三版數(shù)學(xué)課標(biāo)中“圖形與幾何”領(lǐng)域?qū)嵗鹤兏锛皢⑹?/h1>
2022-11-22 06:50:53張定強(qiáng)郭久星
教師教育論壇(普教版) 2022年6期
張定強(qiáng) 郭久星
摘 要 “圖形與幾何”是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的領(lǐng)域之一，三版義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)都將其列為核心內(nèi)容。本文基于三版課標(biāo)中初中階段“圖形與幾何”的實(shí)例進(jìn)行對比分析，一是從量化的視角分析實(shí)例的特征、變與不變、匹配度，二是從質(zhì)性的視角闡述實(shí)例的詮釋性、示范性以及拓展性，三是基于實(shí)例變革的視角提出實(shí)例育人的價(jià)值。
關(guān)鍵詞 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)；圖形與幾何；實(shí)例；量化；質(zhì)性
中圖分類號 G623.5
文獻(xiàn)標(biāo)識碼 A
文章編號 2095-5995（2022）10-0009-04
一、引言
2022年4月，教育部審核頒布了《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“2022版課標(biāo)”）［1］。與《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱“2011版課標(biāo)”）［2］和2001年頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》（以下簡稱“2001版課標(biāo)”）［3］相比，2022版課標(biāo)在初中階段“圖形與幾何”領(lǐng)域的實(shí)例上發(fā)生了重要變化。實(shí)例是指在具體學(xué)習(xí)內(nèi)容之后附加的供教師參考的教學(xué)范例，具有鮮明的示范性與引領(lǐng)性。實(shí)例中的“例”可以從動詞與名詞兩個(gè)角度進(jìn)行解釋，如果作為名詞使用，“例”則為“可以作依據(jù)的事物”；如果作為動詞使用，“例”的本意是“比照、引導(dǎo)”［4］。那么數(shù)學(xué)教師如何準(zhǔn)確理解并運(yùn)用課標(biāo)中的實(shí)例，達(dá)成以例帶類、以例啟思、以例促學(xué)的目的，最大限度地發(fā)揮實(shí)例的潛在價(jià)值就是十分重要的研究課題。本文從量化與質(zhì)性兩個(gè)方面比較分析三版課標(biāo)中初中“圖形與幾何”中的實(shí)例，以期為數(shù)學(xué)教育工作者更好地教學(xué)與研究實(shí)例提供參考。
二、變革：量化與質(zhì)性分析的視角
（一）量化分析
1.實(shí)例的分布特征
2011版課標(biāo)與2022版課標(biāo)在初中階段“圖形與幾何”領(lǐng)域各主題的設(shè)置上保持一致，即都分為“圖形的性質(zhì)”“圖形的變化”“圖形與坐標(biāo)”三個(gè)主題，將2001版課標(biāo)的四個(gè)主題進(jìn)行了整合。不同的是實(shí)例分布在不同版本的課標(biāo)中發(fā)生了較大的變化（見表1）。
在2001版課標(biāo)中，初中階段“圖形與幾何”領(lǐng)域共設(shè)計(jì)了7個(gè)實(shí)例，其數(shù)量相對于另兩版課標(biāo)較少。分析由表1可知，2001版課標(biāo)在“圖形與坐標(biāo)”主題中共包含4個(gè)具體學(xué)習(xí)目標(biāo)，在每個(gè)具體學(xué)習(xí)目標(biāo)之后都附加了實(shí)例，此版課標(biāo)更重視學(xué)生“圖形與坐標(biāo)”內(nèi)容的學(xué)習(xí)。對比發(fā)現(xiàn)，2001版課標(biāo)較為關(guān)注實(shí)例對具體學(xué)習(xí)目標(biāo)的解釋與示范，但在數(shù)學(xué)思想與方法的突出上不夠明顯。
