劉曉玉 唐學(xué)寧 雷 蓉

(廣東省珠海市斗門區(qū)第一中學(xué))

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 年版2020 年修訂)》明確指出,數(shù)學(xué)模型搭建了數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的橋梁,是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式.數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象,用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng),它既是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題的基本手段,也是推動數(shù)學(xué)發(fā)展的動力.數(shù)學(xué)建模安排在必修課程的主題五和選擇性必修課程的主題四,是高中階段數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容.因此,如何開展數(shù)學(xué)建模教學(xué),并以此來幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),是新時期一線教師值得思考的問題.面對新時期的挑戰(zhàn),筆者帶領(lǐng)團(tuán)隊在建模教學(xué)上進(jìn)行了一些探索和嘗試,并借本文將做法、經(jīng)驗及反思進(jìn)行總結(jié),拋磚引玉,希望讀者能受到一些啟發(fā).

首先,要選好建模問題.眾所周知,問題是開展數(shù)學(xué)教學(xué)的重要載體,發(fā)現(xiàn)問題要比解決問題更為重要.在建模教學(xué)中,一個好的選題就意味著成功的開始,數(shù)學(xué)建模不能等同于教師編一道應(yīng)用題,教師講題,學(xué)生模仿解題的套路.數(shù)學(xué)建模活動要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)心社會、關(guān)心未來,學(xué)會關(guān)聯(lián)、學(xué)會交流.筆者的團(tuán)隊傾向于從社會的熱點(diǎn)問題中尋找數(shù)學(xué)建模的題材,社會有很多熱點(diǎn)問題,需要教師篩選出貼近高中學(xué)生實際,適合高中學(xué)生的認(rèn)知水平,背景又不會過于復(fù)雜,在建模求解過程中無須補(bǔ)充大量的知識就可入手的熱點(diǎn)問題.筆者結(jié)合當(dāng)前社會熱點(diǎn)問題——新冠肺炎疫情,尋找建模題材.

2020年,一場突如其來的新冠肺炎疫情,對生產(chǎn)和生活造成了極大的影響和沖擊.基于該背景,筆者篩選出了幾個問題.

問題1:奧運(yùn)會改期,能否通過數(shù)學(xué)建模預(yù)測:如果奧運(yùn)會正常舉行,一些我們感興趣的比賽項目成績受到的影響.

問題2:線下復(fù)課之后,學(xué)校的食堂管理和宿舍管理一定會面臨很大的考驗,能否關(guān)聯(lián)數(shù)學(xué)知識,設(shè)計出合理的分流方案?

問題3:為抗擊疫情帶來的影響,提升消費(fèi)熱度,增加城市溫度,包括珠海在內(nèi)的多個城市開展了發(fā)放消費(fèi)券的活動,能否從這個熱點(diǎn)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián),對消費(fèi)券的作用做一個預(yù)判?

筆者希望選取一個能夠讓學(xué)生從多角度關(guān)聯(lián)數(shù)學(xué)知識、開放性程度較高的問題,希望學(xué)生在建模過程中更能發(fā)揮想象力,開展更有價值的數(shù)學(xué)探究活動.基于這些出發(fā)點(diǎn),團(tuán)隊最終選擇了問題3,帶領(lǐng)學(xué)生研究數(shù)學(xué)建模:“券”能“券”智——消費(fèi)券中的數(shù)學(xué)模型(以下簡稱“券能券智”).該案例在首屆廣東省高中數(shù)學(xué)建模課堂教學(xué)設(shè)計優(yōu)秀作品征集交流活動中獲一等獎.

筆者認(rèn)為,尋找數(shù)學(xué)建模問題要注意以下幾點(diǎn).

第一,問題要源自生活,是學(xué)生感興趣的、關(guān)注度高且具有意義的問題;第二,問題難度要適中,有利于大多數(shù)學(xué)生參與討淪,學(xué)生能夠上手并深度參與.過于簡單或復(fù)雜的問題都不利于調(diào)動學(xué)生參與建?；顒拥姆e極性;第三,問題要具有開放性和挑戰(zhàn)性,營造“問題場”,利于學(xué)生展示自己獨(dú)到的視角和見解.

