江夢瑤

摘 要：數(shù)學(xué)概念的形成是一個抽象的過程，《倍的認(rèn)識》這一節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生形成和建立“倍”的概念，掌握解決有關(guān)“倍”的相關(guān)問題的方法，提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維邏輯。本文通過剖析當(dāng)下，聚焦疑難困惑;追本溯源，理解概念本質(zhì);深入挖掘，建立數(shù)學(xué)模型;回顧反思，彰顯概念本質(zhì)，讓學(xué)生多次進(jìn)行對比分析，在質(zhì)疑中交流，在歸納中抽象出“倍”的概念，真正領(lǐng)悟出“倍”的本質(zhì)內(nèi)涵。

關(guān)鍵詞：倍的認(rèn)識;倍比關(guān)系;數(shù)學(xué)思維

數(shù)學(xué)概念是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識、形成數(shù)學(xué)技能的基礎(chǔ)，“倍的認(rèn)識”這一節(jié)課是學(xué)生第一次接觸兩個量之間的倍比關(guān)系，為以后學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)”，“百分?jǐn)?shù)”，“小數(shù)”和“比”打下基礎(chǔ)。《課程標(biāo)準(zhǔn)》提出，要充分了解學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和具備的生活經(jīng)驗(yàn)，以學(xué)情為基礎(chǔ)來確定概念數(shù)學(xué)的教學(xué)目標(biāo)，使得目標(biāo)具有針對性，準(zhǔn)確性和合理性，從而更好地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，建立相應(yīng)數(shù)學(xué)模型，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維能力。

一、剖析當(dāng)下，聚焦疑難困惑

（一）概念模糊，浮于表面

認(rèn)知心理學(xué)家洛斯認(rèn)為，記憶中的種種概念，是按照概念的具體例子來表示的，而不是以某些抽象的規(guī)則或者一系列相關(guān)特性來表示的。比如講到“倍”時，可能人的意識中首先出示的是直觀的圓形和正方形的數(shù)量比較，而不是它的形式定義。在“倍的認(rèn)識”中，學(xué)生無法真正深入理解倍就是在兩個量的相互比較下產(chǎn)生的，也就是一個量為標(biāo)準(zhǔn)量，另一個量里有幾個這樣相同的幾份就是幾倍。在處理“某班男生人數(shù)是女生的5倍，男生有30人，求女生有多少人？”的問題上，大多數(shù)同學(xué)都認(rèn)為30×5=150人，只有部分同學(xué)能準(zhǔn)確求出女生是6人，并清楚說明自己的想法。由此可見，概念的教學(xué)存在偏差，缺乏形象直觀的表征意義，因此增加了學(xué)生理解和記憶的難度。

（二）技能缺失，生搬硬套

當(dāng)下新課標(biāo)提出的過程與方法旨在學(xué)生理解一個新知識之后，還要具備靈活解決該知識點(diǎn)的技能，也就是“會學(xué)”。技能是指在某種操作規(guī)則或操作程序下通過實(shí)踐，練習(xí)等方式獲得的操作技術(shù)和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力。在“倍的認(rèn)識”這一節(jié)課中，大多數(shù)同學(xué)通過背誦和機(jī)械模仿記住了倍的“三段式”，當(dāng)真正著手處理相關(guān)實(shí)際問題，卻無從下手，不清楚什么是標(biāo)準(zhǔn)量，找不到標(biāo)準(zhǔn)量，更無法通過標(biāo)準(zhǔn)量去尋找比較量和它的關(guān)系。

（三）思維定勢，形式單一

數(shù)學(xué)思維能力主要指的是邏輯思維，具備邏輯思維能力，能夠使學(xué)生思維開闊，善于總結(jié)和歸納，能夠?qū)?shù)學(xué)中遇到的問題準(zhǔn)確推理出來，同時還具備在數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)問題，解決問題的一種獨(dú)特的思維能力。當(dāng)前學(xué)生學(xué)習(xí)存在的通病是跟著老師的思路，可以解決相關(guān)練習(xí)，一旦脫離指導(dǎo)，甚至題型略有變化，使得簡易數(shù)學(xué)模型無法直觀顯現(xiàn)，對他們來說就成了一個全新的知識。學(xué)生對倍的認(rèn)識僅僅停留在標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)模型上，當(dāng)面對非標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)模型的時候，學(xué)生認(rèn)為倍數(shù)不存在，束手無策，失去了解決倍數(shù)問題的通常策略。如果在教學(xué)中加入數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)，那么就能提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力和創(chuàng)新能力。