在2011版課標(biāo)中，初中階段“圖形與幾何”領(lǐng)域共設(shè)計(jì)了9個(gè)實(shí)例，相較于2001版課標(biāo)有所增加，三個(gè)主題均有設(shè)置，但重點(diǎn)安排在“圖形的性質(zhì)”中，占比約67%，旨在培養(yǎng)空間觀念的同時(shí)，強(qiáng)調(diào)提升學(xué)生的幾何直觀性與思維層次性。如例62、例63的設(shè)計(jì)，意在使學(xué)生經(jīng)歷從發(fā)現(xiàn)結(jié)論到驗(yàn)證結(jié)論的過程，有利于初學(xué)者把握證明的條理性和說理的邏輯性［7］。
在2022版課標(biāo)中，初中階段“圖形與幾何”領(lǐng)域共設(shè)計(jì)了10個(gè)實(shí)例，可見實(shí)例在課標(biāo)中的地位日益增強(qiáng)。由表1可知，2022版課標(biāo)實(shí)例數(shù)量雖增加，但70%置于“圖形的性質(zhì)”主題中，這一點(diǎn)與2011版課標(biāo)相同，2022版課標(biāo)中更加注重學(xué)生空間觀念與推理能力的培養(yǎng)，最具特色的是“圖形的變化”主題中加入勾股定理的證明，該實(shí)例結(jié)合現(xiàn)代信息技術(shù)，意在通過動態(tài)演示讓學(xué)生感悟圖形平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱變化的基本特征［8］。
2.實(shí)例的變與不變
相較于前兩版課標(biāo)，2022版課標(biāo)經(jīng)過修訂后將“圖形與幾何”領(lǐng)域的實(shí)例保留了重要主題維度實(shí)例的同時(shí)，也進(jìn)行了相應(yīng)的增、刪（見表2）。
在“圖形的性質(zhì)”中，2022版課標(biāo)總共設(shè)置了7個(gè)實(shí)例，其中有兩個(gè)實(shí)例與2011版課標(biāo)相同，一是仍然強(qiáng)調(diào)反證法是一種重要的數(shù)學(xué)證明方式，二是繼續(xù)重視數(shù)學(xué)推理和數(shù)學(xué)思維，通過實(shí)例讓學(xué)生感悟推理過程的邏輯性是極其重要的，不過2022版課標(biāo)的實(shí)例63直接以“推理過程的邏輯”來命名，并增加了此實(shí)例的難度。該主題下最大的變化是刪除了2011版課標(biāo)中的4個(gè)實(shí)例，突出了幾何學(xué)中“識圖、作圖、證明”的核心思想。
在“圖形的變化”中，2022版課標(biāo)總共設(shè)置了3個(gè)實(shí)例，仍然分布在“圖形中心旋轉(zhuǎn)的變與不變”的內(nèi)容中，與2011版課標(biāo)例64類似，但二者意境不同，2022版課標(biāo)的實(shí)例更具參考價(jià)值。另外，2022版課標(biāo)在此部分增加相似和勾股定理2個(gè)實(shí)例，凸顯出相似在學(xué)習(xí)與生活中的重要地位，而勾股定理承載著重要的文化使命，首次作為實(shí)例出現(xiàn)更能顯現(xiàn)它的獨(dú)特價(jià)值。表2中最為明顯的變化是2022版課標(biāo)刪除了2001版課標(biāo)中的4個(gè)實(shí)例與2011版課標(biāo)中的2個(gè)實(shí)例，使實(shí)例更加聚焦于直觀想象與邏輯推理素養(yǎng)。
3.實(shí)例與內(nèi)容的匹配度
課標(biāo)中實(shí)例與內(nèi)容的匹配度直接影響實(shí)例的使用，故有必要對三版課標(biāo)初中階段“圖形與幾何”領(lǐng)域中實(shí)例與內(nèi)容的匹配度進(jìn)行分析。依三版課標(biāo)可知，實(shí)例與內(nèi)容的匹配度較高，具體來看，前兩版課標(biāo)實(shí)例與課程內(nèi)容雖匹配，但實(shí)例的可拓展性較低、難度不大；而2022版課標(biāo)在此基礎(chǔ)上豐富了實(shí)例的內(nèi)容，明晰重點(diǎn)，明確目標(biāo)，更有利于數(shù)學(xué)教師的教學(xué)與研究（見表3）。
（二）實(shí)例的質(zhì)性分析
1.實(shí)例的詮釋性
