李泳霖

廣西壯族自治區(qū)玉林市北流中學(xué) 537499

眾所周知，學(xué)生現(xiàn)有知識(shí)水平往往是下一個(gè)階段即將要到達(dá)的認(rèn)知水平發(fā)展的基礎(chǔ)，學(xué)生現(xiàn)有知識(shí)水平與潛在的發(fā)展水平會(huì)存在著一定的差異，這個(gè)差異往往就需要學(xué)生站在“已有認(rèn)知”水平上“跳一跳”才能到達(dá)，然因?qū)W生“已有認(rèn)知”水平不同，加上“跳一跳”的高度不同，因此學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平也會(huì)存在一定的差異.教學(xué)中要客觀地認(rèn)識(shí)潛在的發(fā)展水平，科學(xué)地引導(dǎo)學(xué)生“跳一跳”，進(jìn)而使學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和思維發(fā)展水平得以逐漸完善和發(fā)展.

為了探究最近發(fā)展區(qū)的價(jià)值，筆者以“函數(shù)概念”教學(xué)為例，通過(guò)探究最近發(fā)展區(qū)在教學(xué)中的具體作用，逐漸培養(yǎng)和完善學(xué)生的已有認(rèn)知，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)能力不斷提升.

學(xué)情分析

對(duì)于函數(shù)學(xué)生并不陌生，在初中階段學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)并掌握了一次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，重點(diǎn)掌握了變量之間的變化規(guī)律.雖然初中與高中定義函數(shù)的角度不同，然初中對(duì)函數(shù)的定義和數(shù)形結(jié)合思想為學(xué)生在高中理解函數(shù)定義中的一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系奠定了基礎(chǔ).之所以分為兩個(gè)階段進(jìn)行定義，依據(jù)的就是學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)：初中階段，學(xué)生的邏輯思維能力較弱，對(duì)于抽象概念的理解還處于初期的經(jīng)驗(yàn)型；高中階段，學(xué)生的認(rèn)知水平、概括能力、思維能力都有大幅度提升，更能掌握抽象概念的本質(zhì).可見(jiàn)，教材的編排設(shè)計(jì)遵循著最近發(fā)展區(qū)理論.值得注意的是，剛步入高中，受初中學(xué)習(xí)模式和思維方式的影響，學(xué)生思考問(wèn)題時(shí)依然習(xí)慣從具體運(yùn)算或具體問(wèn)題出發(fā).比如，學(xué)生看待函數(shù)時(shí)還是會(huì)從函數(shù)的特點(diǎn)出發(fā)，將其看成具體的函數(shù)，而沒(méi)有將其看成一般函數(shù)y=f（x）.同時(shí)，大部分學(xué)生不習(xí)慣用抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)理解問(wèn)題，因此他們常將抽象字母賦予特殊值，將問(wèn)題向特殊轉(zhuǎn)化，在特殊中推測(cè)出一般規(guī)律.

鑒于學(xué)生的認(rèn)知水平和思維特點(diǎn)，教師在概念教學(xué)中可以創(chuàng)設(shè)一些問(wèn)題或制造一些認(rèn)知沖突，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)很多問(wèn)題不能用特殊化的方法來(lái)解決，也不能用初中對(duì)函數(shù)的定義進(jìn)行解釋?zhuān)源艘龑?dǎo)學(xué)生“跳一跳”，重新解讀函數(shù)的概念.

確定目標(biāo)

通過(guò)舊知回顧喚醒原有認(rèn)知，借助認(rèn)知沖突引發(fā)學(xué)生對(duì)新概念探究的熱情，引導(dǎo)學(xué)生在互動(dòng)交流中不斷完善認(rèn)知，通過(guò)解決最近發(fā)展區(qū)問(wèn)題發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.同時(shí)，教學(xué)中從概念產(chǎn)生的背景出發(fā)，讓學(xué)生體驗(yàn)概念形成的過(guò)程，進(jìn)而學(xué)會(huì)用抽象的語(yǔ)言或符號(hào)進(jìn)行歸納和總結(jié)，讓學(xué)生在不斷探究和完善的過(guò)程中感受數(shù)學(xué)的抽象美.

教學(xué)過(guò)程

1.舊知回顧

師：請(qǐng)同學(xué)們回憶一下，初中階段我們學(xué)習(xí)了哪幾個(gè)函數(shù)？是如何定義函數(shù)的？

函數(shù)的相關(guān)知識(shí)是初中學(xué)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容，學(xué)生印象深刻，問(wèn)題回答毫不費(fèi)力.教師以舊知為引線(xiàn)，喚醒學(xué)生的已有認(rèn)知，掌握學(xué)生現(xiàn)有認(rèn)識(shí)水平以便確定下一個(gè)發(fā)展目標(biāo).

