王 鋒

(江西省九江市柴桑區(qū)第一中學(xué))

2021年9月14日,江西省頒布《江西省深化普通高考綜合改革實(shí)施方案》,明確了我省從2021年秋季入學(xué)的高一年級(jí)學(xué)生開(kāi)始,高考實(shí)行“3＋1＋2”模式,即語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)3科不分文理使用全國(guó)卷,而選擇性科目由學(xué)生自主選擇,先在物理和歷史中選擇1科,再?gòu)恼?、地理、化學(xué)、生物中選擇2科.相比于傳統(tǒng)的文理分科模式,新模式給了學(xué)生更多的選擇空間,讓更多有部分專業(yè)特長(zhǎng)的學(xué)生得到了更好的發(fā)展.考慮到學(xué)生的生涯規(guī)劃、思維習(xí)慣以及學(xué)科素養(yǎng)的差異,這些新組合下的班級(jí)教學(xué)將面臨全新的挑戰(zhàn).本文站在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的角度,探索數(shù)學(xué)與物理、地理、歷史、政治學(xué)科知識(shí)之間如何進(jìn)行有效融合,從而實(shí)現(xiàn)學(xué)生綜合素養(yǎng)的進(jìn)一步提升.

1 數(shù)學(xué)課堂中融入物理知識(shí)的課堂優(yōu)化案例

作為理科學(xué)科的“代表”——物理,其理科特征非常明顯,該學(xué)科與數(shù)學(xué)的聯(lián)系極為緊密.數(shù)學(xué)是研究物理的基礎(chǔ)和工具,一般來(lái)說(shuō),要想學(xué)好物理,數(shù)學(xué)基礎(chǔ)非常重要,歷史上不少的物理學(xué)家都是非常出色的數(shù)學(xué)家.高中數(shù)學(xué)北師大2019年版新教材《必修第一冊(cè)》第214頁(yè)習(xí)題7-4A 組第6題涉及物理中電路的串聯(lián)和并聯(lián)問(wèn)題,第231頁(yè)的實(shí)例分析是物理中的運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題;《必修第二冊(cè)》第27頁(yè)和第66頁(yè)習(xí)題1-8A組第2題涉及物理中的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)問(wèn)題,第74-107頁(yè)的平面向量也是通過(guò)物理中的位移、速度、力、功的概念來(lái)引入的;《選擇性必修第一冊(cè)》第84頁(yè)介紹圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì),很好地將物理與數(shù)學(xué)知識(shí)融合在一起.

在北師大2019年版新教材《必修第一冊(cè)》第229頁(yè)實(shí)例分析中,以“駕駛摩托車飛躍黃河問(wèn)題研究”為選題進(jìn)行分析研究.這是物理中典型的運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題,其模型為“斜拋運(yùn)動(dòng)”.設(shè)摩托車的起點(diǎn)與落點(diǎn)的高度差為d,水平飛行距離為s,安全落差為r,沿跑道飛出時(shí)的仰角為θ,飛離跑道時(shí)的速度為v,將運(yùn)動(dòng)過(guò)程分解到水平和豎直兩個(gè)方向,則

通過(guò)數(shù)學(xué)建模,將一個(gè)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行量化分析,對(duì)生活現(xiàn)象進(jìn)行推測(cè)和論證,站在科學(xué)的角度完美地詮釋了數(shù)學(xué)和物理的結(jié)合是多么神奇.在高中數(shù)學(xué)課堂中融入物理知識(shí),不僅僅從知識(shí)層面相互輔助、相互依托,更是從思維層面相互促進(jìn)、成就彼此.

2 數(shù)學(xué)課堂中融入地理知識(shí)的課堂優(yōu)化案例

地理是一門(mén)兼有自然科學(xué)和人文社會(huì)科學(xué)性質(zhì)的綜合性學(xué)科.數(shù)學(xué)是一切自然科學(xué)的基礎(chǔ),這決定了地理和數(shù)學(xué)之間必定有著密切的關(guān)系.數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想都廣泛地應(yīng)用于地理教學(xué)之中,在北師大2019年版新教材中有些涉及地理方面的例題和練習(xí),教師在講解時(shí)不妨將知識(shí)展開(kāi),介紹一下相關(guān)的地理知識(shí),拓展一下學(xué)生的視野,這有利于學(xué)生綜合素養(yǎng)的整體提升.

