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        對數(shù)列錯位相減法求和的探討

        2022-10-16 03:01:36秦文波重慶市璧山區(qū)教師進修學(xué)校402760
        數(shù)學(xué)教學(xué)通訊 2022年27期
        關(guān)鍵詞:公比錯位實數(shù)

        秦文波 重慶市璧山區(qū)教師進修學(xué)校 402760

        劉紅梅 重慶市長生橋中學(xué)校 401336

        推導(dǎo)等比數(shù)列前n項和公式時,幾乎所有高中數(shù)學(xué)新教材(2019年及以后出版的)都會介紹錯位相減法,但是,同老教材一樣,新教材并沒有對錯位相減法作更深入的介紹,這在某種程度上給許多師生帶來了一些認知上的偏差.下面,筆者結(jié)合自己開展的專項教研活動,就數(shù)列錯位相減法求和中一些師生關(guān)注的問題作簡要探討.

        約定

        為了敘述方便,本文有以下兩點約定:

        (1)將“一個非零等差數(shù)列與一個公比不為1的等比數(shù)列對應(yīng)項之積構(gòu)成的數(shù)列”簡稱為“差比數(shù)列”.

        (2)設(shè)an≠0(n∈N*),{bn}是公比為q(q≠1)的等比數(shù)列,{an·bn}的前n項和為Sn.

        探討

        探討1:是不是只有差比數(shù)列才能用錯位相減法求得前n項和?

        Sn=a1b1+a2b2+…+anbn①,等式兩邊同乘q得qSn=a1(qb1)+a2(qb2)+…+an(qbn)=a1b2+a2b3+…+anbn+1②,由①-②得(1-q)Sn=a1b1+[(a2-a1)b2+…+(an-an-1)bn]-anbn+1.

        不難發(fā)現(xiàn),能否用錯位相減法求Sn的關(guān)鍵是能否求得(a2-a1)b2+…+(anan-1)bn.不妨令Tn-1=(a2-a1)b2+…+(anan-1)bn.如果{an}是公差為d的等差數(shù)列,則Tn-1=d(b2+…+bn),根據(jù)等比數(shù)列求和公式容易求得Tn-1,即可以用錯位相減法求得差比數(shù)列{an·bn}的前n項和.

        如果{an}不是等差數(shù)列呢?不妨令an-an-1=cn-1(n≥2),則Tn-1=c1b2+…+cn-1bn.若{cn}是等差數(shù)列,則{cn·bn}就是差比數(shù)列,就可以用錯位相減法求得Tn-1,即可以用錯位相減法求得{an·bn}的前n項和.另一方面,由于an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=a1+c1+c2+…+cn-1,根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式的性質(zhì)可知,這里的c1+c2+…+cn-1是關(guān)于n的二次函數(shù),而等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于n的一次函數(shù),故{an}不是等差數(shù)列,因此{an·bn}不是差比數(shù)列,但仍然可以用錯位相減法求得Sn,只不過需要用到兩次錯位相減法.

        因此,錯位相減法并非差比數(shù)列的專屬求和方法,某些非差比數(shù)列也可用錯位相減法求和.

        探討2:什么樣的{an}可用錯位相減法求得{an·bn}的前n項和?

        由探討1知,當{bn}是公比為q(q≠1)的等比數(shù)列且an-an-1=cn-1(n≥2)時,{an}為等差數(shù)列或{cn}為等差數(shù)列,都可以用錯位相減法求{an·bn}的前n項和.

        事實上,當{cn}為等差數(shù)列時,因為可用錯位相減法求得{cn·bn}的前n項和,所以也可用錯位相減法求得{an·bn}的前n項和,此時an是關(guān)于n的二次函數(shù).同樣地,當cn為關(guān)于n的二次函數(shù)時,由于可用錯位相減法求得{cn·bn}的前n項和,所以也可用錯位相減法求得{an·bn}的前n項和,此時an是關(guān)于n 的三次函數(shù).進一步分析不難得到,當an是關(guān)于n的多項式函數(shù),即an=t0+t1n+…+tini+…+tmnm(ti為常數(shù),m∈N*,i=0,1,2,…,m)時,均可用錯位相減法求得{an·bn}的前n項和.