其次,合理設(shè)計教學(xué).選擇了適當(dāng)?shù)慕栴}后,如何開展教學(xué)? 我們認(rèn)為,數(shù)學(xué)建模教學(xué)要把握兩個基調(diào):第一,一定要讓學(xué)生真正經(jīng)歷數(shù)學(xué)建?！敖ā钡倪^程;第二,教師不能代替學(xué)生的工作,不做機(jī)械式的解題訓(xùn)練,不以單邊的傳授教學(xué)形式進(jìn)行建模教學(xué).以“券能券智”的教學(xué)為例,完成整個建模過程需要花費(fèi)大約3周時間,團(tuán)隊(共3位教師)每位教師帶領(lǐng)2位學(xué)生展開研究,教師只起定調(diào)引導(dǎo)作用,建模過程主要由學(xué)生在課后及周末完成,集中研究時間4節(jié)課,共有6個環(huán)節(jié):

1)實際問題情境:珠海市開展了以“樂游樂享,惠在珠海”為主題的“溫暖珠?！毕M(fèi)節(jié)活動,分5期共向市民派發(fā)1億元消費(fèi)券,提升消費(fèi)熱度,促進(jìn)零售、餐飲、文體旅游等行業(yè)加速復(fù)蘇.

在本環(huán)節(jié)里,由于當(dāng)時疫情嚴(yán)重,3位教師6位學(xué)生通過騰訊課堂對前期老師們確定的3個課題進(jìn)行討論,分析其中的優(yōu)劣,引導(dǎo)學(xué)生體驗做“券能券智”這個建模活動的意義.

2)信息采集:組織學(xué)生收集我國各地以往與現(xiàn)在的消費(fèi)券發(fā)放的有關(guān)信息,比如消費(fèi)券發(fā)放規(guī)則、消費(fèi)券使用情況及效果等.

3)將實際問題理想化,進(jìn)而數(shù)學(xué)化.這一環(huán)節(jié)至關(guān)重要,我們將學(xué)生分成3個小組,討論數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián),學(xué)生踴躍參與其中,紛紛建言獻(xiàn)策,最終師生達(dá)成共識:消費(fèi)券活動中最重要的一環(huán)就是,消費(fèi)券的使用到底帶來了多大的消費(fèi)額? 要想做到“預(yù)判”,就要能夠估計最終的消費(fèi)額,此時可以關(guān)聯(lián)函數(shù)的擬合,也可以關(guān)聯(lián)數(shù)學(xué)期望,還可以關(guān)聯(lián)獨(dú)立性檢驗等.教師再進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生突出主要因素,忽略次要因素,將實際問題理想化為統(tǒng)計問題.

4)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型.給學(xué)生兩周的時間,設(shè)計問卷,收集數(shù)據(jù),構(gòu)建模型并求解模型.教師引導(dǎo)學(xué)生討論各小組的需求,設(shè)計一份問卷,并督促和協(xié)助學(xué)生做好調(diào)查研究工作,鼓勵學(xué)生結(jié)合問題,查閱相關(guān)資料,檢索已有成果,用“頭腦風(fēng)暴”的形式集思廣益,初步形成解決問題的大致思路和方案,并分析操作的可行性.每周2次用固定時間集體交流的形式對學(xué)生建模情況進(jìn)行指導(dǎo),每組學(xué)生分別向大家介紹自己數(shù)學(xué)建模的具體進(jìn)展情況.

5)模型呈現(xiàn).學(xué)生的建模小組共做出了4個模型,教師引導(dǎo)學(xué)生,把所得結(jié)果提升為有意義的結(jié)論.

模型1:進(jìn)行消費(fèi)券和消費(fèi)意愿的獨(dú)立性檢驗.

表1 消費(fèi)券與消費(fèi)意愿2×2列聯(lián)表

結(jié)論:發(fā)放消費(fèi)券對刺激個人消費(fèi)有效果,提升了消費(fèi)熱度,是一項有意義的措施.

模型2:以頻率估計概率(僅保留小數(shù)點(diǎn)后3位),估計各種面值的消費(fèi)券帶來的消費(fèi)金額的期望.使用10元面值消費(fèi)券時產(chǎn)生的消費(fèi)額的概率分布如表2所示.

E(x1)＝50×0.740＋70×0.140＋90×0.076＋110×0.025＋130×0.003＋140×0.015＝58.88,所以使用10 元面值消費(fèi)券產(chǎn)生消費(fèi)額的數(shù)學(xué)期望是58.88元.

