shù)學能力和思維存在差異，所以教師在設計問題串時應考慮到全體學生，由易到難、由表及里。這不僅體現(xiàn)了新知識與已學知識的前后關(guān)聯(lián)，也彰顯了本節(jié)課的思維層次和前后問題的邏輯關(guān)聯(lián)，對學生抓住課堂主線及訓練思維有很大幫助。本節(jié)課中，筆者以回顧二次函數(shù)作為引入內(nèi)容，到利用現(xiàn)代科技開展數(shù)學實驗探究三次函數(shù)圖像與性質(zhì)不同分類的直觀表象，再到選取研究工具并開展深入的圖像分類的數(shù)學論證，最后到應用圖像拓展探究三次函數(shù)零點問題。課堂教學活動由問題串層層引導，思維難度層層遞進，促進了學生能力的逐步提升。同時，也關(guān)注到了所學知識的數(shù)學本質(zhì)，拉動課堂知識與思維主線，提高了課堂效率。

（二）設置探究性的問題串

數(shù)學核心素養(yǎng)在數(shù)學課堂上的表征是一個從認知到解決再到吸收內(nèi)化的過程。若僅是零散的課堂提問、幾道例題的訓練并不足以幫助學生培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)。因此，具有探究性的問題串設計往往比大量的例題訓練更有助于培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。本節(jié)課筆者嘗試將現(xiàn)代科技技術(shù)帶入課堂，利用平板電腦及Geogebra圖形計算器開展數(shù)學實驗探究，根據(jù)探究內(nèi)容精心設置了系列問題串，幫助學生經(jīng)歷了從體驗問題到解決問題，最后到內(nèi)化吸收相關(guān)知識的實驗探究過程，不僅涵育了數(shù)學抽象、邏輯推理和直觀想象等數(shù)學核心素養(yǎng)，還給學生滲透了數(shù)形結(jié)合、分類討論、類比的數(shù)學思想方法。在探究性問題串的幫助下，學生不僅高效地掌握了知識內(nèi)容，還培養(yǎng)了自主思考、自主探究的學習能力。

（三）設置針對性的問題串

一堂有價值的數(shù)學課往往是通過問題串引領(lǐng)的，而問題串中的每一個小問題都直指這節(jié)課的知識主線和思維主線。例如，在案例問題串中，筆者先是回顧了已學的二次函數(shù)，在此基礎上提出三次函數(shù)圖像的研究問題，接著讓學生通過實驗觀察，思考當三次函數(shù)各系數(shù)變化時圖像的不同呈現(xiàn)情況，這樣的提問目標指向明確，讓學生觀察總結(jié)，直觀地掌握圖像分類。其次，第二次活動中，在確定了導函數(shù)為研究工具后，讓學生根據(jù)課前復習的二次函數(shù)內(nèi)容畫出導函數(shù)的所有可能圖像，學生就能順勢而為，很快地根據(jù)二次函數(shù)開口方向和與零點個數(shù)得出了6種可能的導函數(shù)圖像，并在老師的追問下將6種情況同類合并，得出了4類導函數(shù)圖像。最后，根據(jù)導函數(shù)圖像繪制了原函數(shù)圖像，對比直觀實驗結(jié)果，形成了知識結(jié)構(gòu)的串聯(lián)與統(tǒng)一。筆者在課堂上發(fā)現(xiàn)學生的活動目標非常明確，沒有出現(xiàn)沒有頭緒或漫無目的的情況，學生大多課堂思維活躍，緊跟課堂主線節(jié)奏。這說明精準的、有針對性的問題串設置對于課堂主線推動和學生思維培養(yǎng)有很大幫助。

總之，問題串因以核心問題為中心，設計目標精準與思維開放的系列問題，可以有效地引導學生圍繞知識和思維主線，層層深入地思考數(shù)學問題。

［參考文獻］

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