馬超周

(北京市第十二中學(xué))

在2016 年教育部提出構(gòu)建新的高考評價體系后,各地高考數(shù)學(xué)開始出現(xiàn)結(jié)構(gòu)不良試題.數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)不良試題特征包括條件部分缺失或冗余、問題不定、解決方法不唯一等.相比于之前的良構(gòu)問題,結(jié)構(gòu)不良試題體現(xiàn)了高考從能力立意到素養(yǎng)導(dǎo)向的轉(zhuǎn)變.因為結(jié)構(gòu)不良試題的初始狀態(tài)、目標(biāo)狀態(tài)、中間狀態(tài)中至少有一個是不確定的,所以學(xué)生需要全面地掌握題目涉及的知識模塊,才能實現(xiàn)在解決問題的過程中,從多個角度分析并提出解決問題的方法,考查了學(xué)生思維的系統(tǒng)性與靈活性.

結(jié)構(gòu)不良試題除了考查學(xué)生在解決問題中的數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平外,其實另一個重要的考查方向是學(xué)生的理性思維水平,所謂理性思維即對于題目中給出的不同條件或者問題進行理性分析后做出恰當(dāng)選擇,然后再選擇更為優(yōu)化的方案解決問題.本文結(jié)合具體的例題探討分析,說明如何進行理性選擇.

1 試題再現(xiàn)

注:如果選擇的條件不符合要求,第(2)問得0分;如果選擇多個符合條件的要求分別解答,按第一個計分.

2 學(xué)生答題情況分析

筆者以此題作為高三學(xué)生復(fù)習(xí)三角函數(shù)單元后的檢測題,共有39名學(xué)生參加測試,其中有16人選擇條件①,在這16人中有3人在解答后發(fā)現(xiàn)矛盾更換條件;有14人選擇條件②,9人選擇條件③.在考試后對部分學(xué)生進行訪談,多數(shù)選條件①的學(xué)生反饋他

從學(xué)生的作答情況可以看出,結(jié)構(gòu)不良試題所要考查的理性選擇水平這一點并沒有得到學(xué)生的足夠重視,學(xué)生僅停留在對知識的分析和應(yīng)用層面.如何對不同條件進行理性分析與選擇,以及針對不同問題如何理性選擇合適的方法,是備考過程中需要注意的問題.

3 試題分析

該題的主要特征是給出的信息不能確定三角形的形狀和大小,因此需要補充條件,理性選擇指的是預(yù)判針對給出的不同條件會對應(yīng)什么樣的問題,并分析解題策略的難易程度.理性選擇的基礎(chǔ)是對解三角形的基本問題類型、不同問題下對應(yīng)三角形的大小、形狀特征以及解題策略有全面清晰的認(rèn)識.

三角形共有六個要素:三條邊和三個角,至少知道其中三個要素才能夠解三角形:按已知條件中與邊有關(guān)的個數(shù)進行分類,可以分為已知三邊、兩邊一角、兩角一邊和三個角四類(如圖1),在不同的情況下可以根據(jù)正、余弦定理的結(jié)構(gòu)特征選擇合適的解題策略.

圖1

本題中的三個條件看似都和三角形的大小相關(guān),但是能否選擇所有條件呢? 在可以選擇的條件中判斷哪個更簡單、優(yōu)化,則是理性選擇考查的內(nèi)容,即選擇的正確性與優(yōu)化性兩個方面.

3.1 理性選擇的正確性

正確性要保證補充的條件可以使得三角形唯一確定,條件①雖然給了與邊長有關(guān)的信息,但是它給出的是邊長b,c的比值,這個信息其實在確定了三角形的三個內(nèi)角后,根據(jù)正弦定理就可以得到,所以條件①不是重復(fù)條件,就是與已知信息矛盾的條件,從正確性的角度分析不會選擇條件①;而條件②和條件③分別給出了三角形的周長和面積,本質(zhì)都是確定三角形的大小,因此從正確性的角度都可以選.

考場上很多學(xué)生若不進行理性選擇,則會出現(xiàn)以下錯誤解答,而且學(xué)生在得到答案后也不能清晰地分析出致錯的根源.學(xué)生的錯解如下:

綜上,從正確性的角度對條件進行分析,可以避免學(xué)生的盲目計算,或者在進行了大量計算后才發(fā)現(xiàn)選擇的條件不符合題意的情況.從知識的角度,是否能做出正確選擇考查了學(xué)生對解三角形問題所有類型以及對應(yīng)解的個數(shù)是否有清晰、完整的認(rèn)識;從能力的角度,考查的則是學(xué)生邏輯推理的水平.