如教材《必修第一冊(cè)》第74頁(yè)的“問(wèn)題提出”中,談到了薇甘菊是熱帶、亞熱帶地區(qū)危害最嚴(yán)重的雜草之一,它所到之處,樹(shù)木枯萎、花草凋零.這里可以將其地理分布進(jìn)行講解、說(shuō)明.薇甘菊主要分布于印度、孟加拉國(guó)、斯里蘭卡、泰國(guó)、菲律賓、馬來(lái)西亞、印度尼西亞、巴布亞新幾內(nèi)亞和太平洋諸島嶼、毛里求斯、澳大利亞、中南美洲各國(guó)、美國(guó)南部,中國(guó)廣東、香港、澳門(mén)和廣西.薇甘菊的適合生活環(huán)境是年平均氣溫＞1 ℃,平均風(fēng)速＞2m·s-1,有霜日數(shù)＜5d,日最低氣溫≤5 ℃的日數(shù)在10d以內(nèi),寒潮較輕、寒露風(fēng)較輕的地區(qū).因此,在北緯24°以南地區(qū)均可能生存,如我國(guó)海南、香港、廣東、廣西、臺(tái)灣、福建、湖南、四川、云南、貴州等地的部分地區(qū).

教材《必修第一冊(cè)》第178頁(yè)的復(fù)習(xí)題六A 組第3題:表1給出了2016年太原市和呼和浩特市的月降水量(單位:mm).

表1

(1)請(qǐng)用適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)圖表示上面的數(shù)據(jù);

(2)分別計(jì)算太原市和呼和浩特市2016年月降水量的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差.

在此問(wèn)題中,通常選擇條形統(tǒng)計(jì)圖或折線統(tǒng)計(jì)圖展示數(shù)據(jù),這在地理教材中經(jīng)常出現(xiàn),而且這樣可以通過(guò)對(duì)太原市和呼和浩特市2016年月降水量的數(shù)據(jù)分析,讓學(xué)生進(jìn)一步了解兩地的環(huán)境特征.

太原市的氣候特點(diǎn)是冬季干冷漫長(zhǎng),夏季濕熱多雨,春季升溫急劇,秋季降溫迅速,春秋兩季短暫多風(fēng),干濕季節(jié)分明.太原市由于其地形復(fù)雜多樣,海拔高度差異較大,海洋性氣候?qū)硟?nèi)的影響,形成了北溫帶大陸性氣候.冬無(wú)嚴(yán)寒、夏無(wú)酷暑、四季分明、日照充足,晝夜溫差較大,夏秋降雨集中,冬春干旱多風(fēng).太原市的春季氣溫回升快,光照充足,降水少,蒸發(fā)大,大風(fēng)日數(shù)較多,占全年的40%～60%;夏季氣溫高、濕度大,降水集中,7月和8月是一年中降水最集中的兩個(gè)月,這兩個(gè)月的降水占全年降水的60%左右;秋季氣溫下降快,多晴朗天氣;冬季寒冷干燥、晴朗大風(fēng)天氣較多,1月是全年的最冷月,降水也很少,僅占全年總降水量的3%左右.當(dāng)然數(shù)據(jù)中2016年7月份的降水量異常突出,據(jù)統(tǒng)計(jì),這是太原市的歷史最大月降水量.

呼和浩特市屬半干濕的中溫帶季風(fēng)氣候,具有降水量少而不均、寒暑變化劇烈的顯著特點(diǎn).冬季漫長(zhǎng)而寒冷,其中1月最冷,晝夜溫差極大,夜里比白天溫度要低20 ℃,所以即使夏季去呼和浩特市也要帶長(zhǎng)袖衣服.因?yàn)槎杭窘邓^少,夏季降水較集中,月降水量從1月～7月逐漸增加,7月以后逐漸減少,所以經(jīng)常發(fā)生春旱的災(zāi)害.

