王雯

［摘 要］“現(xiàn)象教學”自2016年由芬蘭提出后，在國際上一直備受關(guān)注，而中國教育也進入了“以核心素養(yǎng)為本”的改革新階段，兩者都是以學生為中心，期望培養(yǎng)學生多方面的能力。課堂是教學的主陣地，有效性是教學的生命，因此如何實現(xiàn)高效教學成為教師需要研究的重要問題。文章以新高考下的“解三角形復習課”教學為例，從高考新題型出發(fā)，讓“現(xiàn)象教學”走進數(shù)學課堂，重在發(fā)揮學生的主觀能動性，充分挖掘?qū)W生的潛力，培養(yǎng)學生的綜合能力。

［關(guān)鍵詞］現(xiàn)象教學；數(shù)學課堂；解三角形

［中圖分類號］ ? ?G633.6 ? ? ? ?［文獻標識碼］ ? ?A ? ? ? ?［文章編號］ ? ?1674-6058（2022）20-0011-03

一、背景介紹

芬蘭教育一直備受世界關(guān)注。2016年8月，芬蘭進行了新一輪的教育教學改革，提出了“現(xiàn)象教學”的概念。“現(xiàn)象教學”可理解為基于現(xiàn)象的教學，它弱化了學科界限，圍繞學生感興趣的主題調(diào)配師資，強調(diào)學生的學習興趣和學習環(huán)境，以培養(yǎng)學生的綜合能力為目標［1］?！艾F(xiàn)象教學”的出現(xiàn)，改變了傳統(tǒng)學科的分類，它的完成需要很多方面的能力，如學會調(diào)查，學會查閱資料，學會從各個角度去看待和分析問題。2020年，江蘇省實施了新的高考方案。從《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》也可以看出，我國的課程改革及高考改革倡導以解決問題為導向，以學生為中心，期望學生學會自主學習，具備自主學習的能力和分析解決問題的能力。

目前新高考中增加了以結(jié)構(gòu)不良問題為核心的新題型，如何讓學生在有限的時間內(nèi)選擇更優(yōu)的解題方法成為教師在教學中需要思考的問題。讓“現(xiàn)象教學”走進課堂，可調(diào)動學生的學習積極性，讓學生在解決問題的過程體會到獲取知識的快樂。下面筆者以“解三角形復習課”的教學為例，談一談如何讓“現(xiàn)象教學”走進數(shù)學課堂。

二、教學設計與策略

新高考中對于解三角形知識的考查多以結(jié)構(gòu)不良的形式呈現(xiàn)，題目中常出現(xiàn)條件缺失或條件選擇的情況，解此類題型的基本思想有兩個：一是可解，即補充或選擇的條件可以達到解題的目的；二是簡單，即補充或選擇的條件可使解題變簡單、容易。當然，補充或選擇的條件不同所出現(xiàn)的計算難度也會有所不同。基于這兩個基本思想，“解三角形復習課”的教學重在充分發(fā)揮學生的主觀能動性，讓學生通過不斷改編題目而成為出題者，并在教師的引導下找到解決問題的最佳方法，在形成完備知識體系的同時提高綜合能力。

“解三角形復習課”的教學片段如下：

師：請大家來看這道題目：在[△ABC]中，角[A， B， C]所對應的邊分別為[a， b， c]，求滿足條件的其他邊和角：[A=60°]，[B=45°]，[c=2]。

生1：可以先計算出角[C]，再利用正弦定理[asinA=bsinB=csinC]求出邊[a， b]。

師：很好，那通過這道題，你覺得正弦定理可以解決什么問題？

生（齊）：已知兩角及一邊，求其他邊和角的問題。

師：能否改變其中一個條件，卻仍能求解這個三角形的邊和角？

生2：將“[c=2]”改成“[b=4]”。

師：這樣改可以嗎？

生3：可以，但是與原題在本質(zhì)上是一樣的。我想把“[A=60°]”改成“[a=4]”。

師：大家覺得這樣改可以嗎？

生4：可以，但是不能用正弦定理求解，要改用余弦定理求解。

師：那你能說說是如何用余弦定理求解的嗎？

生4：利用余弦定理公式[b2=a2+c2-2accosB]可以求出邊[b]，已知三角形的三條邊，再運用余弦定理就可以求出該三角形的另外兩個角了。

師：說得很好。這位同學認為不能利用正弦定理求解，大家有沒有不同的看法？

生5：結(jié)合正弦定理[asinA=bsinB=csinC]和題給條件[a=4]，[B=45°]，[c=2]，可得[4sinA=bsin45°=2sin（135°-A）]，我把能計算的都表示出來，得到[4sinA=b22=222cosA+22sinA]，即[bsinA=22，bsinA+bcosA=2 ，]所以[tanA=-2-2]，再利用同角三角函數(shù)之間的關(guān)系[sin2A+cos2A=1]可以計算出[sinA]，[cosA]，邊[b]以及角[C]。

