劉璇燕

【摘 要】 單元設(shè)計(jì)是教師在課程目標(biāo)的指引下，整體把握教材內(nèi)容，將前后相關(guān)聯(lián)的知識(shí)有效地組織教學(xué)，可以更好地規(guī)劃學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展.筆者以“圓錐曲線的方程”為實(shí)例，分析內(nèi)容結(jié)構(gòu)、能力目標(biāo)和核心素養(yǎng)發(fā)展，以及在課堂教學(xué)過程中如何落實(shí)目標(biāo).

【關(guān)鍵詞】 核心素養(yǎng);單元設(shè)計(jì);圓錐曲線

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下具體簡(jiǎn)稱“標(biāo)準(zhǔn)2017”）提出：依據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)，關(guān)注數(shù)學(xué)邏輯結(jié)構(gòu)體系、內(nèi)容主線、知識(shí)之間的相互關(guān)聯(lián)，重視數(shù)學(xué)理論與實(shí)踐.培養(yǎng)的目標(biāo)是進(jìn)一步提升學(xué)生的綜合能力，著力于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)[1].本文以高中數(shù)學(xué)課程人教A版選擇性必修第一冊(cè)第三章“圓錐曲線的方程”為實(shí)例，談?wù)労诵乃仞B(yǎng)引領(lǐng)下的單元教學(xué)設(shè)計(jì).

1 單元教學(xué)內(nèi)容分析

本單元安排在“直線和圓的方程”的下一章，通過不同的教材情境，了解圓錐曲線的背景與其應(yīng)用;在平面直角坐標(biāo)系中，認(rèn)識(shí)橢圓、雙曲線、拋物線的基本幾何結(jié)構(gòu)和特征，建立它們的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)了使用坐標(biāo)體系來研究圓錐曲線的幾何性質(zhì)和其與直線之間的位置關(guān)系，體會(huì)了使用平面的解析幾何方法來分析和解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題和實(shí)際的數(shù)學(xué)問題，領(lǐng)悟了平面的解析幾何中所蘊(yùn)含的各種數(shù)學(xué)思維;提升直觀想象、數(shù)學(xué)操作、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象等綜合能力素養(yǎng)[2].

對(duì)于“曲線與方程”，新教材并沒有單獨(dú)設(shè)置一節(jié)，也沒有明確給出求曲線方程的一般步驟，但在第二章“直線和圓的方程”的章末總結(jié)中進(jìn)行了滲透[3].這樣的處理，不會(huì)太過抽象，同時(shí)又保證了科學(xué)性，也是響應(yīng)“標(biāo)準(zhǔn)2017”提出的對(duì)于圓錐曲線的學(xué)習(xí)，可以降低難度的要求.

2 單元教學(xué)目標(biāo)分析

“標(biāo)準(zhǔn)2017”對(duì)于拋物線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程等的要求有所下降，由原來的理解降為了解，拋物線的有關(guān)性質(zhì)也為原來的掌握降為了解，對(duì)圓錐曲線的應(yīng)用也只是要求了解橢圓、拋物線的應(yīng)用，對(duì)雙曲線的應(yīng)用不做要求.在分析課本內(nèi)容的基礎(chǔ)上，對(duì)照課程標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)知識(shí)和技能、過程手段方法、情感態(tài)度價(jià)值觀、核心素養(yǎng)等指標(biāo)做出了精確、具體的指導(dǎo).

3 單元教學(xué)策略

3.1 單元教學(xué)主線

橢圓、雙曲線、拋物線這三種曲線的知識(shí)框架結(jié)構(gòu)近似，研究路徑一致，都是按照“幾何特征—標(biāo)準(zhǔn)方程—通過方程研究性質(zhì)—應(yīng)用”的過程展開，這是教材設(shè)計(jì)的明線;并以橢圓為范例，類比橢圓的數(shù)學(xué)思想和基本方法，研究雙曲線和拋物線，以坐標(biāo)法和數(shù)形結(jié)合思想為暗線，以環(huán)環(huán)相扣、邏輯連貫的“問題串”為腳手架，設(shè)計(jì)系列化的學(xué)習(xí)活動(dòng).