師：大家都說(shuō)得很好，初中的基礎(chǔ)都很扎實(shí).大家分析一下表1中的幾個(gè)變化過(guò)程是不是函數(shù).

學(xué)生根據(jù)函數(shù)定義首先判斷變化過(guò)程中的變量個(gè)數(shù)，尋找變量在變化時(shí)，y與x的對(duì)應(yīng)關(guān)系.表1中的變化過(guò)程學(xué)生并不陌生，此階段教師讓學(xué)生先獨(dú)立思考，然后進(jìn)行組內(nèi)交流，最終得出前面3個(gè)是函數(shù)，后面2個(gè)不是函數(shù).

教師通過(guò)預(yù)設(shè)以上問(wèn)題不僅讓學(xué)生回顧了舊知，也為接下來(lái)創(chuàng)設(shè)認(rèn)知沖突做好了鋪墊，以便學(xué)生在現(xiàn)有認(rèn)知上可以“跳一跳”，深入了解函數(shù)的概念.

2.引發(fā)沖突

師：本節(jié)課要學(xué)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容是函數(shù)的概念.（很多學(xué)生投來(lái)了疑惑的眼神）

師：確實(shí)，初中已經(jīng)學(xué)過(guò)，也能熟練應(yīng)用，為什么高中還要學(xué)呢？（教師以設(shè)問(wèn)的方式激發(fā)學(xué)生想一探究竟的熱情）

師：現(xiàn)在大家分析一下下面幾個(gè)式子，看看他們是不是函數(shù).

（1）y=2；

（2）y=2x+3，x∈｛1，2，4，8，16｝.

從學(xué)生現(xiàn)有發(fā)展水平來(lái)看，學(xué)生對(duì)函數(shù)的理解為“變量x按照一定的規(guī)律變化而得到變量y”，學(xué)生認(rèn)為y=x，y=，y=ax2+bx+c這樣的，y隨x變化而變化的才是函數(shù).對(duì)于以上式子用已有認(rèn)知中的“變量說(shuō)”來(lái)判斷它們顯然不是函數(shù)，那么新概念中的函數(shù)是否有變化呢？是否可以將以上式子歸結(jié)為函數(shù)呢？這樣通過(guò)創(chuàng)設(shè)認(rèn)知沖突和心理沖突，引導(dǎo)學(xué)生積極思考，進(jìn)而沖破已有認(rèn)知的束縛，從一個(gè)新的角度重新認(rèn)識(shí)函數(shù)，在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)完成新知的建構(gòu).

3.形成新知

在初中學(xué)習(xí)函數(shù)概念時(shí)，單純從變化的觀點(diǎn)去描述，強(qiáng)調(diào)的是變量和變域，并未揭示函數(shù)的實(shí)質(zhì)，因此，高中階段需變“特殊”為“一般”，從新的角度出發(fā)，準(zhǔn)確地刻畫(huà)函數(shù)的實(shí)質(zhì).

師：請(qǐng)大家從集合的角度去思考表1中的①、②、③，看看它們有什么共同的特征.（從集合的角度去思考會(huì)使部分學(xué)生產(chǎn)生一定的困擾，因此教師讓學(xué)生進(jìn)行合作探究，通過(guò)合作交流、集思廣益從新角度重新出發(fā)）

生1：此過(guò)程中形成了兩個(gè)非空數(shù)集A，B.

師：很好，還有什么其他發(fā)現(xiàn)？

生2：集合A中的每一個(gè)元素x，在集合B中都可以找到唯一對(duì)應(yīng)的元素y.

師：若將變化過(guò)程看成對(duì)應(yīng)法則f，請(qǐng)大家從集合的角度重新定義一下函數(shù).（因概念較為抽象，需要在教師的引導(dǎo)下，通過(guò)積極討論，抽象概括出新概念）

生3：一般地，設(shè)集合A，B為非空集合，若集合A中的每一個(gè)元素x，按照某種對(duì)應(yīng)法則f進(jìn)行變化，在集合B中都有唯一的元素y與之對(duì)應(yīng)，這樣的對(duì)應(yīng)叫做從A到B的一個(gè)函數(shù).

