白玫

[摘要]數(shù)學(xué)解題方法的教學(xué)，要求教師引領(lǐng)學(xué)生拓寬思路，發(fā)展思維的靈活性，從學(xué)生的認(rèn)知特點出發(fā)，尋找解題的便捷路徑，從而提高解題效率.文章主要介紹了設(shè)元消元這一方法在實際解題中的應(yīng)用.

[關(guān)鍵詞]解題方法;思維靈活;解題效率

解題既是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個重要活動，也是學(xué)習(xí)的目標(biāo)之一，如何提高學(xué)生的解題能力和解題效率是課堂教學(xué)要解決的重要問題.許多學(xué)生為了提高解題能力常常深陷題海，但是結(jié)果往往不盡如人意，反而對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生了厭倦，失去了信心.所以教師在教學(xué)中不僅要帶領(lǐng)學(xué)生做題，還要精選典型試題，滲透解題方法，從而培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的能力.很多學(xué)生在解題過程中常因已知條件過少、未知條件過多而一籌莫展，所以教師要在教學(xué)中讓學(xué)生尋找一種巧妙的解題方法，如利用已知條件設(shè)未知數(shù)，實現(xiàn)整體消元或者換元，從而解決問題.這種巧妙的解法可以讓試題化繁為簡，順利求解，能增強(qiáng)學(xué)生解決難題的信心.筆者結(jié)合教學(xué)實踐對設(shè)元消元這一解法進(jìn)行了總結(jié)，現(xiàn)編寫成文，供大家參考.

在三角形中解決角度問題

案例1如圖1所示，在△ABC中，∠ACB=90°，E，F(xiàn)兩點在邊AB上，且AE=AC，BF=BC，求∠ECF的度數(shù).

解題思路設(shè)∠B=x，則∠A=90°-x.因為AE=AC，所以∠AEC=∠ACE.所以

評析本案例已知條件較少，如何構(gòu)建已知條件與未知條件之間的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵.僅通過觀察已知條件與未知條件，很難看出它們之間的聯(lián)系.但通過設(shè)∠B=x，利用三角形的內(nèi)角和定理以及等腰三角形的兩個底角相等的性質(zhì)，便可以將題目中的其他角用含x的代數(shù)式表示，從而求出∠ECF的度數(shù).上述解法，通過設(shè)元，將一個復(fù)雜的幾何問題轉(zhuǎn)化成了代數(shù)問題，并最終將未知數(shù)消掉，求得了答案.

案例2如圖2所示，點C在線段AE上，點D在線段AB上，BC與DE交于點F.若BD=CD=CE，∠ADC+∠ACD=114°，求∠DFC的度數(shù).

解題思路因為CD=CE，所以∠E=∠CDE.因為BD=CD，所以∠B=∠BCD.設(shè)∠E=∠CDE=x，∠B=∠BCD=y.因為∠ACD是△CDE的一個外角，所以∠ACD=∠E+∠CDE=2x.同理，∠ADC=∠B+∠BCD=2y.所以∠ACD+∠ADC=2x+2y=114°.所以x+y=57°.所以∠DFC=180°-（x+y）=123°.

評析本案例運用了等腰三角形底角相等的性質(zhì)，通過設(shè)兩個輔助元，利用已知條件∠ADC+∠ACD=114°，將問題轉(zhuǎn)化到△DFC中，再利用三角形的內(nèi)角和求得答案.上述解法也是通過設(shè)未知數(shù)，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來求解，這樣求解，思路更清晰，同時滲透了數(shù)形結(jié)合思想.

在三角形中解決面積問題

案例3已知一個直角三角形的周

評析本案例若根據(jù)一般的求三角形面積的方法，需求出三角形的底和高，但是由已知條件難以求出這兩個元素.為了求解，可以換一種思路，即不分別求出三角形底和高的長度，而是通過設(shè)輔助元，求底和高的積.上述解法同樣通過設(shè)元，巧妙地將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，利用勾股定理以及完全平方公式的變形，最后求出三角形的面積.

在幾何證明中解決等量關(guān)系

案例4如圖3所示，矩形ABCD的對角線AC，BD交于點O，過點C作CG⊥BD，垂足為G，∠BAD的平分線與BD交于點F，與GC的延長線交于點E，證明：AC=CE.