3.2 教學(xué)方法分析

本單元通過具體的情境認(rèn)識(shí)圓錐曲線的背景，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)中自主觀察合作交流，結(jié)合情境歸納描述圖形的幾何特征，由具體到抽象、由特殊到一般，自主建構(gòu)“圓錐曲線”的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系.然后結(jié)合幾何特征合理建立坐標(biāo)系，利用方程研究曲線的性質(zhì)，用坐標(biāo)法研究幾何圖形時(shí)，代數(shù)式的化簡(jiǎn)、方程的變形與等價(jià)轉(zhuǎn)化等都需要較強(qiáng)的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.在具體問題的解答過程中，使學(xué)生進(jìn)一步理解坐標(biāo)法的思想，感悟坐標(biāo)法的力量.

4 課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)

本節(jié)課是“橢圓”的第一課時(shí)教學(xué)內(nèi)容，主要是掌握橢圓的基本定義和方程，教材用循序漸進(jìn)、前后連貫的問題組成“問題串”，將內(nèi)容連為一體，引導(dǎo)學(xué)生展開系統(tǒng)化的學(xué)習(xí)，建立清晰、穩(wěn)定、可利用的“橢圓的方程”的認(rèn)知結(jié)構(gòu).以下是“橢圓”第一課時(shí)的教學(xué)設(shè)計(jì).

4.1 學(xué)習(xí)目標(biāo)

（1）通過行星運(yùn)行軌道等具體情境，了解橢圓的背景與應(yīng)用;

（2）通過動(dòng)手操作用細(xì)繩畫橢圓的實(shí)驗(yàn)，能用自己的語(yǔ)言清晰地描述圖形的幾何特征（即橢圓的定義）;

（3）類比圓方程的建立方法，結(jié)合橢圓幾何特征，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系建立橢圓的方程;

（4）會(huì)用橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解決簡(jiǎn)單的問題（以教材上題目為主）;

（5）體會(huì)類比思想、數(shù)形結(jié)合和坐標(biāo)法思想.

4.2 學(xué)習(xí)過程

4.2.1 問題情境

問題1 在前面圓的學(xué)習(xí)中，主要研究了哪些方面的內(nèi)容？結(jié)合圓的研究經(jīng)歷，請(qǐng)你談?wù)剬?duì)坐標(biāo)法的理解.

問題2 課件中展示的這些天體運(yùn)行的軌跡是什么圖形呢？

設(shè)計(jì)意圖 回顧圓的研究歷程，對(duì)本節(jié)內(nèi)容進(jìn)行方法引領(lǐng);利用多媒體展示天體運(yùn)行軌跡的圖片，了解橢圓的背景，明確研究橢圓的必要性和重要性.同時(shí)也激發(fā)了學(xué)生對(duì)探求新知的興趣，使他們能夠更加積極地參與其中.

4.2.2 學(xué)生活動(dòng)

教師用橢圓儀和各種多媒體設(shè)備進(jìn)行教學(xué)演示，并繪制了動(dòng)畫中的橢圓.同時(shí)，學(xué)生用各種細(xì)繩、圖釘、鉛筆，同桌一起積極配合并協(xié)商按照教師要求進(jìn)行繪制繪畫橢圓.

