【摘要】本文基于概念學習的本質，以課例研究的方式，探討通過課前梳理明晰概念“身世”、通過操作體驗溯源概念本質、通過多元建構深化概念體悟、通過深度思考豐富概念內涵、基于綜合運用延伸概念關聯(lián)的概念教學五大策略，促進學生數(shù)學思維的發(fā)展，培養(yǎng)學生“用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界”的核心素養(yǎng)。

【關鍵詞】概念教學 數(shù)學思維 問題串

【中圖分類號】G62 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2022）16-0042-04

數(shù)學為人們提供了一種理解和解釋現(xiàn)實世界的思考方式?！读x務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》把“會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界”作為數(shù)學課程要培養(yǎng)的學生核心素養(yǎng)的一個重要方面，認為在義務教育階段，數(shù)學思維主要表現(xiàn)為運算能力、推理意識或推理能力;而運算能力主要是指根據(jù)法則和運算律進行正確運算的能力，推理意識主要是指對邏輯推理過程及其意義的初步感知，推理能力主要是指從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題或結論的能力。下面筆者以人教版數(shù)學二年級下冊“平均分”教學為例，談談在概念教學中促進學生數(shù)學思維發(fā)展的做法。

一、課前梳理，明晰概念“身世”

數(shù)學是邏輯性很強的學科，小學數(shù)學學習涉及眾多的數(shù)學概念，包括數(shù)的概念、運算的概念、常見的量的概念、圖形的概念、圖形運動的概念、式與方程的概念、正比例和反比例的概念、統(tǒng)計圖表的概念等。每個數(shù)學概念都不是獨立存在的，許多數(shù)學概念之間隱含著千絲萬縷的聯(lián)系，構成線性或網格式的概念群。教師沿著“教什么”“為什么教”“怎樣教”的路徑進行教學思考，必須確立“以學生為中心”的教學觀，在進行概念教學準備時，務必幫助學生厘清概念的“身世”，包括其“前世”“來生”，為學生正確地認識和理解概念打下堅實的基礎。

美國著名認知心理學家約翰·安德森（John R.Anderson）提出：新的知識是需要學習者自我建構的，然而學習者不是簡單地將新知存儲在大腦中，而是必須將新知與自己的舊知建立關系，這個建立關系的過程就是學習的本質?；诩s翰·安德森的學習觀，教師在課堂教學中要善于利用學生已有的數(shù)學知識與學習經驗，創(chuàng)設貼近學生學習需求的教學情境，激發(fā)學生學習的內驅力。

針對本課教學，教師要讓學生明白：在學習新課之前，他們對“平均分”的數(shù)學知識是有所了解和感知的，這便是“平均分”的前概念，或者說是“平均分”概念的“前世”。比如：在“數(shù)的分與合”的操作中“似曾相識”地體驗過“平均分”，知道2可以分成1和1，4可以分成2和2;在解決實際問題“3個同學一起折小星星，每人折了6個，一共折了多少個？”“女孩剪了8個窗花，男孩剪的窗花和女孩一樣多，男孩和女孩一共剪了多少個窗花？”的過程中曾經經歷過“每份同樣多”。除了“前世”，學生還要對概念的“來生”有所感知。比如，在學完“平均分”之后，他們便可以學習“除法的認識”“分數(shù)的認識”“倍的認識”“按比例分配”等新知識了。

二、操作體驗，溯源概念本質

概念教學中，對于教材中完整呈現(xiàn)的數(shù)學概念“每份分得同樣多，叫平均分”，教師通常用讀概念、記概念、用概念的方法推進教學，而有意無意地忽略了概念的形成過程，結果便是學生只知其然而不知其所以然，既不利于學生建構數(shù)學知識的前后聯(lián)系，更不利于促進學生數(shù)學思維的發(fā)展。

課堂教學“平均分”例1把6顆糖果分成3份的內容，筆者沒有直接呈現(xiàn)課本中分糖果的過程和答案，而是對題目稍稍進行了改編，引導學生通過“擺一擺”的操作體驗活動，自主探究問題解決的方案。最終學生用交互式電子白板呈現(xiàn)了自己的數(shù)學思考和操作結果，總共呈現(xiàn)了三種不同的分法（如圖1），且多數(shù)學生“喜歡第三種分法，因為這種分法讓每人分得的糖果同樣多，更公平”。