“詮釋”是指對一種事物的說明與解釋。實(shí)例的詮釋性一方面體現(xiàn)在學(xué)習(xí)內(nèi)容的說明上，例如課程內(nèi)容指出“理解垂直平分線的概念，會用尺規(guī)作圖”，實(shí)例中則詳細(xì)描述了怎樣運(yùn)用尺規(guī)作圖，并運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，清晰地詮釋了此知識內(nèi)容；另一方面體現(xiàn)在數(shù)學(xué)基本原理和方法的說明上，例如課程內(nèi)容強(qiáng)調(diào)“反證法、舉反例、數(shù)學(xué)思維要合乎邏輯”等，實(shí)例則通過具體的數(shù)學(xué)情境，如“梅森素?cái)?shù)的證明、幾何的例子、三角形全等的證明”來呈現(xiàn)其中的數(shù)學(xué)思想與方法［12］。
2.實(shí)例的示范性
示范性是指具備某些可作他人參考的特征，實(shí)例的示范性是指它所具有的可供教師效仿的教育理念與教學(xué)方法。在教育理念上，實(shí)例有助于數(shù)學(xué)課程反映數(shù)學(xué)的本質(zhì)和發(fā)展動態(tài)，適應(yīng)現(xiàn)代社會和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展。如實(shí)例設(shè)計(jì)“用圖形相似的原理測量建筑物高度”，旨在讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識在現(xiàn)實(shí)情境中的應(yīng)用。在教學(xué)方法上，實(shí)例強(qiáng)調(diào)以學(xué)生為中心，重視發(fā)展學(xué)生的幾何直觀與推理能力，并與現(xiàn)代信息技術(shù)相融合，通過直觀的操作讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的統(tǒng)一、力量和美。
3.實(shí)例的拓展性
實(shí)例的拓展性是指它可以從其他角度促進(jìn)教師和學(xué)生的發(fā)展。于教師而言，實(shí)例可以拓寬教學(xué)視角，引領(lǐng)教學(xué)創(chuàng)新。例如教師可以比較分析多版本教材中設(shè)計(jì)的教學(xué)實(shí)例與課標(biāo)中的實(shí)例，進(jìn)而優(yōu)化教學(xué)。于學(xué)生而言，實(shí)例既可以幫助學(xué)生理解知識，又起到培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識、推理能力與抽象能力的作用。
三、啟示：學(xué)習(xí)與應(yīng)用相結(jié)合的育人視角
課標(biāo)中實(shí)例的更新與變革，肯定了實(shí)例在數(shù)學(xué)教育教學(xué)中的地位。因此教師應(yīng)該在閱讀、思考、分析的基礎(chǔ)上明晰課標(biāo)中實(shí)例的編排思路，整體把握課標(biāo)中實(shí)例的育人導(dǎo)向，挖掘?qū)嵗刑N(yùn)藏的數(shù)學(xué)素養(yǎng)與思維品質(zhì)，從而深入透視課標(biāo)實(shí)例的結(jié)構(gòu)功能。特別要準(zhǔn)確理解2022版課標(biāo)中對實(shí)例的“說明”，其既有必要的問題解決提示，又有實(shí)例的教育教學(xué)價(jià)值分析，還有必要的追問、點(diǎn)撥、拓展等，突顯出實(shí)例的育人取向。
（一）把握與理解實(shí)例，推進(jìn)與學(xué)習(xí)共同體共成長的育人價(jià)值
學(xué)習(xí)共同體是指教育者與受教育者都能達(dá)到一種相對穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，彼此都能在教育過程中得到相應(yīng)的激勵回報(bào)與精神鼓舞，系統(tǒng)內(nèi)各要素之間能形成良性的共生融合態(tài)勢，推動其整體性發(fā)展［13］。實(shí)例是課程內(nèi)容的具體體現(xiàn)，于教育者而言，理應(yīng)高度重視實(shí)例，深度挖掘?qū)嵗?，引?dǎo)受教育者感悟?qū)嵗囊饬x與價(jià)值；于受教育者而言，須在教師的導(dǎo)引下學(xué)習(xí)與研究，在學(xué)習(xí)過程中體會實(shí)例的意蘊(yùn)，并在特定的教育環(huán)境下，以實(shí)例為載體組建學(xué)習(xí)共同體，從不同的視角探討實(shí)例所蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。