二、追本溯源，研究教學(xué)意義

（一）解讀教材體系，確定教學(xué)方向

“倍的認(rèn)識”這一節(jié)課是新人教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級上冊的內(nèi)容，人教版將其內(nèi)容安排在三年級上冊的好處是知識后移之后使得難度下降，并且在教學(xué)利用倍的知識解決實(shí)際問題的時候不再受乘除知識的限制，使得知識更具有邏輯性，最后在統(tǒng)一教學(xué)利用乘除的相關(guān)方法去解決含有“倍”的實(shí)際問題的時候，能夠讓學(xué)生對除法含義有更進(jìn)一步的認(rèn)識。

這一塊內(nèi)容，它是學(xué)生第一次接觸“整數(shù)倍”，是“量”到“率”的起始課程，是以后學(xué)習(xí)小數(shù)倍，百分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)，比等內(nèi)容的基礎(chǔ)，而小數(shù)倍，分?jǐn)?shù)，百分?jǐn)?shù)，比等這些概念它們的本質(zhì)都是“比率，。比率在概念教學(xué)中發(fā)揮著非常重要的作用，是學(xué)生在學(xué)習(xí)比例和一元函數(shù)的基石，關(guān)于比率，我做了如下整理，請見圖1。

因此，在實(shí)際教學(xué)中，先要讓學(xué)生對“倍比”和“差比”有一個清晰的認(rèn)識，從對“份”到“幾個幾”再到對標(biāo)準(zhǔn)量以及比較量的認(rèn)識，理解倍的本質(zhì)概念。在倍的概念建立之后，要學(xué)會應(yīng)用倍的相關(guān)知識去解決“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍”以及“求一個數(shù)的幾倍是多少”的數(shù)學(xué)問題，不斷培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力和應(yīng)用意識。

（一）基于學(xué)生學(xué)情，制定教學(xué)策略

1.追尋知識起點(diǎn)

學(xué)習(xí)“倍的認(rèn)識”這一節(jié)課之前，學(xué)生在二年級已經(jīng)掌握了乘法和除法的相關(guān)知識，理解并且掌握了什么叫做“幾個幾”以及“包含除”的概念，這些都是學(xué)習(xí)“倍的認(rèn)識”的基礎(chǔ)知識。二年級“乘法的初步認(rèn)識”中，學(xué)生認(rèn)識了相同的加數(shù)以及相同加數(shù)的個數(shù)，也理解掌握了乘法表示的就是相同加數(shù)相加。乘法和除法兩者都表示兩個量的關(guān)系，與“倍的認(rèn)識”存在一定的相同點(diǎn)，基于此，學(xué)生在理解倍的同時能夠和舊知建立起一定的聯(lián)系。

2.明確學(xué)生問題

在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前，學(xué)生在一年級接觸了“比多少”，在二年級的學(xué)習(xí)中學(xué)習(xí)了“差比”，倍相對“比多少”來說要更加抽象，不容易理解，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中也常常將“倍比”與“差比”搞混。盡管在生活中部分學(xué)生具備了對倍的認(rèn)識，也都聽說過倍，但每個人的理解層次都是不一樣的，對于“標(biāo)準(zhǔn)量”，“比較量”和“倍數(shù)”三者的關(guān)系是模糊的，也就是缺乏對倍本質(zhì)概念的理解。

