◎溫 定

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣州 510000)

一、簡介

在歐洲文藝復(fù)興期間，數(shù)學(xué)也得到了極大的發(fā)展，Rene Descartes和Pierre de Fermat等數(shù)學(xué)家開時(shí)代之先河，創(chuàng)立并發(fā)展了解析幾何這一全新的幾何學(xué)分支，實(shí)現(xiàn)了代數(shù)與幾何的完美融合在高中數(shù)學(xué)的知識(shí)體系中，以圓錐曲線為主要研究對(duì)象的平面解析幾何占據(jù)了極其重要的位置，其中的“最值問題”更是在近些年的高考題中頻頻出現(xiàn)，很大程度上考驗(yàn)了高中生的直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)波利亞“怎樣解題”的思想源自匈牙利數(shù)學(xué)家George Polya，這一思想采取問題引導(dǎo)的形式，循序漸進(jìn)地啟發(fā)學(xué)生對(duì)某一問題進(jìn)行探索，極大體現(xiàn)了元認(rèn)知策略在解題過程中的應(yīng)用這一思想不僅能以程序化的形式為學(xué)生提供解題思路，更能啟迪學(xué)生學(xué)會(huì)如何思考問題，培養(yǎng)他們獨(dú)立探索的能力

為了更好地引導(dǎo)學(xué)生樹立良好的解題習(xí)慣，培養(yǎng)正確的解題思路，提高問題解決和知識(shí)遷移的能力，筆者基于波利亞“怎樣解題”的思想，以一道高考題為例，探究設(shè)計(jì)了高中數(shù)學(xué)圓錐曲線部分關(guān)于“最值問題”的解題表

二、解題表的設(shè)計(jì)探究——以一道高考題為例

例題呈現(xiàn) (2021年全國乙卷數(shù)學(xué)(理)第21題)

已知拋物線:=2(>0)的焦點(diǎn)為，且與圓:+(+4)=1上點(diǎn)的距離的最小值為4

(1)求;(2)若點(diǎn)在上，,是的兩條切線，,是切點(diǎn)，求△面積的最大值

第二問：這是一個(gè)經(jīng)典的圓錐曲線“最值問題”，本文將以該題為例，基于波利亞“怎樣解題”的思想，探究圓錐曲線“最值問題”解題表的設(shè)計(jì)

(一)弄清問題，明確幾何對(duì)象和待求最值

在弄清問題階段，我們的主要工作是明晰已知與未知，理清整個(gè)問題的來龍去脈根據(jù)波利亞“怎樣解題”的思想，我們將從引導(dǎo)語“未知數(shù)是什么”“已知數(shù)據(jù)是什么”“條件是什么”中得到一些啟發(fā)

1未知數(shù)是什么？

顧名思義，對(duì)于“最值問題”而言，它的未知數(shù)是明確的，就是題目需要我們求解的最值因此，這里的引導(dǎo)語可以改寫為“問題需要我們求解的最值是什么？”，具體到例題，它要求我們計(jì)算的最值是“△面積的最大值”

2已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么？

圖1 表征題目的草圖

就研究對(duì)象而言，圓錐曲線的“最值問題”仍然屬于幾何學(xué)問題的范疇，它具有幾何學(xué)問題共有的一些特點(diǎn)，直觀性就是其中之一對(duì)于某一具體的幾何問題，常?？梢越柚L制草圖的方法對(duì)問題進(jìn)行直觀的描繪和解析，幫助解題者更為直觀明了地理解這個(gè)問題因此，在弄清問題這一階段，需要盡可能地畫出相應(yīng)的草圖，對(duì)問題進(jìn)行可視化表征我們根據(jù)題設(shè)條件，可以繪制例題對(duì)應(yīng)的草圖如圖1所示

而后，結(jié)合問題描述和草圖呈現(xiàn)，可以對(duì)問題中所涉及的幾何對(duì)象進(jìn)行一一羅列，并闡明它們的幾何意義，賦予它們適當(dāng)?shù)姆?hào)假設(shè)和代數(shù)表示(如表1所示)