《必修第二冊(cè)》第一章引言部分,在介紹周期現(xiàn)象時(shí),談及“地球圍繞太陽(yáng)轉(zhuǎn)動(dòng)引起的四季交替,地球自轉(zhuǎn)引起的晝夜循環(huán)”這些現(xiàn)象;第117 頁(yè)的例12 和124頁(yè)的習(xí)題2-6,B組第3,4題都涉及地理中的方位問(wèn)題.《選擇性必修第一冊(cè)》第54頁(yè)的例6,介紹了人造衛(wèi)星繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)的橢圓軌道的焦點(diǎn)與近地點(diǎn)、遠(yuǎn)地點(diǎn)與地心共線.《選擇性必修第二冊(cè)》第一章引言部分,通過(guò)對(duì)天王星的發(fā)現(xiàn)歷程展示了數(shù)學(xué)在天文學(xué)中的應(yīng)用.這些地理現(xiàn)象在數(shù)學(xué)教材中的頻繁出現(xiàn),是新教材對(duì)培養(yǎng)學(xué)生綜合素養(yǎng)及能力的充分體現(xiàn).

3 數(shù)學(xué)課堂中融入歷史知識(shí)的課堂優(yōu)化案例

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)版)》中指出:“數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分,數(shù)學(xué)課程應(yīng)適當(dāng)反映數(shù)學(xué)的歷史、應(yīng)用和發(fā)展趨勢(shì)、數(shù)學(xué)對(duì)推動(dòng)社會(huì)發(fā)展的作用、數(shù)學(xué)的社會(huì)需求、社會(huì)發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的推動(dòng)作用、數(shù)學(xué)科學(xué)的思維體系、數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值、數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新精神,高中數(shù)學(xué)課程提倡體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值,并在適當(dāng)?shù)膬?nèi)容中提出對(duì)‘?dāng)?shù)學(xué)文化’的學(xué)習(xí)要求,設(shè)立‘?dāng)?shù)學(xué)史選講’等專題.”數(shù)學(xué)史對(duì)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,培養(yǎng)學(xué)生的品格和理性思維,熏陶學(xué)生的文化素養(yǎng)起著至關(guān)重要的作用.高中數(shù)學(xué)北師大2019年版新教材有大量的閱讀材料用來(lái)介紹古今數(shù)學(xué)家們的治學(xué)經(jīng)歷和數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展歷史.如《必修第一冊(cè)》第57頁(yè)的閱讀材料函數(shù)概念的起源、第99頁(yè)對(duì)數(shù)的起源、第149頁(yè)選舉的預(yù)測(cè)、第210 頁(yè)布豐投針問(wèn)題;《必修第二冊(cè)》第79頁(yè)向量的發(fā)展歷史與符號(hào)由來(lái)、第183頁(yè)數(shù)系的擴(kuò)充、第248頁(yè)幾何學(xué)的發(fā)展;《選擇性必修第一冊(cè)》第39頁(yè)笛卡爾與解析幾何、第173頁(yè)楊輝三角.這些閱讀材料從歷史的重要事件或是數(shù)學(xué)的發(fā)展史展示了數(shù)學(xué)發(fā)展的輝煌歷程.

從數(shù)學(xué)發(fā)展脈絡(luò)來(lái)看,大體上可以分為3 個(gè)時(shí)期:

古代數(shù)學(xué)——希臘的論證數(shù)學(xué)與中國(guó)的實(shí)用數(shù)學(xué)的起源發(fā)展;

近代數(shù)學(xué)——微積分的發(fā)現(xiàn)、應(yīng)用、嚴(yán)密化;

現(xiàn)代數(shù)學(xué)——對(duì)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)的思考.

從具體的數(shù)學(xué)體系主要發(fā)展時(shí)期來(lái)看,可以細(xì)分如下.