基于這節(jié)課的教學(xué)對象是三年級的學(xué)生，因此，通過對學(xué)生學(xué)習(xí)心理的分析以及生活經(jīng)驗(yàn)的了解，“倍的認(rèn)識”教學(xué)設(shè)計(jì)遵循學(xué)生主動建構(gòu)，環(huán)環(huán)相扣，內(nèi)化深入的途徑，設(shè)計(jì)出以學(xué)情為線索，以活動為抓手，以練習(xí)為載體的的教學(xué)過程，逐漸完善學(xué)生對倍概念的深入理解，掌握解決和倍數(shù)有關(guān)的實(shí)際問題，從而在頭腦中建立相應(yīng)數(shù)學(xué)模型，不斷增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維，滲透相關(guān)數(shù)學(xué)思想。

三、深入挖掘，建立數(shù)學(xué)模型

（一）以學(xué)情為起點(diǎn)，形成概念本質(zhì)

1.例題整改，感知概念

心理研究表明，兒童對色彩具有一定的敏感性，但如果研究對象顏色過于鮮艷和豐富，則會影響孩子邏輯思維的延伸性，使得接收的信息短而碎?！侗兜恼J(rèn)識》這一節(jié)課采用的主題圖就是色彩鮮艷的紅蘿卜和胡蘿卜，它在視覺上給了學(xué)生一定的沖擊，但是由于學(xué)生無法區(qū)分紅蘿卜和胡蘿卜，導(dǎo)致教學(xué)無意識向區(qū)分兩種蘿卜靠攏，所以我將主題圖改為正方形和圓形。

簡單的圖形對比圖，消除了判斷兩種蘿卜帶來的知識負(fù)擔(dān)，使得教學(xué)對象清晰直接，從而能更加順暢引入有關(guān)倍的相關(guān)知識。同時，利用正方形和圓形這樣的材料，可以很好地貫穿整個教學(xué)，使得教學(xué)流程環(huán)環(huán)相扣，具有一定的整體性。

2.錯中明晰，確定概念

概念的形成不是一蹴而就的，必須主動經(jīng)歷概念的形成過程，教師要善于將學(xué)生的錯誤轉(zhuǎn)化成具有教學(xué)意義的重要內(nèi)容?！氨丁笔菑摹凹臃ńY(jié)構(gòu)”向“乘法結(jié)構(gòu)”的一個過渡，認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)生了質(zhì)的變化，因此，容易將“倍比”和“差比”搞混。在利用正方形和圓形這一組圖形教學(xué)3倍關(guān)系的時候，學(xué)生由于受到“差比”關(guān)系的影響，部分學(xué)生認(rèn)為“圓形是正方形的2倍”，如圖2。

這是一個非常具有教學(xué)價(jià)值的觀點(diǎn)，它是學(xué)生倍的概念與原有認(rèn)知產(chǎn)生沖突的結(jié)果。抓住這個錯誤信息，繼續(xù)追問“圓形是正方形的2倍，你是怎么想的？？”引發(fā)生生之間的爭辯，由認(rèn)為“圓形是正方形的3倍”的同學(xué)來闡述他們的想法，并思考“3在哪里？”，“為什么3個圈？”“明明2個，為什么說成是1？”，連續(xù)多個問題之后再提出“把兩個正方形看成1份，圓形有這樣的3份，我們就說圓形是正方形的3倍”，從而理解倍的概念本質(zhì)。

（二）以活動為抓手，打破機(jī)械模仿

1.對比溝通，形成技能

在小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，比較是一種比較常用的方法之一，通過比較，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，辨別異同，深化對知識的理解，打破機(jī)械式地模仿，提升解決問題的技能?！氨兜恼J(rèn)識”這一節(jié)課，通過兩次改變比較量的數(shù)量，在標(biāo)準(zhǔn)量不變的前提下去判斷圓形和正方形的倍數(shù)關(guān)系，接著比較量不變，改變標(biāo)準(zhǔn)量的數(shù)量，最后將這兩組進(jìn)行對比分析，如圖3所示。