表1 題目所涉及幾何對(duì)象及其意義

同時(shí)，為了充分運(yùn)用問題中的條件，還需要我們結(jié)合問題描述和草圖呈現(xiàn)，盡可能完整地羅列出各個(gè)幾何對(duì)象之間的聯(lián)系具體而言，我們可以在題目中挖掘出以下幾何關(guān)系：條件①：點(diǎn)在圓上；條件②：直線,是拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為,；條件③：直線與拋物線分別交于,兩點(diǎn)

我們可以為“最值問題”具體地添加這些引導(dǎo)語：“你能繪制出這個(gè)問題對(duì)應(yīng)的草圖嗎？”“結(jié)合問題描述和草圖呈現(xiàn)，你可以明確哪些幾何對(duì)象？它們有相應(yīng)的符號(hào)假設(shè)和代數(shù)表示嗎？如果沒有，你能否為它們加上？”“這些幾何對(duì)象之間有什么關(guān)系？你可以把它們一一羅列出來嗎？”

(二)擬定計(jì)劃，將原問題代數(shù)化

在擬定計(jì)劃這一階段，旨在找出已知數(shù)與未知數(shù)之間的聯(lián)系，構(gòu)思出一個(gè)解決問題的計(jì)劃具體到圓錐曲線“最值問題”的求解計(jì)劃，就是要利用解析幾何的工具，分別將幾何關(guān)系和待求最值代數(shù)化，得到相應(yīng)的代數(shù)方程和代數(shù)式，并建立二者之間的代數(shù)學(xué)聯(lián)系，將圓錐曲線“最值問題”轉(zhuǎn)化為代數(shù)學(xué)意義上的“最值問題”

1幾何關(guān)系代數(shù)化

根據(jù)歸納的幾何關(guān)系，結(jié)合所學(xué)知識(shí)，我們可以得到如下代數(shù)方程：

(1)條件①的代數(shù)化：

由于點(diǎn)在圓上，故(,)滿足圓的方程，即

(1)

(2)條件②的代數(shù)化：

首先，根據(jù)條件我們可以認(rèn)識(shí)到，點(diǎn),在拋物線上，從而有

從而，直線,的方程可以表示為

(2)

(3)條件③的代數(shù)化：

為了研究直線與拋物線之間的相交關(guān)系，我們首先要獲得直線的方程，此處可以從前面求得的直線,的方程出發(fā)，展開思考由于點(diǎn)既在直線上，又在直線上，故根據(jù)(2)式，有

回到條件③，直線與拋物線分別交于,兩點(diǎn)，那么，聯(lián)立兩者的方程，得

-2+4=0,

(3)

并有

=(-2)-4·4=4·(-4)>0,

又由韋達(dá)定理，得+=2,=4

2待求最值代數(shù)化

而后，需要再觀察問題中需要我們求解的最值，它是否為代數(shù)式的形式，如果不是，也應(yīng)將其進(jìn)行代數(shù)化具體到這一例題，“△面積的最大值”的確不是以一個(gè)代數(shù)式的形式出現(xiàn)，因此，首先需要將其進(jìn)行代數(shù)化，即將其表示為(△)并且，根據(jù)三角形的面積公式，有

其中，表示點(diǎn)到直線的距離，由點(diǎn)到直線的距離公式可得

||表示線段的長度，由弦長公式可得

那么，有：

3問題的代數(shù)化

總而言之，解題表中的引導(dǎo)語可以寫為：“你能夠?qū)⑦@些幾何關(guān)系進(jìn)行代數(shù)化，得到相應(yīng)的代數(shù)方程嗎？”“待求最值是代數(shù)形式嗎？如果不是，你可以將它進(jìn)行代數(shù)化嗎？”“你可以運(yùn)用代數(shù)學(xué)的方法，利用所得的代數(shù)方程求解得到代數(shù)式的最值嗎？”

(三)執(zhí)行計(jì)劃，利用代數(shù)學(xué)方法求解最值

這一部分的實(shí)現(xiàn)，主要取決于代數(shù)方程的完整性和解題者的代數(shù)學(xué)功底一方面，如果這個(gè)“最值問題”本身是可解的，那么只要保證了代數(shù)方程的完整性，一般可以借由這些代數(shù)方程推導(dǎo)出代數(shù)式的最值，即問題中需要我們求解的最值另一方面，這里所涉及的代數(shù)方程通常為元一次方程或分式方程，代數(shù)式的最值求解用不等式或函數(shù)方法一般都可以實(shí)現(xiàn)不過，對(duì)于不同的問題，其運(yùn)算量往往是參差不齊的，這就要求學(xué)生具有較為良好的數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)和扎實(shí)的代數(shù)學(xué)功底