(公元前3500—前500)數(shù)學(xué)起源與早期發(fā)展:古埃及數(shù)學(xué)、美索不達(dá)米亞(古巴比倫)數(shù)學(xué);

(公元前600—5世紀(jì))古希臘數(shù)學(xué):論證數(shù)學(xué)的發(fā)端、歐式幾何;

(3世紀(jì)—14 世紀(jì))中世紀(jì)的中國(guó)數(shù)學(xué)、印度數(shù)學(xué)、阿拉伯?dāng)?shù)學(xué):實(shí)用數(shù)學(xué)的輝煌;

(12世紀(jì)—17世紀(jì))近代數(shù)學(xué)的興起:代數(shù)學(xué)的發(fā)展、解析幾何的誕生;

(14世紀(jì)-18世紀(jì))微積分的建立:牛頓與萊布尼茨的微積分建立;

(18世紀(jì)—19世紀(jì))分析時(shí)代:微積分的各領(lǐng)域應(yīng)用;

(19世紀(jì))代數(shù)的新生:抽象代數(shù)產(chǎn)生(近世代數(shù));幾何學(xué)的變革:非歐幾何;分析的嚴(yán)密化:微積分基礎(chǔ)的嚴(yán)密化;

20世紀(jì)純粹數(shù)學(xué)的趨勢(shì);

21世紀(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué).

例1 (《教材必修第一冊(cè)》第112頁(yè)例8)人們?cè)缇桶l(fā)現(xiàn)了放射性物質(zhì)的衰減現(xiàn)象.在考古工作中,常用14C的含量來(lái)確定有機(jī)物的年代.已知放射性物質(zhì)的衰減服從指數(shù)規(guī)律:C(t)＝C0e-rt,其中t表示衰減的時(shí)間,C0表示放射性物質(zhì)的原始質(zhì)量,C(t)表示經(jīng)衰減了t年后剩余的質(zhì)量.

為計(jì)算衰減的年代,通常給出該物質(zhì)質(zhì)量衰減一半的時(shí)間,稱其為該物質(zhì)的半衰期.14C的半衰期大約是5730年.人們又知道,放射性物質(zhì)的衰減速度與其質(zhì)量成正比.

1950年,在伊拉克發(fā)現(xiàn)一根古巴比倫王國(guó)時(shí)期刻有漢謨拉比王朝字樣的木炭,當(dāng)時(shí)測(cè)定,其14C的衰減速度為4.09個(gè)/(g·min),而新砍伐樹(shù)木燒成的木炭中14C的衰減速度為6.68個(gè)/(g·min).請(qǐng)估算出漢謨拉比王朝所在年代.

所以該木炭已衰減了約4055年,即漢謨拉比王朝大約存在于公元前2100年.

漢謨拉比是阿摩利人建立的古巴比倫王國(guó)的第六任君主,在一系列戰(zhàn)爭(zhēng)中擊敗鄰國(guó)將巴比倫的統(tǒng)治區(qū)域擴(kuò)展至整個(gè)美索不達(dá)米亞區(qū)域,從而開(kāi)創(chuàng)強(qiáng)盛的巴比倫帝國(guó).學(xué)生通過(guò)對(duì)例1的研究,很好地回顧了這段意義重大的歷史,同時(shí)也感受到數(shù)學(xué)在研究歷史問(wèn)題中所起到的重要作用.

4 數(shù)學(xué)課堂中融入政治知識(shí)的課堂優(yōu)化案例

經(jīng)濟(jì)思想貫穿于整個(gè)高中的政治課程,而具體的經(jīng)濟(jì)問(wèn)題又往往需要借助數(shù)學(xué)方法來(lái)解決,因此數(shù)學(xué)課堂上也會(huì)涉及政治中的經(jīng)濟(jì)問(wèn)題.在教材《選擇性必修第二冊(cè)》第一章第4節(jié)部分,專門(mén)介紹數(shù)列在日常經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用,包括存款、貸款、分期付款、保險(xiǎn)、資產(chǎn)折扣等問(wèn)題,其中重點(diǎn)介紹了單利和復(fù)利的計(jì)算方法,零存整取模型、定期自動(dòng)轉(zhuǎn)存模型、分期付款模型.例如,價(jià)格變動(dòng)對(duì)生活的影響,當(dāng)某種商品的價(jià)格上升時(shí),人們會(huì)減少購(gòu)買(mǎi);當(dāng)價(jià)格下降時(shí),人們又會(huì)增加對(duì)它的購(gòu)買(mǎi).