（二）對比與研究實(shí)例，領(lǐng)悟經(jīng)典實(shí)例的意蘊(yùn)與育人價(jià)值
通過對比可知，課標(biāo)在變化過程中保留與增加了部分實(shí)例，所以教師應(yīng)領(lǐng)悟經(jīng)典實(shí)例的穩(wěn)定性。例如，對于“掌握平行線的判定定理”這一課程內(nèi)容，2022版課標(biāo)繼續(xù)使用前一版課標(biāo)在此處所使用的實(shí)例，并突出強(qiáng)調(diào)其育人價(jià)值，力爭讓學(xué)生感悟反證法的邏輯和論證流程，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識反證法的重要性。其次要領(lǐng)悟經(jīng)典實(shí)例的當(dāng)下性，2022版課標(biāo)的實(shí)例中加入教學(xué)過程與信息技術(shù)的融合，旨在通過實(shí)例導(dǎo)引教師改變教學(xué)形式單一的現(xiàn)狀，鼓勵數(shù)學(xué)教師充分發(fā)揮信息技術(shù)的作用來展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的可視性，如實(shí)例82旨在讓學(xué)生在問題情境、信息技術(shù)、數(shù)學(xué)探究中發(fā)展核心素養(yǎng)，讓實(shí)例在智能技術(shù)支持下充分地展現(xiàn)它的育人價(jià)值［14］。
（三）分析與應(yīng)用實(shí)例，促進(jìn)與教學(xué)內(nèi)容相融合的育人價(jià)值
為了充分發(fā)揮實(shí)例的教育教學(xué)價(jià)值，數(shù)學(xué)教師要力求將實(shí)例與所對應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容充分融合，用實(shí)例詮釋學(xué)習(xí)內(nèi)容，突出學(xué)習(xí)方法，使實(shí)例的引領(lǐng)示范作用在教學(xué)過程中真正發(fā)揮出來。如表3的對比證明實(shí)例與教學(xué)內(nèi)容有極強(qiáng)的融合度，教師既可以將實(shí)例運(yùn)用在不同類型的課堂上，也可以呈現(xiàn)在一節(jié)課的不同環(huán)節(jié)中。簡言之，教師要認(rèn)真剖析實(shí)例與課程內(nèi)容的適配度，精心備課，以問題與目標(biāo)為導(dǎo)向，敢于創(chuàng)新，為學(xué)生創(chuàng)造魅力與效率兼具的課堂。
（四）評判與研析實(shí)例，增強(qiáng)考試與評價(jià)的育人價(jià)值
考試評價(jià)的目的是全面了解和刻畫學(xué)生在完成課程階段性學(xué)習(xí)后的學(xué)業(yè)成就表現(xiàn)，而課標(biāo)中呈現(xiàn)的實(shí)例正是以問題的形式展示，所以實(shí)例也具有檢測的示范功能，而且是與課程內(nèi)容高度匹配的。因此，教師需要對課標(biāo)中展現(xiàn)的實(shí)例進(jìn)行評判與研析，從核心素養(yǎng)的角度進(jìn)行深度挖掘，諸如挖掘?qū)嵗休d的素養(yǎng)立意與育人導(dǎo)向，挖掘?qū)嵗休d的情境類型與認(rèn)知水平，挖掘?qū)嵗O(shè)置的問題類型與考查范圍等，借助實(shí)例的示范，公平、客觀、準(zhǔn)確地評價(jià)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。在充分分析學(xué)情的前提下，教師可以根據(jù)實(shí)例抽象出不同的評價(jià)維度，與課標(biāo)相關(guān)的學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)、課標(biāo)內(nèi)容中的學(xué)業(yè)要求以及課程實(shí)施中的評價(jià)建議緊密結(jié)合，為學(xué)生建構(gòu)一個(gè)生動、多元、精確的評價(jià)育人體系。