由代數(shù)方程(1)，可以得到=1-(+4)，且-5≤≤-3

從而-4=1-(+4)-4=--12-15=-(+6)+21則當(dāng)=-5時(shí)，有：

(-4)=[-(+6)+21]=-(-5+6)+21=20

此時(shí)，△的面積取得最大值，即

至此，已經(jīng)給出了整個(gè)問題的完整解答過程

歸結(jié)而言，這一部分的引導(dǎo)語可以改寫為：“按照你的計(jì)劃，運(yùn)用代數(shù)學(xué)的方法，根據(jù)所獲得的代數(shù)方程求解代數(shù)式的最值，進(jìn)而獲得問題中的最值”“在求解過程中，檢驗(yàn)?zāi)愕难菟氵^程是否正確”

(四)回顧反思，探索新法，推廣結(jié)論

在回顧反思階段，旨在回溯和反思整個(gè)過程，挖掘解題要點(diǎn)，并探索其他解題思路和結(jié)論的推廣

1其他方法的探索

回溯上文的步驟，我們以平面直角坐標(biāo)系為依托，基于幾何對(duì)象的一般方程，將已知對(duì)象和已知條件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)方程，并利用三角形面積公式，將待求最值轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)式，從而將整個(gè)問題進(jìn)行代數(shù)化，最后運(yùn)用代數(shù)學(xué)的方法得到了問題的結(jié)果此處，我們可以從代數(shù)方程的形式和三角形面積的計(jì)算方法兩個(gè)方面入手，探尋新的解題思路

一方面，可以適當(dāng)?shù)貙⒁话惴匠烫鎿Q為參數(shù)方程對(duì)于圓上的一點(diǎn)，可以借由圓的參數(shù)方程，將其坐標(biāo)表示為(cos,-4+sin)，那么就有：

另一方面，可以從三角形的面積計(jì)算方法入手，這里主要介紹圖形割補(bǔ)法和三角形面積的向量公式兩種方案

圖2 圖形割補(bǔ)法示意

后續(xù)步驟略

進(jìn)而有:

所以得到：

后續(xù)步驟略

2問題的一般化推廣

綜上所述，回顧反思階段的引導(dǎo)語可以表述為“你是否可以采用其他方法得出這一結(jié)果？譬如應(yīng)用不同形式的代數(shù)方程或不同類型的計(jì)算公式”“你可以將原問題的結(jié)論進(jìn)行推廣嗎？”

三、結(jié)果呈現(xiàn)

綜上所述，可以整理得到圓錐曲線“最值問題”的解題表如表2所示

表2 圓錐曲線“定值問題”的解題表

四、應(yīng)用與推廣

本文結(jié)合了波利亞“怎樣解題”的思想和圓錐曲線“最值問題”的特點(diǎn)，探究設(shè)計(jì)了“最值問題”的解題表，旨在引導(dǎo)學(xué)生理清“最值問題”的結(jié)構(gòu)，對(duì)“最值問題”的求解和反思有一個(gè)更為清晰的認(rèn)識(shí)具體而言，就是“啟發(fā)式”地運(yùn)用幾何直觀和代數(shù)形式對(duì)問題進(jìn)行表征，明晰問題中的已知與未知，將問題進(jìn)行代數(shù)化，最后借助代數(shù)學(xué)的方法對(duì)幾何問題進(jìn)行求解，感悟幾何與代數(shù)的碰撞這不僅可以為學(xué)生的解題和反思提供一定的引導(dǎo)，也可以為教師的題目講授提供一定的教學(xué)參考

在高中階段，圓錐曲線部分的知識(shí)涉及面廣，還包括了定值問題、存在性問題等綜合類問題本文設(shè)計(jì)的解題表主要適用于圓錐曲線部分的“最值問題”，對(duì)于其他類型的問題具有較弱的適用性，但仍有一定的參考作用目前，國內(nèi)大多數(shù)運(yùn)用到波利亞解題思想的研究都是針對(duì)某一個(gè)具體的題進(jìn)行分析，對(duì)于某一類問題的解題表設(shè)計(jì)較為少見，值得后來者繼續(xù)研究與探索