以此為基礎，筆者開始將實物糖果抽象為數(shù)學圖形“○”，設計了一個更加開放的“分一分”操作活動，引導學生在做中學、做中思、做中悟，進一步發(fā)展操作能力、表達能力、概括能力和創(chuàng)新思維能力。

師：老師也喜歡這種“每份分得同樣多”的分法。如果老師把糖果換成6個“○”，你還會分嗎？（生齊答“會”）那怎樣分才能讓每份同樣多呢？請你和同桌商量一下，再分一分，并把你的分法畫下來。

學生完成操作后，匯報交流了三種不同的分法（如圖2）。

師：誰來說一說，上面的三種分法有什么相同的地方？

生1：都有6個“○”。

生2：分得的結果都是每份同樣多。

師：說得真好，一句話就把三種分法的共同點講清楚了。像這樣每份分得同樣多的分法，就叫“平均分”。（板書：每份分得同樣多，叫平均分。）

師：你能用“平均分”說一說上面的三種分法嗎？

生1：共有6個“○”，每3個“○”為一份，平均分成了2份。

生2：共有6個“○”，每2個“○”為一份，平均分成了3份。

生3：共有6個“○”，每個“○”為一份，平均分成了6份。

師：誰還有不同的說法？

生4：把6個“○”平均分成2份，每份是3個“○”。

生5：把6個“○”平均分成3份，每份是2個“○”。

生6：把6個“○”平均分成6份，每份是1個“○”。

生7：老師，我還有一種分法，就是把6個“○”分成一份，每份還是6個“○”。

師：老師要特別感謝小銘（指生7）的分享，我們一起來看看這種分法是不是“每份分得同樣多”。（師在交互式電子白板一邊演示一邊講解）把6個“○”分為一份（圈出一份，如圖3），還有哪一份跟它一樣多？（生齊答“沒有”）所以這種分法是不是平均分？（生齊答“不是”）原因在哪里？（生紛紛議論作答）是的，他沒有把6個“○”分成幾個部分。

以上“分一分”活動，進一步激發(fā)了學生探究新知的欲望;在直觀形象、生動具體的學習情境中，學生明白了“平均分”中隱含了“分成幾個部分”且“每個部分一樣多”的真正含義。以上活動設計，超越了教材“比一比哪種分法是平均分”的思維局限，引導學生通過畫圖操作、多重對比、反復思辨，牢牢地抓住了“平均分”的本質“每份分得同樣多”，促進了學生對概念的深度理解。

三、多元建構，強化概念體悟

皮亞杰的建構主義理論強調，學習是積極主動的意義建構過程。小學數(shù)學每一個新概念的學習過程對學生來說都是一次知識再造的過程。

在本課中，當學生在“擺一擺”的活動中初步認識了“平均分”的本意，在“分一分”的活動中加深了對“平均分”概念本質的理解之后，筆者緊接著創(chuàng)設了一個“畫一畫，圈一圈，說一說”的系列活動，讓學生手、腦、眼、嘴、耳多種感官同步參與學習探究活動，強化學生對“平均分”概念的討論和個性化體悟。

師：學校大隊部開展“學雷鋒”志愿服務活動，準備把12個垃圾鏟平均分給各中隊，你知道可以分給幾個中隊、每個中隊分得幾個嗎？請大家試著畫一畫、分一分。

生1：我用小棒表示垃圾鏟，如果2個2個分，可以分給6個中隊;6個6個分，可以分給2個中隊;4個4個分，可以分給3個中隊;3個3個分，可以分給4個中隊;1個1個分，可以分給12個中隊。（師課件呈現(xiàn)學生的畫法、分法，如圖4）