評析本案例利用矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)等，得到要求證的兩條邊AC與CE的對角相等，再利用等角對等邊得到AC與CE相等.上述解法通過設(shè)∠CAE=x，利用輔助元表示出其他相關(guān)的角，避免了角度之間的復(fù)雜轉(zhuǎn)換，使求證過程簡捷，同時，將幾何問題變成簡單的代數(shù)問題，從而獲解.

在反比例函數(shù)中解決面積問題

評析本案例先設(shè)出點B的坐標(biāo)，由已知條件“AC的中點為B”求出點A的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出四邊形ABED的面積，最后在計算過程中通過化簡得到答案.這樣的設(shè)元方法在解決反比例函數(shù)問題中比較常見.本案例同樣采用設(shè)元的方法，最后通過消元順利求解.

在一次函數(shù)中解決問題

案例6如圖5所示，一次函數(shù)y=mx+5m的圖像與x軸、y軸分別交于點A

（1）求點B的坐標(biāo);

（2）若直線OC上有一點Q，且△QAC的面積是△AOC面積的3倍，求點Q的坐標(biāo);

（3）線段OA上有一點D，且∠ACD=∠AOC，x軸的負(fù)半軸上存在點P，使得點P到直線CD和直線CO的距離相等，求點P的坐標(biāo).

解題思路此處只解析第（3）問.由已知條件“點P到直線CD和直線CO的距離相等”，可得點P在直線CD和直線CO所形成的夾角的平分線上.于是根據(jù)點P的位置可畫出圖5和圖6.在圖5中，設(shè)∠ACD=∠AOC=x，因為∠DCO被CP平分，于是又設(shè)∠OCP=∠DCP=y.因為∠CPA是△COP的一個外角，所以∠CPA=x+y.又∠ACP=x+y，所以∠CPA=∠ACP.所以AP=AC.于是可求得點P的坐標(biāo).在圖6中，設(shè)∠ACD=∠AOC=x，∠DCP=y，則可得∠CPA=∠ACP=y-x.所以AP=AC.于是可以求出點P的坐標(biāo).

評析本題是一道較為復(fù)雜的綜合題，由已知條件很難發(fā)現(xiàn)等量關(guān)系，但是通過設(shè)輔助元，便可以將題目中有關(guān)的已知條件聯(lián)系起來，于是發(fā)現(xiàn)∠CPA和∠ACP之間的等量關(guān)系，從而求出點P的坐標(biāo).由此我們看到，設(shè)輔助元，能實現(xiàn)直接的等量關(guān)系轉(zhuǎn)換，避免了復(fù)雜的角度轉(zhuǎn)換，降低了思維的挑戰(zhàn)性，且整個解題過程，思路清晰明了.

思考與感悟

1.立足學(xué)生的思維角度

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教學(xué)的中心應(yīng)圍繞學(xué)生展開，因此教師在選擇試題進(jìn)行解析時，需要從學(xué)生的思維發(fā)展角度出發(fā)，以學(xué)生的發(fā)展為立足點，促進(jìn)每一位學(xué)生的個性發(fā)展.在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，許多學(xué)生常常被復(fù)雜題型所困擾，從學(xué)生的思維習(xí)慣出發(fā)，他們擅長正向思維，能根據(jù)已知條件直接構(gòu)建聯(lián)系，因此當(dāng)已知條件不夠時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生設(shè)輔助元，直接建立已知條件之間的數(shù)量關(guān)系，并在逐步化簡中輕松獲得答案.這既符合學(xué)生的認(rèn)知習(xí)慣，也能讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的奇妙，從而激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣.

2.巧妙催生課堂意外生成

課堂并不能完全依據(jù)教師的預(yù)設(shè)按部就班地展開，當(dāng)學(xué)生提出意料之外的想法時，教師應(yīng)進(jìn)行引導(dǎo)，不能因為他們所提的問題與預(yù)設(shè)不同就完全否定，否則會扼殺學(xué)生的靈感.教學(xué)的過程是教師帶領(lǐng)學(xué)生一起探索的過程，教師要將課堂還給學(xué)生，引導(dǎo)他們思考，從而發(fā)展思維能力.

文章主要探討了設(shè)元消元方法的部分應(yīng)用，這一方法可以巧妙轉(zhuǎn)化復(fù)雜題型并解決問題，能避免煩瑣的求解過程，能發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維.

實際上，數(shù)學(xué)解題方法多種多樣，只要我們認(rèn)真觀察和思考，不被傳統(tǒng)思維所束縛，就能發(fā)現(xiàn)便捷的解題路徑，從而提高學(xué)習(xí)效率.