李浩生

(新疆巴州庫爾勒市第三中學(xué))

代換法是通過變換研究對象使問題得到簡化的一種方法,是高中數(shù)學(xué)中重要的解題方法.代換法在具體問題解答過程中有著不同的方式,如常見的和差代換、整體代換以及三角代換.合理地運(yùn)用代換法能解答函數(shù)、解三角形、方程等不同類型的問題.本文結(jié)合例題進(jìn)行分析,總結(jié)利用代換法解題的具體思路.

1 和差代換解題

當(dāng)問題中含有形如a＋b＝2A的已知條件時(shí),可以考慮采取和差代換求解問題.根據(jù)所給條件a＋b＝2A,假設(shè)a＝A＋d,b＝A-d,將其代入已知的關(guān)系等式中,轉(zhuǎn)化為與A,d有關(guān)的等式.再根據(jù)具體等式求出d的大小,通過運(yùn)算即可得到問題的答案.

和差代換解題往往需要在a＋b＝2A這個(gè)前提條件存在的情況下進(jìn)行,若問題中給出的條件較少,則需要自主尋找其他關(guān)系式.在運(yùn)用和差代換解答與三角函數(shù)或三角形有關(guān)的問題時(shí),應(yīng)注意角度的選取范圍,避免錯(cuò)解和漏解的情況出現(xiàn).

2 局部代換解題

利用局部代換的關(guān)鍵在于將局部或整體運(yùn)用一個(gè)變量代換,從而使解題過程得到簡化.具體的解題思路為借助問題的已知條件,將問題所求的局部看成新變量t,用t表示已知等式和問題所求表達(dá)式,再將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為求解與t有關(guān)的函數(shù)值域問題,即可得到問題所求答案.

局部代換是常見的代換思路,通過引入新變量使問題中未知變量個(gè)數(shù)減少,達(dá)到簡化問題的目的.

3 三角代換解題

三角代換的運(yùn)用,關(guān)鍵在于把問題轉(zhuǎn)化為與三角函數(shù)相關(guān)問題進(jìn)行解答,其解題的具體思路為分析問

應(yīng)用三角代換解題的前提是已知解析式和三角函數(shù)公式有一定的相似度,若不能直接找到問題所求表達(dá)式與三角函數(shù)之間的聯(lián)系,可以對其進(jìn)行構(gòu)造,間接進(jìn)行代換.

4 增量代換解題

增量代換是在原有條件的基礎(chǔ)上增加新變量t,使陌生、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉、簡單的問題.具體思路為根據(jù)已知的不等式a≥b,引入變量使其轉(zhuǎn)化為等式a＝b＋t,借助已知不等式求出新變量t的范圍,再將問題所求的解析式用新變量表示,根據(jù)新變量的范圍進(jìn)行求解.

5 常量代換

常量代換通常是把常數(shù)代換為未知變量,進(jìn)而簡化關(guān)系式.具體的解題思路為根據(jù)已知條件或常見的公式,將所求表達(dá)式中的常數(shù)代換成變量,再根據(jù)簡化的表達(dá)式,求對應(yīng)的范圍大小即可.

常量代換經(jīng)常借助問題所給條件或一些熟知的公式進(jìn)行代換,將常數(shù)替換為變量后,再借助基本不等式求解范圍.

代換法的代換形式千變?nèi)f化,解題時(shí)應(yīng)根據(jù)不同的問題采用合適的代換方法,要掌握常見的代換方法,還要對問題進(jìn)行歸納總結(jié),才能拓寬解題思路,提升解題效率.