生2：我也是這樣分的，還記下了每次分得的份數(shù)。

生3：我用不同顏色的彩鉛圈出不同的分法，可以看得更清楚。（師課件呈現(xiàn)學生的畫法、分法，如圖5）

師：老師贊同大家的分法。不過，老師只畫了一幅圖，大家想看看嗎？（生齊答“想”，師課件出示圖6）

生4：老師，還可以用乘法口訣來分，比如，二六十二，可以是2個一份，也可以是6個一份;三四十二，可以是3個一份，也可以是4個一份。

師：你真會聯(lián)想，在“畫一畫”的過程中居然想到了學過的乘法口訣！老師給你點個贊！

在“畫一畫、圈一圈、說一說”的系列活動中，學生經歷了操作、表達、說理的過程，結合圖示表達自己對平均分的認識、理解和應用，深刻體悟“每份分得同樣多就是平均分”的概念，主動建構一個數(shù)里包含有幾個幾的“包含分”的意義，促進了數(shù)學思維的發(fā)展。

四、深度思考，豐富概念內涵

蘇霍姆林斯基曾說：學生要想牢固地掌握數(shù)學，就必須用內心創(chuàng)造與體驗的方法來學習數(shù)學。教材中的內容相對來說是線性發(fā)展的，通常是按照一定的規(guī)則由問題推導出結果，而忽視了學生個體不同的理解水平。如果換成由小學生自主推導，這個過程中極有可能出現(xiàn)“非正常”的結果。為此，筆者再次改編了教材內容的呈現(xiàn)方式，針對例2教學，通過設置有效的“問題串”，促進學生的數(shù)學思考，引導學生通過細思慢學、層層遞進，最終實現(xiàn)對“等分”意義的深度理解。

問題1：把18個桔子平均分到6個盤子里，每個盤子里放幾個？先說說你打算怎樣分，再畫出你的分法。

生1：我1個1個地分，邊分邊數(shù)，直到分完為止。最后發(fā)現(xiàn)，每個盤子里可以放3個桔子。（師課件展示該生的分法，如圖7）

生2：我先2個2個地分，再1個1個地分，也是每個盤子放3個桔子。

師：誰還有不同的分法？

生3：我是這樣想的，因為有6個盤子，乘法口訣三六十八，每個盤子直接就分3個桔子，18÷6=3。

師：先想乘法口訣再分，能分得更快。老師還沒教除法，你就會用除法算式表示了，真厲害！

師：同學們再想一想，是不是每次都能用乘法口訣來分呢？如果老師現(xiàn)在拿走一個盤子，剩5個盤子，18個桔子還可以平均分嗎？（課件呈現(xiàn)“問題2”）

問題2：18個桔子能平均分到5個盤子里嗎？說說你是怎么想的。

生4：我認為不能進行平均分了，因為我1個1個地分，分完之后有的盤子分得4個桔子，有的盤子分得3個桔子。

師：還有不同的分法和想法嗎？

生5：我認為每個盤子可以分得一樣多，都放3個，還剩下3個不用分，課本后面“有余數(shù)的除法”就是這樣分的。

師：你的自學能力太強了，真是出乎老師的意料！給你點兩個贊！

師：在日常生活中，當我們“平均分”物品的時候，可能剛好能夠“分得完”，也可能“分不完”、有剩余。大家再想一想，要把18個桔子全部平均分到盤子里，應該準備幾個盤子才合適呢？（課件出示“問題3”，要求學生以四人小組為單位合作完成如表1所示學習單）

問題3：把18個桔子平均分到盤子里，要求全部分完，準備幾個盤子合適？

生6：我們小組有4個解決方案。方案一，準備6個盤子，每個盤子分得3個桔子;方案二，準備3個盤子，每個盤子分得6個桔子。方案一和方案二用的都是乘法口訣“三六十八”。方案三，準備2個盤子，每個盤子分得9個桔子;方案四，準備9個盤子，每個盤子分得2個桔子。后兩個方案用的都是乘法口訣“二九十八”。