例2 (《必修第一冊(cè)》38頁(yè)例5)某農(nóng)家院有客房20間,日常每間客房日租金為80元,每天都客滿.該農(nóng)家院欲提高檔次,并提高租金.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研,每間客房日租金每增加10元,客房出租數(shù)會(huì)減少1間,每間客房日租金不得超過(guò)130元,要使每天客房的租金總收入不低于1800元,該農(nóng)家院每間客房日租金提高的空間有多大?

解 設(shè)每間客房日租金提高x個(gè)10元,即每間客房日租金提高到(80＋10x)元,則客房出租數(shù)減少x(x∈N)間,此時(shí)客房的租金總收入為(80＋10x)·(20-x)元.

因?yàn)槊刻炜头康淖饨鹂偸杖氩坏陀?800元,所以(80＋10x)(20-x)≥1800,化簡(jiǎn)得x2-12x＋20≤0,解得2≤x≤10.

由題意可知,每間客房日租金不得超過(guò)130 元,即80＋10x≤130,所以x≤5.因此,x＝2,3,4,5,該農(nóng)家院每間客房日租金提高的空間是20 元,30 元,40元,50元.

對(duì)于例題中的“每間客房日租金每增加10元,客房出租數(shù)就會(huì)減少1間”的現(xiàn)象,我們可以結(jié)合政治知識(shí)解釋該現(xiàn)象產(chǎn)生的原因,以及該現(xiàn)象對(duì)生活帶來(lái)的影響,既鍛煉了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力,又鞏固和熟悉了政治課程中的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象.

除了經(jīng)濟(jì)問(wèn)題外,人口問(wèn)題也是政治學(xué)中的重要內(nèi)容.在高中數(shù)學(xué)北師大版《必修第一冊(cè)》第六章第1節(jié)獲取數(shù)據(jù)的途徑中,課本引用了第六次人口普查的數(shù)據(jù).

性別構(gòu)成:男性人口為686852572 人,占51.27%;女性人口為652872280人,占48.73%.粗算一下,我國(guó)男性比女性多3400萬(wàn).

人口增長(zhǎng):同第五次全國(guó)人口普查的1265825048人相比,十年共增加7389904人,增長(zhǎng)率為5.84%,年平均增長(zhǎng)率為0.57%.

年齡構(gòu)成:0～14歲人口占16.60%,比第五次全國(guó)人口普查下降6.29個(gè)百分點(diǎn);60歲及以上人口占13.26%,比第五次全國(guó)人口普查上升2.93 個(gè)百分點(diǎn),其中65歲及以上人口占8.87%,比第五次全國(guó)人口普查上升1.91個(gè)百分點(diǎn).

人口的流動(dòng):與第五次全國(guó)人口普查相比,居住地與戶口登記地所在的鄉(xiāng)鎮(zhèn)街道不一致且離開(kāi)戶口登記地半年以上的人口增加116995327人,增長(zhǎng)81.03%.

各種受教育程度人口:與第五次全國(guó)人口普查相比,每10萬(wàn)人中具有大學(xué)文化程度的由3611人上升為8930人;具有高中文化程度的由11146人上升為14032人;具有初中文化程度的由33961人上升為38788人;具有小學(xué)文化程度的由35701人下降為26779人.

登記誤差:普查登記結(jié)束后,全國(guó)統(tǒng)一隨機(jī)抽取402個(gè)普查小區(qū)進(jìn)行了事后質(zhì)量抽樣調(diào)查,抽查結(jié)果顯示,人口漏登率為0.12%.