（張定強(qiáng) 郭久星，西北師范大學(xué)教師教育學(xué)院，蘭州 730070）
參考文獻(xiàn)：
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關(guān)鍵詞 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)；圖形與幾何；實(shí)例；量化；質(zhì)性
中圖分類號 G623.5
文獻(xiàn)標(biāo)識碼 A
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2022年4月，教育部審核頒布了《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“2022版課標(biāo)”）［1］。與《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱“2011版課標(biāo)”）［2］和2001年頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》（以下簡稱“2001版課標(biāo)”）［3］相比，2022版課標(biāo)在初中階段“圖形與幾何”領(lǐng)域的實(shí)例上發(fā)生了重要變化。實(shí)例是指在具體學(xué)習(xí)內(nèi)容之后附加的供教師參考的教學(xué)范例，具有鮮明的示范性與引領(lǐng)性。實(shí)例中的“例”可以從動詞與名詞兩個(gè)角度進(jìn)行解釋，如果作為名詞使用，“例”則為“可以作依據(jù)的事物”；如果作為動詞使用，“例”的本意是“比照、引導(dǎo)”［4］。那么數(shù)學(xué)教師如何準(zhǔn)確理解并運(yùn)用課標(biāo)中的實(shí)例，達(dá)成以例帶類、以例啟思、以例促學(xué)的目的，最大限度地發(fā)揮實(shí)例的潛在價(jià)值就是十分重要的研究課題。本文從量化與質(zhì)性兩個(gè)方面比較分析三版課標(biāo)中初中“圖形與幾何”中的實(shí)例，以期為數(shù)學(xué)教育工作者更好地教學(xué)與研究實(shí)例提供參考。
二、變革：量化與質(zhì)性分析的視角
（一）量化分析
1.實(shí)例的分布特征
2011版課標(biāo)與2022版課標(biāo)在初中階段“圖形與幾何”領(lǐng)域各主題的設(shè)置上保持一致，即都分為“圖形的性質(zhì)”“圖形的變化”“圖形與坐標(biāo)”三個(gè)主題，將2001版課標(biāo)的四個(gè)主題進(jìn)行了整合。不同的是實(shí)例分布在不同版本的課標(biāo)中發(fā)生了較大的變化（見表1）。
在2001版課標(biāo)中，初中階段“圖形與幾何”領(lǐng)域共設(shè)計(jì)了7個(gè)實(shí)例，其數(shù)量相對于另兩版課標(biāo)較少。分析由表1可知，2001版課標(biāo)在“圖形與坐標(biāo)”主題中共包含4個(gè)具體學(xué)習(xí)目標(biāo)，在每個(gè)具體學(xué)習(xí)目標(biāo)之后都附加了實(shí)例，此版課標(biāo)更重視學(xué)生“圖形與坐標(biāo)”內(nèi)容的學(xué)習(xí)。對比發(fā)現(xiàn)，2001版課標(biāo)較為關(guān)注實(shí)例對具體學(xué)習(xí)目標(biāo)的解釋與示范，但在數(shù)學(xué)思想與方法的突出上不夠明顯。
在2011版課標(biāo)中，初中階段“圖形與幾何”領(lǐng)域共設(shè)計(jì)了9個(gè)實(shí)例，相較于2001版課標(biāo)有所增加，三個(gè)主題均有設(shè)置，但重點(diǎn)安排在“圖形的性質(zhì)”中，占比約67%，旨在培養(yǎng)空間觀念的同時(shí)，強(qiáng)調(diào)提升學(xué)生的幾何直觀性與思維層次性。如例62、例63的設(shè)計(jì)，意在使學(xué)生經(jīng)歷從發(fā)現(xiàn)結(jié)論到驗(yàn)證結(jié)論的過程，有利于初學(xué)者把握證明的條理性和說理的邏輯性［7］。