3.2 理性選擇的優(yōu)化性

理性選擇的優(yōu)化性是指從解題簡單、思路直接的角度考慮如何選擇,包含了兩個方面:一方面,可以對比不同條件,選擇思路和運算都更為簡單的條件;另一方面,對于選定的條件考慮是否可以在不計算的情況下考慮不同的計算方向和不同方法的優(yōu)劣,從而選擇更簡捷的解題方法.

綜上,從知識的角度,優(yōu)化性的考慮是學(xué)生在清楚解三角形的模塊有什么類型問題的基礎(chǔ)上,明確不同類型的問題有哪些基本解題思路,并且對在求解過程中應(yīng)用的知識與方法有完整的認(rèn)識,才可以在不進行計算的基礎(chǔ)上,通過理性分析做出選擇.

如果學(xué)生不進行上述理性分析與選擇,而是隨機選一個條件補充進行計算,那么運算的難易程度是未知的,而且很有可能在花費了大量的時間進行計算后,才發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)了知識上的矛盾或者邏輯推理上的錯誤.此類結(jié)構(gòu)不良試題不僅考查學(xué)生思維的發(fā)散性,即一題多解的能力,更重要的其實是考查學(xué)生在運算前進行理性選擇的能力.

3.3 解題策略

理性選擇是結(jié)構(gòu)不良問題的考查方向之一,因此在問題的分析和解決過程中不能盲目選擇.具體到解三角形的結(jié)構(gòu)不良問題:首先要從正確性角度考慮,根據(jù)已知信息確定補充的條件是否可以唯一確定三角形.結(jié)合三角形全等的判斷條件可以知道已知三邊、兩邊及夾角、兩角一邊的情況都可以唯一確定三角形,只有已知兩邊和一邊對角的條件可能存在無解或多解的情況,需要從幾何角度進行分析再選擇計算.

而解題方法優(yōu)化性的選擇更多在于學(xué)生日常的總結(jié)反思,需要明確選擇不同條件時所使用的不同解題策略在簡捷性、優(yōu)化性上的差異,在進行具體的運算之前先對后續(xù)運算方向進行分析.

3.4 變式訓(xùn)練

從中選出兩個條件,補充在問題中,使其能夠確定△ABC,并以此為依據(jù)求△ABC的面積S.

在本變式中,將已知條件減少,增加了試題的開放性,更加突出考查了學(xué)生的理性選擇,即對于不同條件的組合不是直接進行計算,而是首先分析不同條件下三角形是否可解且是否唯一確定,在此基礎(chǔ)上再對方法進行理性選擇.

4 小結(jié)

4.1 重視開放性問題設(shè)置

結(jié)構(gòu)不良試題一般呈現(xiàn)的是條件部分缺失或冗余或問題不定的情況,因此在日常訓(xùn)練中可以設(shè)置一些開放性的問題,拓展學(xué)生的思維廣度.教師可以對數(shù)學(xué)問題的條件、結(jié)論或者解題方法等要素進行合理設(shè)置.根據(jù)解法的多樣性可以進行解題方法的優(yōu)化性分析,或者啟發(fā)學(xué)生對題目進行改編,使學(xué)生對題目中條件和結(jié)論的關(guān)聯(lián)性有更為清晰的認(rèn)識.

另一方面在結(jié)構(gòu)不良試題的講評過程中要重視對比不同條件的簡捷性和方法優(yōu)化性,培養(yǎng)學(xué)生在不計算的情況下進行邏輯推理與分析的能力.

4.2 關(guān)注數(shù)學(xué)知識體系的建構(gòu)

從考查方向分析,理性選擇是結(jié)構(gòu)不良試題的考查目標(biāo)之一,而通過上述高考題的分析可以看到,學(xué)生能夠在計算之前通過邏輯推理做出符合正確性和優(yōu)化性選擇的前提是學(xué)生對數(shù)學(xué)各章節(jié)的知識形成一個完整、清晰的知識體系.這個知識體系的主線不僅是知識點間的邏輯關(guān)系,而且可以以章節(jié)中的典型問題為暗線進行梳理,將知識與問題對應(yīng)的同時幫助學(xué)生厘清解題方法.解三角形知識體系的一條主線是正、余弦定理的知識脈絡(luò),而另一條暗線則是解三角形對應(yīng)的不同問題及對應(yīng)的應(yīng)用正、余弦定理的解題策略,只有在擁有清晰的知識結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上,學(xué)生才能進行理性選擇.