在本節(jié)數(shù)學(xué)課上,我們應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生分析這些數(shù)據(jù)信息,并針對(duì)學(xué)生可能相對(duì)較淺薄或者錯(cuò)誤的理解加以解釋和補(bǔ)充,讓學(xué)生能夠科學(xué)正確地認(rèn)識(shí)數(shù)據(jù)背后蘊(yùn)含的社會(huì)價(jià)值和政治意義.

從人口增長(zhǎng)數(shù)據(jù)可以看出我國(guó)總?cè)丝谌匀槐３衷鲩L(zhǎng)狀態(tài),但增長(zhǎng)率并不高.近年,日本、意大利、韓國(guó)等國(guó)家都出現(xiàn)了人口負(fù)增長(zhǎng)的情況,而且問(wèn)題持續(xù)惡化.在2006年,英國(guó)牛津大學(xué)人口學(xué)教授大衛(wèi)·科爾曼就對(duì)韓國(guó)人口問(wèn)題作出預(yù)警,稱韓國(guó)或?qū)⒊蔀槿蚴讉€(gè)消失的國(guó)家.從性別構(gòu)成數(shù)據(jù)可以看出我國(guó)依然是男多女少,但總?cè)丝谛詣e比從2000年第五次人口普查的106.74下降為105.20,說(shuō)明人們重男輕女的傳統(tǒng)思想在逐漸改變,隨著社會(huì)的發(fā)展,總?cè)丝谛詣e比定會(huì)逐漸下降.從年齡結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)可以看出我國(guó)出生率低,老齡化進(jìn)程逐步加快,我國(guó)正在邁入老齡化社會(huì),國(guó)家需要健全養(yǎng)老和醫(yī)療健康體系等.從人口流動(dòng)數(shù)據(jù)可看出我國(guó)人戶分離情況普遍,流動(dòng)人口大量增加,農(nóng)村勞動(dòng)力加速轉(zhuǎn)移及經(jīng)濟(jì)發(fā)展都會(huì)促進(jìn)人口流動(dòng).從各種受教育程度人口數(shù)據(jù)來(lái)看,我國(guó)受教育的人口越來(lái)越多,說(shuō)明我國(guó)普及九年義務(wù)教育、大力發(fā)展高等教育措施取得了積極成效.至于漏登率的問(wèn)題,漏登的原因有很多,如人口流動(dòng)大,上門(mén)登記時(shí)不在家,無(wú)法獲取其信息;居民的隱私意識(shí)增加,入戶調(diào)查更難,甚至有些人不配合調(diào)查;普查時(shí)間長(zhǎng),期間很多新出生或者死亡人數(shù)未做登記等.盡管人口普查工作費(fèi)時(shí)、費(fèi)力,但我們卻不得不做.通過(guò)人口普查,能夠了解我國(guó)人口在數(shù)量、地區(qū)分布、結(jié)構(gòu)和受教育程度等方面的變化,為科學(xué)制定國(guó)民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展規(guī)劃、統(tǒng)籌安排人民的物質(zhì)和文化生活、實(shí)現(xiàn)可持續(xù)發(fā)展戰(zhàn)略、構(gòu)建社會(huì)主義和諧社會(huì),提供科學(xué)準(zhǔn)確的統(tǒng)計(jì)信息支持,如二孩政策到三孩政策的放開(kāi),養(yǎng)老和醫(yī)療健康體系的健全,以及“雙減”政策的全面實(shí)施等.

在江西省實(shí)施新高考模式的背景下,不同學(xué)科間的組合面臨著全新的挑戰(zhàn),作為無(wú)論何種組合都必考的數(shù)學(xué)學(xué)科,有著串聯(lián)和推動(dòng)作用.本文針對(duì)選擇歷史、政治、地理或物理、政治、地理科目的情況,進(jìn)行舉例說(shuō)明,淺談數(shù)學(xué)課堂中的多學(xué)科融合教學(xué),有不足之處,請(qǐng)批評(píng)指正.