在2022版課標(biāo)中，初中階段“圖形與幾何”領(lǐng)域共設(shè)計(jì)了10個(gè)實(shí)例，可見實(shí)例在課標(biāo)中的地位日益增強(qiáng)。由表1可知，2022版課標(biāo)實(shí)例數(shù)量雖增加，但70%置于“圖形的性質(zhì)”主題中，這一點(diǎn)與2011版課標(biāo)相同，2022版課標(biāo)中更加注重學(xué)生空間觀念與推理能力的培養(yǎng)，最具特色的是“圖形的變化”主題中加入勾股定理的證明，該實(shí)例結(jié)合現(xiàn)代信息技術(shù)，意在通過動態(tài)演示讓學(xué)生感悟圖形平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱變化的基本特征［8］。
2.實(shí)例的變與不變
相較于前兩版課標(biāo)，2022版課標(biāo)經(jīng)過修訂后將“圖形與幾何”領(lǐng)域的實(shí)例保留了重要主題維度實(shí)例的同時(shí)，也進(jìn)行了相應(yīng)的增、刪（見表2）。
在“圖形的性質(zhì)”中，2022版課標(biāo)總共設(shè)置了7個(gè)實(shí)例，其中有兩個(gè)實(shí)例與2011版課標(biāo)相同，一是仍然強(qiáng)調(diào)反證法是一種重要的數(shù)學(xué)證明方式，二是繼續(xù)重視數(shù)學(xué)推理和數(shù)學(xué)思維，通過實(shí)例讓學(xué)生感悟推理過程的邏輯性是極其重要的，不過2022版課標(biāo)的實(shí)例63直接以“推理過程的邏輯”來命名，并增加了此實(shí)例的難度。該主題下最大的變化是刪除了2011版課標(biāo)中的4個(gè)實(shí)例，突出了幾何學(xué)中“識圖、作圖、證明”的核心思想。
在“圖形的變化”中，2022版課標(biāo)總共設(shè)置了3個(gè)實(shí)例，仍然分布在“圖形中心旋轉(zhuǎn)的變與不變”的內(nèi)容中，與2011版課標(biāo)例64類似，但二者意境不同，2022版課標(biāo)的實(shí)例更具參考價(jià)值。另外，2022版課標(biāo)在此部分增加相似和勾股定理2個(gè)實(shí)例，凸顯出相似在學(xué)習(xí)與生活中的重要地位，而勾股定理承載著重要的文化使命，首次作為實(shí)例出現(xiàn)更能顯現(xiàn)它的獨(dú)特價(jià)值。表2中最為明顯的變化是2022版課標(biāo)刪除了2001版課標(biāo)中的4個(gè)實(shí)例與2011版課標(biāo)中的2個(gè)實(shí)例，使實(shí)例更加聚焦于直觀想象與邏輯推理素養(yǎng)。
3.實(shí)例與內(nèi)容的匹配度
課標(biāo)中實(shí)例與內(nèi)容的匹配度直接影響實(shí)例的使用，故有必要對三版課標(biāo)初中階段“圖形與幾何”領(lǐng)域中實(shí)例與內(nèi)容的匹配度進(jìn)行分析。依三版課標(biāo)可知，實(shí)例與內(nèi)容的匹配度較高，具體來看，前兩版課標(biāo)實(shí)例與課程內(nèi)容雖匹配，但實(shí)例的可拓展性較低、難度不大；而2022版課標(biāo)在此基礎(chǔ)上豐富了實(shí)例的內(nèi)容，明晰重點(diǎn)，明確目標(biāo)，更有利于數(shù)學(xué)教師的教學(xué)與研究（見表3）。
（二）實(shí)例的質(zhì)性分析
1.實(shí)例的詮釋性
“詮釋”是指對一種事物的說明與解釋。實(shí)例的詮釋性一方面體現(xiàn)在學(xué)習(xí)內(nèi)容的說明上，例如課程內(nèi)容指出“理解垂直平分線的概念，會用尺規(guī)作圖”，實(shí)例中則詳細(xì)描述了怎樣運(yùn)用尺規(guī)作圖，并運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，清晰地詮釋了此知識內(nèi)容；另一方面體現(xiàn)在數(shù)學(xué)基本原理和方法的說明上，例如課程內(nèi)容強(qiáng)調(diào)“反證法、舉反例、數(shù)學(xué)思維要合乎邏輯”等，實(shí)例則通過具體的數(shù)學(xué)情境，如“梅森素?cái)?shù)的證明、幾何的例子、三角形全等的證明”來呈現(xiàn)其中的數(shù)學(xué)思想與方法［12］。