使用20元面值消費(fèi)券時產(chǎn)生的消費(fèi)額概率分布如表3所示.

表3

所以使用20元面值消費(fèi)券產(chǎn)生消費(fèi)額的數(shù)學(xué)期望是106.27元.

使用50元面值消費(fèi)券時產(chǎn)生的消費(fèi)額概率分布如表4所示.

表4

E(x3)＝250×0.749＋350×0.131＋450×0.058＋550×0.033＋650×0.018＋700×0.011＝296.75,所以使用50元面值消費(fèi)券產(chǎn)生消費(fèi)額的數(shù)學(xué)期望是296.75元.

使用100元面值消費(fèi)券時產(chǎn)生的消費(fèi)額概率分布如表5所示.

表5

所以使用100元面值消費(fèi)券產(chǎn)生消費(fèi)額的數(shù)學(xué)期望是600.4元.

結(jié)論:由于各種面值對消費(fèi)金額放大的倍數(shù)不一致,放大倍數(shù)最多是100元面值,有6.004倍,放大倍數(shù)最小為20元面值,有5.3135倍,所以估計1億元消費(fèi)券帶來的消費(fèi)額的期望最多是6.004億元,最少是5.3135億元.

模型3:消費(fèi)券使用方向統(tǒng)計圖,如圖1所示.

圖1

結(jié)果顯示,較多的消費(fèi)券流向受疫情影響較大的餐飲業(yè),民眾愿意外出就餐,說明政府防疫措施有力,民眾信心在增強(qiáng),服務(wù)消費(fèi)人氣增加.并且餐飲行業(yè)屬于產(chǎn)業(yè)鏈上游帶動作用強(qiáng)、橫向關(guān)聯(lián)行業(yè)多的行業(yè)品類,帶動的行業(yè)越多,引起的“乘數(shù)效應(yīng)”越明顯.

模型4:消費(fèi)券與消費(fèi)金額間的函數(shù)擬合(如圖2).由調(diào)查問卷中提取數(shù)據(jù)列表(如表6),并利用Excel進(jìn)行回歸分析.

表6

圖2

得到函數(shù)y＝5.1083x,因此,預(yù)測1億元消費(fèi)券可以帶來5.1083億元的消費(fèi)額.

結(jié)論:消費(fèi)券活動能夠有效促進(jìn)消費(fèi)回補(bǔ).

6)模型修正.集中學(xué)生匯報模型及討論模型的修正.在模型1中,消費(fèi)券需要市民本人自愿申領(lǐng),所以根據(jù)這個發(fā)放規(guī)則來看領(lǐng)取消費(fèi)券的多少會影響市民的消費(fèi)次數(shù)和消費(fèi)金額,在進(jìn)行消費(fèi)券和消費(fèi)意愿的獨(dú)立性檢驗基礎(chǔ)上,可以再進(jìn)行其他分類變量的獨(dú)立性檢驗,比如根據(jù)調(diào)查問卷的統(tǒng)計結(jié)果判斷性別與消費(fèi)意愿是否有關(guān)等.另外,由于實際條件的限制,發(fā)放問卷的群體過于集中且樣本容量不夠大,樣本代表性受限,影響預(yù)測效果.在模型2中,因為涉及隱私,所以問卷中設(shè)計的數(shù)字都是范圍,建模中以區(qū)間中點(diǎn)來代替具體數(shù)字,因此只具有估算的效果.另外,各種面值對消費(fèi)金額放大的倍數(shù)不一致,能不能通過官方數(shù)據(jù)知道每種面值的消費(fèi)券的發(fā)放比例? 如果可以的話,把發(fā)放比例考慮進(jìn)去,那么會更加準(zhǔn)確地估計消費(fèi)金額的數(shù)學(xué)期望.在模型3中,消費(fèi)券的流向中超市的使用應(yīng)該要細(xì)化,若只是使用在生活必需品的消費(fèi)上,則會影響消費(fèi)券的“乘數(shù)效應(yīng)”,若是使用在產(chǎn)業(yè)鏈較長的方面,消費(fèi)券的“乘數(shù)效應(yīng)”將會更明顯,統(tǒng)計結(jié)果才會有指導(dǎo)意義.在模型4中,只是對消費(fèi)券金額與消費(fèi)金額進(jìn)行了線性函數(shù)的擬合,若是非線性的擬合,擬合效果會不會更好? 更具有預(yù)測的意義呢?并且在模型中預(yù)測1億元消費(fèi)券可以帶來5.1083億元的消費(fèi)額.預(yù)測的目標(biāo)與所給的數(shù)據(jù)范圍離太遠(yuǎn),大大影響預(yù)測結(jié)果的準(zhǔn)確性,建議預(yù)測10 萬元消費(fèi)券帶來的消費(fèi)金額較好.在熱烈的討論中,學(xué)生認(rèn)識到,統(tǒng)計不存在絕對的正確或絕對的錯誤,關(guān)鍵是看設(shè)置的標(biāo)準(zhǔn),標(biāo)準(zhǔn)不同,結(jié)論就會有差異.這樣不僅培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng),也培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)據(jù)分析的素養(yǎng),使學(xué)生對利用統(tǒng)計知識處理問題有了更深刻的認(rèn)識.

