鮑留兄

(甘肅省廣河縣廣河中學(xué))

新人教A 版數(shù)學(xué)教材《必修第一冊》第五章第5節(jié),在第225頁給出了如下一段話:

因?yàn)椴煌娜呛瘮?shù)式不僅會有結(jié)構(gòu)形式方面的差異,而且還會存在所包含的角,以及這些角的三角函數(shù)種類方面的差異,所以進(jìn)行三角恒等變換時(shí),常常要先尋找式子所包含的各個(gè)角之間的聯(lián)系,并以此為依據(jù)選擇適當(dāng)?shù)墓?這是三角恒等變換的一個(gè)重要特點(diǎn).

這段話側(cè)重告訴我們:在分析、解決有關(guān)三角恒等變換問題時(shí),往往需要先尋找式子所包含的各個(gè)角之間的聯(lián)系,并以此為依據(jù)選擇適當(dāng)?shù)墓?基于此,本文依據(jù)這種解題思想結(jié)合實(shí)例展開分析.

1 尋找聯(lián)系,推導(dǎo)公式

例1 (教材第217頁)思考題:由公式C(α-β)出發(fā),你能推導(dǎo)出兩角和與差的三角函數(shù)的其他公式嗎?

例2 (教材第217頁)探究題:上面得到了兩角和與差的余弦公式.我們知道,用誘導(dǎo)公式五(或六)可以實(shí)現(xiàn)正弦、余弦的互化.你能根據(jù)C(α＋β),C(α-β)及誘導(dǎo)公式五(或六),推導(dǎo)出用任意角α,β的正弦、余弦表示sin(α＋β),sin(α-β)的公式嗎?

例3 (教材第218頁)探究題:你能根據(jù)正切函數(shù)與正弦 函 數(shù)、余 弦 函 數(shù) 的 關(guān) 系,從C(α±β),S(α±β)出發(fā),推導(dǎo)出用任意角α,β的正切表示tan(α＋β),tan(α-β)的公式嗎?

上述推導(dǎo)過程充分體現(xiàn)了正切函數(shù)與正弦、余弦函數(shù)之間的緊密聯(lián)系,即“商數(shù)關(guān)系”的靈活運(yùn)用,不僅需要我們關(guān)注“切變弦”與“弦變切”技巧的應(yīng)用,還需要我們關(guān)注“同除”技巧的應(yīng)用.

該推導(dǎo)過程的關(guān)鍵是將角2α寫成α＋α的形式,這樣可以為靈活運(yùn)用和角公式創(chuàng)造有利條件,其本質(zhì)就是通過尋找與和角公式的緊密聯(lián)系,順利解題.

2 尋找聯(lián)系,巧解問題

例5 (教材第225頁)求證:

例6 (教材第229頁第5題)已知tan(α＋β)＝3,tan(α-β)＝5,求tan2α,tan2β的值.

總之,結(jié)合以上舉例剖析可知,在處理有關(guān)三角恒等變換問題時(shí),有意識地去考慮式子所涉及的各個(gè)角之間的緊密聯(lián)系(主要是加減聯(lián)系、二倍聯(lián)系),有利于幫助我們靈活選用和(差)角公式或二倍角公式解決目標(biāo)問題,突出體現(xiàn)了“聯(lián)系觀點(diǎn)”在解題中發(fā)揮的巨大作用.另一方面,如果不考慮角與角之間的緊密聯(lián)系,那么有關(guān)三角恒等變換問題的處理將會變得比較困難或者無法解決.因此,在今后的練習(xí)中強(qiáng)化“聯(lián)系觀點(diǎn)”的靈活運(yùn)用,有利于幫助學(xué)生不斷提高分析、解決問題的能力,進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).