2.實(shí)例的示范性
示范性是指具備某些可作他人參考的特征，實(shí)例的示范性是指它所具有的可供教師效仿的教育理念與教學(xué)方法。在教育理念上，實(shí)例有助于數(shù)學(xué)課程反映數(shù)學(xué)的本質(zhì)和發(fā)展動態(tài)，適應(yīng)現(xiàn)代社會和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展。如實(shí)例設(shè)計(jì)“用圖形相似的原理測量建筑物高度”，旨在讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識在現(xiàn)實(shí)情境中的應(yīng)用。在教學(xué)方法上，實(shí)例強(qiáng)調(diào)以學(xué)生為中心，重視發(fā)展學(xué)生的幾何直觀與推理能力，并與現(xiàn)代信息技術(shù)相融合，通過直觀的操作讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的統(tǒng)一、力量和美。
3.實(shí)例的拓展性
實(shí)例的拓展性是指它可以從其他角度促進(jìn)教師和學(xué)生的發(fā)展。于教師而言，實(shí)例可以拓寬教學(xué)視角，引領(lǐng)教學(xué)創(chuàng)新。例如教師可以比較分析多版本教材中設(shè)計(jì)的教學(xué)實(shí)例與課標(biāo)中的實(shí)例，進(jìn)而優(yōu)化教學(xué)。于學(xué)生而言，實(shí)例既可以幫助學(xué)生理解知識，又起到培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識、推理能力與抽象能力的作用。
三、啟示：學(xué)習(xí)與應(yīng)用相結(jié)合的育人視角
課標(biāo)中實(shí)例的更新與變革，肯定了實(shí)例在數(shù)學(xué)教育教學(xué)中的地位。因此教師應(yīng)該在閱讀、思考、分析的基礎(chǔ)上明晰課標(biāo)中實(shí)例的編排思路，整體把握課標(biāo)中實(shí)例的育人導(dǎo)向，挖掘?qū)嵗刑N(yùn)藏的數(shù)學(xué)素養(yǎng)與思維品質(zhì)，從而深入透視課標(biāo)實(shí)例的結(jié)構(gòu)功能。特別要準(zhǔn)確理解2022版課標(biāo)中對實(shí)例的“說明”，其既有必要的問題解決提示，又有實(shí)例的教育教學(xué)價(jià)值分析，還有必要的追問、點(diǎn)撥、拓展等，突顯出實(shí)例的育人取向。
（一）把握與理解實(shí)例，推進(jìn)與學(xué)習(xí)共同體共成長的育人價(jià)值
學(xué)習(xí)共同體是指教育者與受教育者都能達(dá)到一種相對穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，彼此都能在教育過程中得到相應(yīng)的激勵回報(bào)與精神鼓舞，系統(tǒng)內(nèi)各要素之間能形成良性的共生融合態(tài)勢，推動其整體性發(fā)展［13］。實(shí)例是課程內(nèi)容的具體體現(xiàn)，于教育者而言，理應(yīng)高度重視實(shí)例，深度挖掘?qū)嵗?，引?dǎo)受教育者感悟?qū)嵗囊饬x與價(jià)值；于受教育者而言，須在教師的導(dǎo)引下學(xué)習(xí)與研究，在學(xué)習(xí)過程中體會實(shí)例的意蘊(yùn)，并在特定的教育環(huán)境下，以實(shí)例為載體組建學(xué)習(xí)共同體，從不同的視角探討實(shí)例所蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。