學(xué)生在標(biāo)準(zhǔn)量不變，比較量發(fā)生變化的情況下以及比較量不變，標(biāo)準(zhǔn)量發(fā)生變化的練習(xí)中，利用圈一圈，說一說，再結(jié)合兩組例子的對比，與原有知識產(chǎn)生共鳴，初步感知“都是把正方形看作一份，圓形有這樣的幾份就是幾倍”，形成解決倍數(shù)有關(guān)問題的相關(guān)技能，即要先找到標(biāo)準(zhǔn)量，再去找另一個量當(dāng)中包含幾個這樣的標(biāo)準(zhǔn)量。

2.多種表征，強(qiáng)化技能

多元表征是指一個概念或者問題用多種不一樣的形式表征，與“單一表征”相比，同一個問題，用多種方式進(jìn)行呈現(xiàn)，會強(qiáng)化對知識的理解，增強(qiáng)解決數(shù)學(xué)問題的能力。三年級學(xué)生以具體形象思維為主，需要提供足夠的直觀材料和充分的實(shí)踐操作經(jīng)驗(yàn)作為基礎(chǔ)，運(yùn)用多元表征的方式，加深學(xué)生對倍的理解，突出其本質(zhì)屬性。課堂中，讓學(xué)生用自己喜歡的方式表示出4倍關(guān)系，如圖4。

學(xué)生在畫一畫，擺一擺，拍手，列算式等過程中感受描述4倍的多種途徑，對描述倍數(shù)的“三段式”有了進(jìn)一步的認(rèn)識，也能夠用畫圖等方式去反過來證明這種倍數(shù)關(guān)系，進(jìn)而在頭腦中強(qiáng)化尋找倍數(shù)的方法，也就是“一個量中包含幾個另一個量”是解決倍數(shù)問題的基本策略。

（三）以練習(xí)為載體，促進(jìn)思維發(fā)展

1.適時拓展，彰顯聯(lián)系

我們學(xué)生普遍都缺少創(chuàng)新思維，喜歡按部就班，我們要教會學(xué)生變換自己的思維方式，可以由單一的練習(xí)到變式的練習(xí)，循序漸進(jìn)，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的延展性，體會知識之間的聯(lián)系，增強(qiáng)數(shù)學(xué)邏輯思維。課堂中，為了打破學(xué)生認(rèn)為少的量就是標(biāo)準(zhǔn)的思想，拓寬對倍比關(guān)系的理解，可以安排標(biāo)準(zhǔn)量的數(shù)量大于比較量的數(shù)量，而且剛好是比較量的一半。

學(xué)生通過討論交流，打破認(rèn)知里只存在整數(shù)倍的情況，同時這一道題的出現(xiàn)幫助學(xué)生再一次明白先確定標(biāo)準(zhǔn)量的重要性，明白無論題目怎么變，只要轉(zhuǎn)變思維角度，始終抓住“一個量里面包含幾個另一個量”就能輕松解決各種題型。

2.圖長思維，完善認(rèn)知

數(shù)學(xué)圖形它不僅為抽象思維提供具體表象，并且也為促進(jìn)形象和抽象思維提供最大的幫助。在實(shí)際教學(xué)過程中，我們都習(xí)慣于利用標(biāo)準(zhǔn)圖形進(jìn)行認(rèn)知，時間長了之后學(xué)生的思維就有了定勢，一旦碰到非標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)模型的時候，就會感到困惑，束手無措。在教學(xué)過程中，應(yīng)該要讓學(xué)生對一個圖形有不同角度的認(rèn)識，用不同的方式去辨圖，合理利用圖形，是鞏固知識，提升解題能力一個非常重要的策略，同時也是培養(yǎng)學(xué)生思維靈活性的有效方法。在“倍的認(rèn)識”這一節(jié)課當(dāng)中，學(xué)生頭腦中缺少對其非標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)模型的認(rèn)識，因此，設(shè)計(jì)了如圖6和圖7這樣的題目。

學(xué)生就這樣打破傳統(tǒng)倍數(shù)相關(guān)問題的刺激和探討中，不斷深化對倍的理解，同時體會整體思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用，學(xué)會轉(zhuǎn)換角度，改變策略去解決相關(guān)問題，數(shù)學(xué)思維也得到了進(jìn)一步的鍛煉。

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