        另外,當{cn}為等比數(shù)列時,{cn·bn}也為等比數(shù)列,an可以寫成an=A+B·(A,B,q1為非零常數(shù))的形式,根據(jù)an的形式結(jié)構(gòu)可知,{an·bn}既可分組求和也可錯位相減求和.同樣地,當cn形如cn=A+B·時,an=An+C+D·(A,C,D,q1為非零常數(shù)),{an·bn}也可用錯位相減法求前n項和.繼續(xù)分析不難發(fā)現(xiàn),當an是關(guān)于n的多項式函數(shù)與形如B·的指數(shù)型函數(shù)的和時,{an·bn}也可用錯位相減法求前n項和.

        綜上,當{bn}是公比為q(q≠1)的等比數(shù)列時,滿足{an·bn}可用錯位相減法求前n項和的{an}有很多,可以是等差數(shù)列,也可以是多項式數(shù)列(通項是關(guān)于n的多項式函數(shù)),還可以是多項式數(shù)列與等比數(shù)列對應(yīng)項之積構(gòu)成的新數(shù)列(以下簡稱“多項乘比數(shù)列”)或其他數(shù)列,只要{an}使得{cn·bn}的前n項和能求出來即可.

        探討3:用錯位相減法求和時是不是一定要乘公比?

        由探討1可知,用錯位相減法求差比數(shù)列的前n項和時,第一步是等式兩邊同“乘公比”,其目的是在“錯位”后“對位”,而“對位”是為了整體“并項”,“并項”后就可以借助等比數(shù)列的求和公式完成差比數(shù)列求和.因此,“乘公比”是非常重要的操作手段.下面探討 “乘其他實數(shù)”的情況.

        因此,用錯位相減法求和時,可以在和式兩邊乘不是公比且不等于1的非零實數(shù),只不過要多用一次錯位相減法.所以,乘公比并非錯位相減法求和的必然要求,只是與乘其他實數(shù)相比,乘公比更簡單.

        結(jié)語

        一般地,每一種數(shù)學(xué)運算方法都有其特定的運算對象和運算規(guī)則,錯位相減法也不例外.對運算對象的深入理解和運算規(guī)則的牢固掌握是使用運算方法進行準確運算的前提,每一種運算方法的教學(xué)都應(yīng)在這兩方面深入思考、下足功夫,只有這樣,才能幫助學(xué)生形成正確的認知結(jié)構(gòu).前述可知,差比數(shù)列的前n項和雖然是錯位相減法基本的運算對象,但教師不能將其“窄化”于此;乘公比雖然是錯位相減法最佳的處理方式,但教師不能不講理由地生搬硬套,并且給學(xué)生傳達錯誤的觀念.

        另外,錯位相減法雖然是差比數(shù)列求和較好的方法,但不是唯一的方法.事實上,如果設(shè){an}是以d(d≠0)為公差的等差數(shù)列,那么對于差比數(shù)列{an·bn},由于anbn=[nd+(a1-d)]b1qn-1,所以當x=時,[nd+(a1-d)]·b1qn-1=[x(n+1)+y]qn+1-(xn+y)qn.即對于差比數(shù)列{an·bn},存在kn=(xn+y)qn,使得anbn=kn+1-kn成立.因此,除錯位相減法外,我們還可用裂項相消法求差比數(shù)列的前n項和.特別地,由于等比數(shù)列{bn}是特殊的差比數(shù)列,故也可用裂項相消法替代錯位相減法推導(dǎo)其前n項和公式.其實,對于等比數(shù)列{bn},因為當kn=時bn=kn+1-kn,所以b1+b2+…+bn=(k2-k1)+(k3-k2)+…+(kn+1-kn)=kn+1-k1=(1-qn).

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