問題3 畫出的軌跡是什么曲線？在繪制一個(gè)橢圓形的過程中，將一個(gè)圖釘作為一個(gè)固定的點(diǎn)，移動(dòng)的筆尖（運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)）至兩個(gè)固定點(diǎn)之間的距離滿足哪些幾何條件？

問題4 當(dāng)一根細(xì)繩的長(zhǎng)度等于兩個(gè)固定點(diǎn)之間的距離，還能畫出橢圓嗎？若細(xì)繩的長(zhǎng)度小于兩個(gè)固定點(diǎn)之間的距離呢？

設(shè)計(jì)意圖 以實(shí)踐活動(dòng)為主要載體，學(xué)生通過自主參與交流，合作進(jìn)行探究，通過合作繪制畫圖，親身經(jīng)歷了橢圓的形成過程，增加了對(duì)于橢圓形的幾何認(rèn)識(shí)，通過觀察、討論、概括分析出幾何圖形的特點(diǎn)，歸納橢圓的基本定義，培養(yǎng)學(xué)生的直觀的想象、數(shù)學(xué)中的抽象等核心素養(yǎng).

4.2.3 數(shù)學(xué)建構(gòu)

問題5 ?圓心在原點(diǎn)和不在原點(diǎn)的圓的方程，哪個(gè)形式更簡(jiǎn)單？

問題6 觀察橢圓的形狀，怎樣建立坐標(biāo)系使橢圓方程更簡(jiǎn)單？

問題7 你能在橢圓上找出表示a，c，a2-c2表示的線段？

設(shè)計(jì)意圖 通過復(fù)習(xí)圓的方程，引導(dǎo)學(xué)生明確選擇橢圓建立坐標(biāo)系的思考方向，為橢圓的研究鋪路搭橋.經(jīng)歷了推導(dǎo)和得到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的整個(gè)過程，理解a，b，c的幾何含義，領(lǐng)會(huì)了數(shù)形結(jié)合的思想，培養(yǎng)了學(xué)生在數(shù)學(xué)中的建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算能力等核心素養(yǎng).

4.2.4 數(shù)學(xué)運(yùn)用

例1 求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（1）a=4，b=1，焦點(diǎn)在x軸上;

（2）a=4，c=15，焦點(diǎn)在y軸上;

（3）a+b=10，c=25.

例2 橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是F1-2，0，F(xiàn)22，0，并且經(jīng)過點(diǎn)52，-32，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.

設(shè)計(jì)意圖 例1可以充分反映出一個(gè)學(xué)生在實(shí)際應(yīng)用中對(duì)于橢圓兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的認(rèn)識(shí)和理解水平的程度，在實(shí)際應(yīng)用中進(jìn)一步理解橢圓的定義，掌握標(biāo)準(zhǔn)方程.例2可以從橢圓的定義角度出發(fā)進(jìn)行解決，也可以通過代入點(diǎn)的坐標(biāo)，從解方程組的角度出發(fā)解決，通過對(duì)兩種解題方法的優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行比較，在解題的過程中把所學(xué)知識(shí)內(nèi)化成素養(yǎng)，進(jìn)一步感悟數(shù)形結(jié)合思想.

4.2.5 課后作業(yè)

（1）必做題：P115習(xí)題3.1 1，2

（2）選做題：P115習(xí)題3.1 6，10

設(shè)計(jì)意圖 必做題是鞏固訓(xùn)練本節(jié)課知識(shí)，選做題是本節(jié)課的延續(xù)，體現(xiàn)單元教學(xué)的特征.

單元設(shè)計(jì)，教師一方面要站在高觀點(diǎn)、結(jié)構(gòu)化的視角進(jìn)行整體化教學(xué)設(shè)計(jì)，統(tǒng)籌教學(xué)安排;另一方面要用思想方法引領(lǐng)課時(shí)設(shè)計(jì).這樣，才能讓核心素養(yǎng)在我們的課堂落地生根.

【課題基金：此文系廣州市番禺區(qū)教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃課題《基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)新教材教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐--以解析幾何的大單元教學(xué)為例》的科研成果，課題編號(hào)：2021-PY207】

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]章建躍.第三章圓錐曲線的方程教材介紹與教學(xué)建議[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2021（1）：8一16.

[3]普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)A版[M].北京：人民教育出版社，2020.