（此時大家都對生5的解法表示驚嘆）

師：通過這個解法大家發(fā)現(xiàn)了什么？

生6：對于解三角形，用正弦定理可以解決已知兩邊及其夾角的問題，但計算量大，而且容易出錯，用余弦定理會更方便些。

師：是的，所以正弦定理不是不能求解已知兩邊及其夾角的三角形問題，而是求解起來比較麻煩。那正弦定理除了可以解決已知兩角及一邊的三角形問題，還能解決其他情況下的三角形問題嗎？

生7：將[B=45°]改成[a=4]，利用正弦定理[4sin60°=2sinC]可以求得[sinC=34]，通過[cosB=-cos（A+C）=-cosAcosC+sinAsinC]求出[cosB]，再根據(jù)余弦定理求出邊[b]。

師：很好，請大家按照這位同學的思路繼續(xù)往下做。

教師投影一位學生的解法：

因為[sinC=34]，所以[cosC=± 134]，當[cosC=134]時，[cosB=-cos（A+C）=-12×134+32×34=3-138]，所以[b2=16+4-2×4×2×3-138=14+213]；

當[cosC=-134]時，[cosB=-cos（A+C）=-12×-134+32×34=3+138]，所以[b2=16+4-2×4×2×3+138=14-213]。

（投影完后，學生有不同的意見）

生8：因為[a>c]，所以[A>C]，那么角[C]不可能為鈍角，不需要討論[cosC=-134]的情況。

師：非常好，這樣就為解這道三角形題目節(jié)省了時間。如果這道題不需要求解，而是問：滿足題目條件的三角形有幾個？你能做出判斷嗎？

［學生畫圖（如圖1），并做解釋］

師：那能不能繼續(xù)改變條件求解該三角形呢？

生9：將“[A=60°]”改成“[△ABC]的外接圓半徑為2”，利用公式[asinA=bsinB=csinC=2R]（其中[R]為[△ABC]外接圓的半徑），就可以解該三角形了。

師：改得好，大家的思維已經(jīng)不再局限于邊、角的互改了。那大家還記得這個公式是怎么得來的嗎？

（教師引導學生對相關(guān)知識點進行了回顧）

師：還可以再改嗎？

生10：將“[A=60°]”改成“[△ABC]的面積為4”，利用[12acsinB=4]可求出邊[a]，再利用余弦定理求出邊[b]，最后通過正弦定理求出角[A]與角[C]，這樣就把三角形解出來了。

師：這位同學已經(jīng)想到三角形的面積問題了，那如果我們把條件“[B=45°]”換成“[a=6]”以及把“[c=2]”換成“[S△ABC=63]”，即題目條件變成“[A=60°]，[a=6]，[S△ABC=63]”，你能求解該三角形嗎？

教師借助投影，展示兩位學生的解法：

生11：由[asinA=bsinB=csinC=2R ]，得[b=43sinB ]，[c=43sinC]，由[S△ABC=63]得[12×43sinB]

[43sinC×32=123sinBsinC=63]，所以[sinBsinC=12]，即[sinBsin（120°-B）=12]，展開后化簡得[2sin2B-π6=1]，所以[B=π6]或[B=π2]，當[B=π6]時，[C=π2]，所以[b=23]，[c=43]；當[B=π2]時，[C=π6]，所以[b=43 ， ?c=23]。

生12：由[S△ABC=63]得[12bc×32=63]，所以[bc=24]，由[b2+c2-a2=2bccosA]得[b2+c2=60]，所以[（b-c）2=12]，[（b+c）2=108]，所以[b=43]，[c=23]，[B=π2]，[C=π6]或者[b=23]，[c=43]，[B=π6]，[C=π2]。

師：從這兩位同學的解法中，你們發(fā)現(xiàn)了什么？

生13：對于解三角形會有不同的方法，但是所消耗的時間會有很大的不同，這就提醒我們要靈活應用公式，盡可能地選擇最優(yōu)方案。

（教師展示一道具體的例題，引導學生鞏固拓展）

［例題］（2020年新高考Ⅰ卷）在①[ac=3]，②[csinA=3]，③[c=3b]這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求[c]的值；若問題中的三角形不存在，請說明理由。

問題：是否存在[△ABC]，它的內(nèi)角[A， B， C]的對邊分別為[a， b， c]，且[sinA=3sinB]，[C=π6]， ? ? ? ? ? ? ？