最后,實踐反思,數(shù)學(xué)建模課的教學(xué)要注意的幾個問題.

1)教師要先于學(xué)生做到“用數(shù)學(xué)的眼光看世界”.教師在建模課堂中的主導(dǎo)作用很重要,只有教師善于發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián),才能引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生去感受建模的魅力.因此教師要不斷提升自己,堅持學(xué)習(xí),大處著眼,小處著手,留心觀察,善于聯(lián)想發(fā)掘,從自己熟悉的標(biāo)準(zhǔn)入手,不斷地開發(fā)出更多、更好的情境與問題,從而才能產(chǎn)生教學(xué)的創(chuàng)造.

2)教師要做好學(xué)生的選題指導(dǎo)工作.因為學(xué)生所擁有的數(shù)學(xué)知識尚不充分,缺乏研究經(jīng)驗,受研究方法不足等主觀條件限制,或者學(xué)生自己選擇的問題中不可預(yù)測的因素過多、涉及面太廣等客觀因素,往往會產(chǎn)生對所選問題的難度沒有正確認(rèn)識的現(xiàn)象,導(dǎo)致自己提出的問題不一定都能進(jìn)行研究.因此教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生在選題時不要怕問題小,應(yīng)選擇自己比較熟悉的、能發(fā)揮自己特長的、變量較少的問題.

3)學(xué)生才是建模課堂的主體.數(shù)學(xué)建模應(yīng)該重過程、重參與,更多地表現(xiàn)活動的特性,而不能成為教師講題,學(xué)生模仿練習(xí)的套路.筆者認(rèn)為,小組交流起到了承上啟下的作用,既保證了人人動腦、人人發(fā)言、人人參與,同時也為下一步的展示交流做好了準(zhǔn)備.學(xué)習(xí)小組分配方面應(yīng)充分考慮學(xué)生的性格差異和學(xué)習(xí)能力,以便組內(nèi)能夠積極發(fā)言、充分交流、以優(yōu)帶差、共同進(jìn)步.教師組織小組討論交流,適當(dāng)參與、引導(dǎo)薄弱小組的討論,鼓勵人人發(fā)言,并對各小組的研究進(jìn)度給予指導(dǎo),培養(yǎng)完整的學(xué)習(xí)成就感,并啟發(fā)其學(xué)習(xí)與研究數(shù)學(xué)的興趣.

通過教學(xué)實踐,筆者對數(shù)學(xué)建模教學(xué)有了全新的認(rèn)識,數(shù)學(xué)建模教學(xué)活動包括:對于給出的問題情境,經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)、提出數(shù)學(xué)問題、尋找解決問題的思路、具體教學(xué)實施、解決問題、檢驗完善提升的全過程.新一輪的教育課程改革給中學(xué)數(shù)學(xué)建模帶來了前所未有的機(jī)遇,雖然仍有很多教師把數(shù)學(xué)建模比喻成“陽春白雪”可望而不可即,但是通過專家和同行們對“券能券智”模型的鼓勵和肯定,筆者感悟到,只要教師有熱情、有認(rèn)識、有追求,迎難而上,勇于實踐,完全可以組織學(xué)生做好數(shù)學(xué)建模.困難是暫時的,資源和經(jīng)驗是在參與中快速增長的,建模的過程是師生共同成長的過程,教師在建模實踐中積累經(jīng)驗,豐富專業(yè)知識,得到專業(yè)成長,為教育改革奉獻(xiàn)出自己的一份力量.