（二）對比與研究實(shí)例，領(lǐng)悟經(jīng)典實(shí)例的意蘊(yùn)與育人價(jià)值
通過對比可知，課標(biāo)在變化過程中保留與增加了部分實(shí)例，所以教師應(yīng)領(lǐng)悟經(jīng)典實(shí)例的穩(wěn)定性。例如，對于“掌握平行線的判定定理”這一課程內(nèi)容，2022版課標(biāo)繼續(xù)使用前一版課標(biāo)在此處所使用的實(shí)例，并突出強(qiáng)調(diào)其育人價(jià)值，力爭讓學(xué)生感悟反證法的邏輯和論證流程，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識反證法的重要性。其次要領(lǐng)悟經(jīng)典實(shí)例的當(dāng)下性，2022版課標(biāo)的實(shí)例中加入教學(xué)過程與信息技術(shù)的融合，旨在通過實(shí)例導(dǎo)引教師改變教學(xué)形式單一的現(xiàn)狀，鼓勵數(shù)學(xué)教師充分發(fā)揮信息技術(shù)的作用來展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的可視性，如實(shí)例82旨在讓學(xué)生在問題情境、信息技術(shù)、數(shù)學(xué)探究中發(fā)展核心素養(yǎng)，讓實(shí)例在智能技術(shù)支持下充分地展現(xiàn)它的育人價(jià)值［14］。
（三）分析與應(yīng)用實(shí)例，促進(jìn)與教學(xué)內(nèi)容相融合的育人價(jià)值
為了充分發(fā)揮實(shí)例的教育教學(xué)價(jià)值，數(shù)學(xué)教師要力求將實(shí)例與所對應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容充分融合，用實(shí)例詮釋學(xué)習(xí)內(nèi)容，突出學(xué)習(xí)方法，使實(shí)例的引領(lǐng)示范作用在教學(xué)過程中真正發(fā)揮出來。如表3的對比證明實(shí)例與教學(xué)內(nèi)容有極強(qiáng)的融合度，教師既可以將實(shí)例運(yùn)用在不同類型的課堂上，也可以呈現(xiàn)在一節(jié)課的不同環(huán)節(jié)中。簡言之，教師要認(rèn)真剖析實(shí)例與課程內(nèi)容的適配度，精心備課，以問題與目標(biāo)為導(dǎo)向，敢于創(chuàng)新，為學(xué)生創(chuàng)造魅力與效率兼具的課堂。
（四）評判與研析實(shí)例，增強(qiáng)考試與評價(jià)的育人價(jià)值
考試評價(jià)的目的是全面了解和刻畫學(xué)生在完成課程階段性學(xué)習(xí)后的學(xué)業(yè)成就表現(xiàn)，而課標(biāo)中呈現(xiàn)的實(shí)例正是以問題的形式展示，所以實(shí)例也具有檢測的示范功能，而且是與課程內(nèi)容高度匹配的。因此，教師需要對課標(biāo)中展現(xiàn)的實(shí)例進(jìn)行評判與研析，從核心素養(yǎng)的角度進(jìn)行深度挖掘，諸如挖掘?qū)嵗休d的素養(yǎng)立意與育人導(dǎo)向，挖掘?qū)嵗休d的情境類型與認(rèn)知水平，挖掘?qū)嵗O(shè)置的問題類型與考查范圍等，借助實(shí)例的示范，公平、客觀、準(zhǔn)確地評價(jià)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。在充分分析學(xué)情的前提下，教師可以根據(jù)實(shí)例抽象出不同的評價(jià)維度，與課標(biāo)相關(guān)的學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)、課標(biāo)內(nèi)容中的學(xué)業(yè)要求以及課程實(shí)施中的評價(jià)建議緊密結(jié)合，為學(xué)生建構(gòu)一個(gè)生動、多元、精確的評價(jià)育人體系。
（張定強(qiáng) 郭久星，西北師范大學(xué)教師教育學(xué)院，蘭州 730070）
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