三、教學反思

（一）探索性提問，激發(fā)學生的學習興趣

本節(jié)課采用了探索性提問，通過讓學生改編題目調(diào)動學生探究的積極性，激發(fā)學生的學習興趣。而問題作為學生探究的主線，其設置的合理性尤為關(guān)鍵。問題過于簡單，會讓學生沒有思考，無法啟發(fā)學生思維；問題過于深奧，會讓學生無從下手沒有辦法回答，這樣會打擊學生的積極性，長此以往，學生會產(chǎn)生抵觸情緒。因此，問題不但要有階梯性，以便學生能夠不斷深入思考，還要有一定的引導性，使學生能夠逐步發(fā)展思維，提升能力。本節(jié)課中教師所提出的問題，如“如果這道題不需要求解，而是問：滿足題目條件的三角形有幾個？你能做出判斷嗎？”“那大家還記得這個公式是怎么得來的嗎？”一方面給予了學生鼓勵，讓學生盡可能多思考；另一方面讓學生的思維更發(fā)散，所獲取的知識更全面?！斑@位同學認為不能利用正弦定理求解，大家有沒有不同的看法？”這種提問給予了學生充分質(zhì)疑的時間和空間，很好地鍛煉了學生辨析問題的能力。而“這位同學已經(jīng)想到三角形的面積問題了，那如果我們把條件‘[B=45°]’換成‘[a=6]’以及把‘[c=2]’換成‘[S△ABC=63]’，即題目條件變成‘[A=60°]，[a=6]，[S△ABC=63]’，你能求解該三角形嗎？”這個問題將解三角形提升到了一個新的高度，并且通過展示學生的不同解法，讓學生自己發(fā)現(xiàn)不同方法的不同運算過程，進而找到問題的實質(zhì)，培養(yǎng)學生提出問題、解決問題、挖掘問題本質(zhì)的能力。

（二）投影式點評，讓學生找到問題的本質(zhì)

個體的發(fā)展需要借助工具，也需要通過與社會的互動，與人的互動，不斷地反思，不斷地修正來實現(xiàn)。本節(jié)課對于簡單問題的回答大多采用口述的方式，但對于“看似簡單，實則不易”的問題則進行了投影點評，讓學生在自己的方法和其他同學的方法的對比中找到最優(yōu)方法，進而達到自我修正、培養(yǎng)能力的效果。祁建新等人認為，同樣是教學生思考，還要分是思考什么以及怎樣思考。對知識進行思考，得到的是對知識的認識；對現(xiàn)象進行思考，得到的是對世界的認知［2］。通過投影學生的解題過程與結(jié)果，能看到學生思考問題的過程，而對于方法的點評，可以讓學生了解自身的不足，并且學會接納其他方法，而學生這種“容他”的表現(xiàn)，體現(xiàn)了教師的德育滲透十分有效。

（三）互動式教學，提高課堂教學效率

教育不應僅僅是把前人已有的經(jīng)驗﹑知識教給學生，而應將學生培養(yǎng)成完整的人，使得他們具有思考的能力﹑判斷的能力以及獨立解決問題的能力［3］。傳統(tǒng)的復習課大多是以先復習知識點再應用的方式進行的，這樣的課堂較沉悶，學生也覺得無趣。如果我們換種方式，以學生為主體，鼓勵他們實踐，讓他們不只是被動地做題，而是成為出題者，并且自己去發(fā)現(xiàn)、去探究，那么不僅能完成知識的回顧及應用，還能激發(fā)學生的學習興趣，這與“現(xiàn)象教學”中“強調(diào)學生的學習興趣和學習環(huán)境，以培養(yǎng)學生的綜合能力為目標”不謀而合。本節(jié)課通過互動式教學，讓學生一直處于思考中，思考自己提出的問題，思考同學提出的問題，思考老師提出的問題，大大提高了課堂教學效率，學生的思維也在課堂上真正“活”了起來。

四、結(jié)束語

有效性是教學的生命，因此，在響應國家“減負”號召的同時，教師應讓學生在有限的時間內(nèi)掌握更多的知識，提高他們各方面的能力，要讓“高效教學”真正在每節(jié)課中得到落實。為此，教師要明確自己的角色定位，關(guān)注學生的發(fā)展，引導學生去表達自己的想法，充分調(diào)動學生的學習積極性，促進學生加強反思及協(xié)同合作，讓知識的穩(wěn)固及加深變得更容易，盡可能地減少不同層次學生之間的差異。

要實現(xiàn)高效教學需要以學生為中心。因此，教師要引導學生積極投入到學習中，成為問題的提出者和解決者，并且能理解問題的本質(zhì)，把握問題的解決方法。

［ ? 參 ? 考 ? 文 ? 獻 ? ］

［1］ ?俞建芬，蔡國英. 芬蘭“現(xiàn)象教學”的理念﹑內(nèi)涵與啟示［J］.教學與管理，2019（33）：121-124.

［2］ ?祁建新，徐建東，水菊芳，等.注重數(shù)學思想引領(lǐng) 深化“現(xiàn)象教學”探究［J］.中學數(shù)學教學參考，2019（13）：25-28.

［3］ ?程元元.現(xiàn)象教學進課堂的策略研究：基于高中學生數(shù)學核心素養(yǎng)的提升［J］.數(shù)學教學通訊，2019（36）：17-18，25.

（責任編輯 黃春香）