生7：我們小組補充方案五，準備18個盤子，每個盤子分得1個桔子。

生8：我補充意見，以上方案都可以用除法算式表示，18÷6=3，18÷3=6，18÷2=9，18÷9=2，18÷18=1。

師：看來，大家對“平均分”的真面目認識得越來越清晰了，平均分就是——（生答）每份分得同樣多。

像這樣“細思慢學”，不僅關注學生獲取數(shù)學知識的結果，更重視學生進行數(shù)學思考、獲取數(shù)學知識的過程。如圖9所示，“想、畫、數(shù)、聽、說”都緊緊圍繞核心問題串展開，3個核心問題對應3個不同層次的操作活動，著眼于平均分概念本質“每份分得同樣多”不同層面的理解，有效促進了學生數(shù)學思維的發(fā)展。

師：剛才我們是用什么方法解決分糖果、分圓片、分垃圾鏟、分桔子的問題的？

生：畫圖和列表的方法。

師：畫圖、列表都是學習數(shù)學的好方法?，F(xiàn)在誰來說說你眼中的“平均分”是什么樣子的？

生1：平均分就是分東西的時候，每份分得同樣多。

生2：平均分有時候正好分得完，有時候會有剩余。

生3：可以用乘法口訣來做平均分的題目。

生4：還能用除法算式表示平均分。

以上教學過程，通過創(chuàng)設適合的學習情境、思考路徑、表達環(huán)境，引導學生運用適合的方法學習、理解和解決“平均分”的問題，實現(xiàn)了“三個轉化”，即數(shù)學知識學習轉化為學生內心的創(chuàng)造和體驗，動態(tài)操作轉化為靜態(tài)留痕，具體事物（糖果、垃圾鏟、桔子）轉化為抽象的幾何圖形（“○”“|”）。整節(jié)課圍繞三次“畫平均分”展開，學生畫一次解決一個關鍵知識點，有效的操作活動逐漸掀開“平均分”的面紗，形成了“分成幾部分，各部分一樣多”→“包含分”→“等分（正好分完或分后有剩余）”的完整學習鏈條，讓學生準確、完整地建構起“平均分”的概念，既知其然又知其所以然。

五、綜合運用，延伸概念關聯(lián)

數(shù)學概念之間聯(lián)系緊密，層層推進，通常前一個概念是后一個概念學習的基礎，而后一個概念又是前一個概念的擴展、升級、完善，最終形成縱橫交錯、密切關聯(lián)的知識網絡。概念教學一向具有承前啟后的作用。“平均分”的學習是為除法和分數(shù)的學習做準備的，課堂中的平均分案例都是對多個物品或圖形的平均分，為了延伸概念關聯(lián)，增強學生對數(shù)學知識的過程性、關聯(lián)性、整體性和發(fā)展性的體悟過程，筆者設計了下面的實踐操作練習：要把一根彩帶平均分給四個小朋友，你打算怎么做？同時為每一個學生準備了一張20厘米長的紙條，引導學生在綜合運用知識解決問題的過程中修改、完善操作方案，發(fā)展對“平均分”概念的認知，強化對該概念全面而深刻的理解，以及長久的記憶。

在接下來的學習成果展示活動中，生1“把紙條對折再對折，得到了4個大小一樣的長方形并把它們裁開分給了四個小朋友”，筆者引導學生思考“她的辦法是不是平均分，為什么”，學生能夠基于自身對概念的理解進行解答“是平均分，因為每份分得同樣多”。最后筆者進行小結：生活中我們可以把幾個物體平均分，也可以把一個物體平均分，只要每份分得同樣多就是平均分。

本課教學秉持“向學而教，以學定教，為學善教”的教學理念，運用學生喜聞樂見的“畫概念”學習方式，讓學生在不同層面的操作活動中積極思考、動手實踐、自主探索、合作交流，在操作體驗中積累數(shù)學活動經驗，在觀察比較中發(fā)展數(shù)學思維，在課堂討論中培育思辨能力，有效發(fā)展了學生的運算能力、推理意識和推理能力，促進了學生數(shù)學思維的發(fā)展。

參考文獻

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[3]王永春.小學數(shù)學核心素養(yǎng)教學論[M].上海：華東師范大學出版社，2019.

作者簡介：黃鳳揚（1974— ），廣西德保人，高級教師，廣西特級教師，主要研究方向為數(shù)學教育和教育管理。

（責編 白聰敏）