師：總結(jié)得非常好.那么這種對(duì)應(yīng)關(guān)系記為y=f（x），x∈A，所有輸入的值x組成的集合叫做y=f（x）的定義域；所有輸出的值y組成的集合C（C?B）叫做函數(shù)y=f（x）的值域.（教師進(jìn)行及時(shí)補(bǔ)充）

在生3的基礎(chǔ)上教師及時(shí)進(jìn)行了補(bǔ)充，從而使概念更加完整.此過(guò)程雖然有教師的引導(dǎo)，然教師提出問(wèn)題及后期學(xué)生的探究活動(dòng)都是在學(xué)生現(xiàn)有發(fā)現(xiàn)水平上推進(jìn)的，因此新知的探究顯得自然流暢，學(xué)生參與的積極性較高，很快由“變量說(shuō)”轉(zhuǎn)化為“集合說(shuō)”，使學(xué)生對(duì)函數(shù)的認(rèn)知更加全面、具體.

4.深化理解

雖然學(xué)生全程參與了新概念概括和抽象過(guò)程，然教師若對(duì)概念的關(guān)鍵要素不進(jìn)行提取，學(xué)生對(duì)概念的理解可能依然無(wú)法深入.

師：請(qǐng)根據(jù)函數(shù)的定義思考一下，構(gòu)成函數(shù)需要哪幾個(gè)必備的條件呢？（教師用PPT展示概念，讓學(xué)生更加清晰完整地重新認(rèn)識(shí)概念）

生4：兩個(gè)集合必須“非空”.

生5：還有兩個(gè)關(guān)鍵詞——“每一個(gè)”“唯一”.

學(xué)生對(duì)“每一個(gè)”和“唯一”的理解是形成概念的基礎(chǔ)，教師在此環(huán)節(jié)應(yīng)仔細(xì)講解，進(jìn)而讓學(xué)生深入理解“定義域”和“值域”.

師：現(xiàn)在大家再來(lái)判斷之前給出的y=2和y=2x+3是不是函數(shù).

應(yīng)用新概念，學(xué)生可以輕松地判斷出兩個(gè)式子都是函數(shù)，可見(jiàn)，新知已經(jīng)得到了內(nèi)化.為了探究函數(shù)的核心，教師又做了如下引導(dǎo)：

師：根據(jù)新概念，函數(shù)由哪幾部分構(gòu)成？

在問(wèn)題的引導(dǎo)下，學(xué)生根據(jù)概念總結(jié)出了構(gòu)成函數(shù)的三要素.為了讓學(xué)生深入理解函數(shù)的三要素，教師可以設(shè)計(jì)一些具體實(shí)例，如將函數(shù)y=30x（x≥0）和y=x2（x∈R）相對(duì)比，讓學(xué)生體會(huì)對(duì)應(yīng)法則；讓學(xué)生思考f（x）=x與g（x）=（）2是否為同一函數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生知曉定義域的價(jià)值，對(duì)于值域主要取決于定義域和對(duì)應(yīng)法則，故兩者相同其值域必然相同；為了消除字母的干擾，可引導(dǎo)學(xué)生分析f（x）=x與g（t）=是否為同一函數(shù)，顯然兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則相同，故可直接判斷其為同一函數(shù)，由此讓學(xué)生跳出函數(shù)變量為x，y的固定思維模式的束縛，以便更加全面地理解函數(shù)概念.

5.練習(xí)及反思

練習(xí)是鞏固、檢測(cè)知識(shí)的必經(jīng)之路，教師可設(shè)計(jì)一些分層練習(xí)，同時(shí)在練習(xí)時(shí)預(yù)設(shè)一些“陷阱”，進(jìn)而幫助學(xué)生進(jìn)一步完成知識(shí)的內(nèi)化.同時(shí)，學(xué)習(xí)中要關(guān)注反思，例如函數(shù)概念教學(xué)中，讓學(xué)生進(jìn)行初中、高中函數(shù)概念的對(duì)比反思，總結(jié)和歸納出兩者的區(qū)別與聯(lián)系；讓學(xué)生反思函數(shù)概念的三要素，理清三要素的關(guān)系，進(jìn)而使學(xué)生可以更加深入地理解函數(shù)概念，便于完成最近發(fā)展區(qū)知識(shí)體系的建構(gòu).

總之，教學(xué)中不要急于求成，要堅(jiān)持以學(xué)生為主體，從學(xué)生的現(xiàn)有認(rèn)知水平出發(fā)，通過(guò)“沖突”“抽象”“反思”等思維活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生在最近發(fā)展區(qū)“跳一跳”，進(jìn)而不斷提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.